§2. KHỐI ĐA DIỆN Lồi VÀ KHốI ĐA DIỆN ĐÊU
- KIẾN THỨC CĂN BẢN Khối đa diện lồi Khối đa diện [H] được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của [H] luôn thuộc [H]. Khi đó đa diện xác định [H] được gọi là đa diện lồi. Khối đa diện đều Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có tính chất sau đây: Mỗi mặt là một đa giác đều có p cạnh Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt. Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loại {p; q} Định lí: Chỉ có 5 loại khối đa diện đều. Đó là loại {3; 3}, loại {4; 3}, loại {3; 4}, loại {5; 3} và loại {3; 5}. Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều: Loại Tên gọi Số đỉnh Số cạnh Số mặt {3; 3} Tứ diện đều 4 6 4 {4; 3} Lập phương 8 12 6 {3; 4} Bát diện đều 6 12 8 {5:3} Mười hai mặt đều 20 30 12 {3:5} Hai mươi mặt đều 12 30 20
- PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
- cắt bìa theo mầu dưới đây [hình vẽ], gâ'p theo đường kẻ, rồi dán các mép lại để được các hình tứ diện đều, hình lập phương và hình bát diện đều.
Hướng dẫn: Khi cắt theo hình đã cho cần chừa các mép để có thể dán lại với nhau. Cho hình lập phương [H]. Gọi [H'] là hình bát diện đều có các đính là tâm của các mặt cứa [H]. Tínli ti số diện-tích toàn phần của [H] và [H']. ỐỊlảl Gọi a là độ dài cạnh hình lập phương [H] thì độ dài cạnh hình bát diện đều [H’] là . Diện tích toàn phần của [H] là 6a2. 9 Diện tích mỗi mặt của [H’] là: s = f a^ì 7ỊE - a yã l 2 J 4 8
. „2/5 Diện tích toàn phần của [H’] là: 8. —= a27Õ B D D Vậy tỉ số diện tích toàn phần của [H] và [H’] là: 6a2: a273 = -^ = 273. 73 Chứng minh ràng tâm của các mặt của hỉnh tứ diện đều là các dinh của một hình tứ diện đều. éjiải Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác đều BCD, ACD, ABD, ABC. Gọi M là trung điểm BC: , MD’ MA' 1 _ „ AT^ Ta có -7-T— = -7777 = 77 suy ra A D’ // AD MA MD 3 và AD' = ỈAD = ^. 3 3 Tương tự A’B’ = B’C’ = C’A’ = B’D’ = C’D’ = ị. 3 Vậy A’B’C’D’ là tứ diện đều. Cho hình bát diện đều ABCDEF. Chứng minh rằng: Các doạn thẳng AF, BD và CE dôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mồi đường. ABFD, AEFC và BCDE là những hình vuông. ố^iải - Do B, c, D, E cách đều A và F nên chúng cùng thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AF. Tương tự, A, B, F, D cùng thuộc một mặt phẳng và A, c, F, E cũng cùng thuộc một mặt phẳng. BCDE là hình thoi nên hai đường chéo BD và EC vuông góc và cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường. ABFD là hình thoi B nên hai đường chéo BD và AF vuông góc và cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường. AEFC là hình thoi nên AF 1 EC. Vậy AF, BD, CE đôi một vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
- Do AI 1 [BCDE], AB = AC = AD = AE nên IB = IC = ID - IE. Từ đó suy ra BCDE là hình vuông. Tương tự ABFD, AEFC là những hình vuông.
- BÀI TẬP LÀM THÊM Chứng minh rằng tăm các mặt cúa hình bát diện đều là các đỉnh của một hình lập phương. Cho khối bát diện đều ABCDEF cạnh a. gọi o là giao điểm của AC và BD, I và J lần lượt là trung điểm của AB và AE. Tính diện tích thiết diện tạo bởi khối bát diện với mp [OIJ] r]' on. „2 iJap so: a . Mời các em học sinh và quý thầy cô tham khảo hướng dẫn Giải Toán Hình 12 Bài 2: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều trang 15, 16, 17 ,18 chính xác nhất, được đội ngũ chuyên gia biên soạn đầy đủ và ngắn gọn dưới đây.
Giải bài tập Toán Hình 12 Bài 2: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều
Trả lời câu hỏi Toán 12 Hình học Bài 2 trang 15:
Tìm ví dụ về khối đa diện lồi và khối đa diện không lồi trong thực tế.
Lời giải:
Khối đa diện lồi trong thực tế: kim tự tháp Ai Cập, viên kim cương, rubic
Khối đa diện không lồi trong thực tế: cái bàn
Trả lời câu hỏi Toán 12 Hình học Bài 2 trang 16:
Đếm số đỉnh, số cạnh của khối bát diện đều.
Lời giải:
Khối bát diện đều có 6 đỉnh và 12 cạnh
Trả lời câu hỏi Toán 12 Hình học Bài 2 trang 17:
Chứng minh rằng tam giác IEF, IFM, IMN, INE, JEF, JFM, JMN và JNE là những tam giác đều cạnh bằng a/2.
Lời giải:
ABCD là tứ diện đều ⇒ tam giác ABC đều ⇒ AB = BC = CA = a
I, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB, BC nên ta có IE, IF, EF là các đường trung bình của tam giác ABC
⇒ IE = 1/2 BC = 1/2 a
IF = 1/2 AB = 1/2 a
EF = 1/2 AC = 1/2 a
Nên tam giác IEF là tam giác đều cạnh bằng a/2
Chứng minh tương tự ta có: IFM, IMN, INE, JEF, JFM, JMN và JNE là những tam giác đều cạnh bằng a/2
Trả lời câu hỏi Toán 12 Hình học Bài 2 trang 18:
Chứng minh rằng AB’CD’.A’B’C’D’ có cạnh bằng a [h.1.22b].
Lời giải:
ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương cạnh a nên các mặt là các hình vuông cạnh a
Tứ diện AB’CD’ có các cạnh là các đường chéo của các mặt bên hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ nên tứ diện AB’CD’ có các cạnh bằng nhau ⇒ AB’CD’ là tứ diện đều
Cạnh của tứ diện đều AB’CD’ bằng độ dài đường chéo của hình vuông cạnh a và bằng a√2
Bài 1 [trang 18 SGK Hình học 12]:
Cắt bìa theo mẫu dưới đây [h.123], gấp theo đường kẻ, rồi dán các mép lại để được các hình tứ diện đều, hình lập phương và hình bát diện đều.
Lời giải:
Bài 2 [trang 18 SGK Hình học 12]:
Cho hình lập phương [H]. Gọi [H’] là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của [H]. Tính tỉ số diện tích toàn phần của [H] và [H’].
Lời giải:
Gọi a là cạnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ [hình [H]].
Suy ra diện tích toàn phần của hình lập phương [H] là: SH = 6.a2 [đvdt].
Gọi tâm các mặt của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ lần lượt là E, F, M, N, P, Q như hình vẽ.
Suy ra [H’] là bát diện đều EMNPQF.
+ Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AA’D ⇒ A’D = a√2
+ EM là đường trung bình của ΔBA’D
⇒ [H’] là bát diện đều gồm 8 mặt là các tam giác đều cạnh bằng
⇒ Diện tích một mặt của [H’] là:
⇒ Diện tích toàn phần của [H’] là:
Vậy tỉ số diện tích cần tính là:
Bài 3 [trang 18 SGK Hình học 12]:
Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một tứ diện đều.
Lời giải:
Xét tứ diện đều A.BCD cạnh bằng a. Gọi G1, G2, G3 và G4 lần lượt là tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD và ABC.
Gọi M là trung điểm của BC.
Xét tam giác AMD có:
Tương tự ta có: G1G2 =G2G3 = G3G4 = G1G3 = G1G4 = G2G4 =
Tâm các mặt của tứ diện đều ABCD tạo thành tứ diện G1G2G3G4 có độ dài mỗi cạnh là
Vậy tứ diện G1G2G3G4 là tứ diện đều.
Bài 4 [trang 18 SGK Hình học 12]:
Chứng minh rằng AB’CD’ là một tứ diện đều. Tính các cạnh của nó theo a.
Lời giải:
Giả sử bát diện đều ABCDEF có cạnh bằng a.
- B, C, D, E cách đều A và F suy ra B, C, D, E cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AF
Trong mp [BCDE], ta có BC = CD = DE = EB [= a]
⇒ BCDE là hình thoi
⇒ BD ⊥ EC và BD, EC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Chứng minh tương tự ta suy ra AF và BD, AF và CE vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
- Gọi trung điểm BD, CE, AF là O.
Mà AB = AE [= a] ⇒ BO = OE ⇒ BD = EC
⇒ Hình thoi BCDE là hình vuông.
Chứng minh tương tự: ABFD, AEFC đều là hình vuông.
Chú ý : Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
Lý thuyết Toán Hình lớp 12 Bài 2: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều
- Tóm tắt lý thuyết
- KHỐI ĐA DIỆN LỒI
Khối đa diện [H] được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của [H] luôn thuộc [H]. Khi đó đa diện giới hạn [H] được gọi là đa diện lồi.
Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó.
II . KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
Định nghĩa
Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:
- Các mặt là những đa giác đều n cạnh.
- Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p cạnh.
Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại {n, p}.
Định lí
Chỉ có năm khối đa diện đều. Đó là:
- Loại {3; 3}: khối tứ diện đều.
- Loại {4; 3}: khối lập phương.
- Loại {3; 4}: khối bát diện đều.
- Loại {5; 3}: khối 12 mặt đều.
- Loại {3; 5}: khối 20 mặt đều.
Chú ý. Gọi Đ là tổng số đỉnh, C là tổng số cạnh và M là tổng các mặt của khối đa diện đều loại {n; p}. Ta có
pĐ = 2C = nM
- Xét tứ diện đều
- Xét khối lập phương
- Xét bát diện đều
- Xét khối mười hai mặt đều
- Xét khối hai mươi mặt đều
►►CLICK NGAY vào nút TẢI VỀ dưới đây để tải về Giải Toán Hình lớp 12 Bài 2: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều trang 15, 16, 17 ,18 file PDF hoàn toàn miễn phí.