Giải sách bài tập Toán 8 phương trình tích
|
Giải các phương trình sau bằng cách đưa về dạng phương trình tích. Câu 31 trang 10 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 – Bài 4. Phương trình tích
Giải các phương trình sau bằng cách đưa về dạng phương trình tích: a. \(\left( {x – \sqrt 2 } \right) + 3\left( {{x^2} – 2} \right) = 0\) b. \({x^2} – 5 = \left( {2x – \sqrt 5 } \right)\left( {x + \sqrt 5 } \right)\)  a. \(\left( {x – \sqrt 2 } \right) + 3\left( {{x^2} – 2} \right) = 0\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \left( {x – \sqrt 2 } \right) + 3\left( {x + \sqrt 2 } \right)\left( {x – \sqrt 2 } \right) \cr & \Leftrightarrow \left( {x – \sqrt 2 } \right)\left[ {1 + 3\left( {x + \sqrt 2 } \right)} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x – \sqrt 2 } \right)\left( {1 + 3x + 3\sqrt 2 } \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow x – \sqrt 2 = 0\)hoặc \(1 + 3x + 3\sqrt 2 = 0\) + \(x – \sqrt 2 = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt 2 \) + \(1 + 3x + 3\sqrt 2 = 0 \Leftrightarrow x = – {{1 + 3\sqrt 2 } \over 3}\) Quảng cáoVậy phương trình có nghiệm \(x = \sqrt 2 \) hoặc \(x = – {{1 + 3\sqrt 2 } \over 3}\) b. \({x^2} – 5 = \left( {2x – \sqrt 5 } \right)\left( {x + \sqrt 5 } \right)\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \left( {x + \sqrt 5 } \right)\left( {x – \sqrt 5 } \right) = \left( {2x – \sqrt 5 } \right)\left( {x + \sqrt 5 } \right) \cr & \Leftrightarrow \left( {x + \sqrt 5 } \right)\left( {x – \sqrt 5 } \right) – \left( {2x – \sqrt 5 } \right)\left( {x + \sqrt 5 } \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + \sqrt 5 } \right)\left[ {\left( {x – \sqrt 5 } \right) – \left( {2x – \sqrt 5 } \right)} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + \sqrt 5 } \right)\left( { – x} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow x + \sqrt 5 = 0\)hoặc \( – x = 0\) + \(x + \sqrt 5 = 0 \Leftrightarrow x = – \sqrt 5 \) + \( – x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) Vậy phương trình có nghiệm \(x = – \sqrt 5 \) hoặc x = 0
Câu 26 trang 9 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Giải các phương trình sau: a. \(\left( {4x - 10} \right)\left( {24 + 5x} \right) = 0\) b. \(\left( {3,5 - 7x} \right)\left( {0,1x + 2,3} \right) = 0\) c. \(\left( {3x - 2} \right)\left[ {{{2\left( {x + 3} \right)} \over 7} - {{4x - 3} \over 5}} \right] = 0\) d. \(\left( {3,3 - 11x} \right)\left[ {{{7x + 2} \over 5} + {{2\left( {1 - 3x} \right)} \over 3}} \right] = 0\) Giải: a. \(\left( {4x - 10} \right)\left( {24 + 5x} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 10 = 0\) hoặc \(24 + 5x = 0\) + \(4x - 10 = 0 \Leftrightarrow 4x = 10 \Leftrightarrow x = 2,5\) + \(24 + 5x = 0 \Leftrightarrow 5x = 24 \Leftrightarrow x = - 4,8\) Phương trình có nghiệm x = 2,5 và x = -4,8 b. \(\left( {3,5 - 7x} \right)\left( {0,1x + 2,3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3,5 - 7x = 0\)hoặc \(0,1x + 2,3 = 0\) + \(3,5 - 7x = 0 \Leftrightarrow 3,5 = 7x \Leftrightarrow x = 0,5\) + \(0,1x + 2,3 = 0 \Leftrightarrow 0,1x = - 2,3 \Leftrightarrow x = - 23\) Phương trình có nghiệm x =0,5 hoặc x = -23 c. \(\left( {3x - 2} \right)\left[ {{{2\left( {x + 3} \right)} \over 7} - {{4x - 3} \over 5}} \right] = 0\) \( \Leftrightarrow 3x - 2 = 0\)hoặc \({{2\left( {x + 3} \right)} \over 7} - {{4x - 3} \over 5} = 0\) + \(3x - 2 = 0 \Leftrightarrow 3x = 2 \Leftrightarrow x = {2 \over 3}\) + \({{2\left( {x + 3} \right)} \over 7} - {{4x - 3} \over 5} = 0 \Leftrightarrow {{2x + 6} \over 7} - {{4x - 3} \over 5} = 0\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow 5\left( {2x + 6} \right) - 7\left( {4x - 3} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow 10x + 30 - 28x + 21 = 0 \cr & \Leftrightarrow - 18x + 51 = 0 \Leftrightarrow x = {{17} \over 6} \cr} \) Phương trình có nghiệm \(x = {2 \over 3}\) hoặc \(x = {{17} \over 6}\) d. \(\left( {3,3 - 11x} \right)\left[ {{{7x + 2} \over 5} + {{2\left( {1 - 3x} \right)} \over 3}} \right] = 0\) \( \Leftrightarrow 3,3 - 11x = 0\) hoặc \({{7x + 2} \over 5} + {{2\left( {1 - 3x} \right)} \over 3} = 0\) \(3,3 - 11x = 0 \Leftrightarrow 3,3 = 11x \Leftrightarrow x = 0,3\) \({{7x + 2} \over 5} + {{2\left( {1 - 3x} \right)} \over 3} = 0\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{7x + 2} \over 5} + {{2 - 6x} \over 3} = 0 \cr & \Leftrightarrow 3\left( {7x + 2} \right) + 5\left( {2 - 6x} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow 21x + 6 + 10 - 30x = 0 \cr & \Leftrightarrow - 9x = - 16 \Leftrightarrow x = {{16} \over 9} \cr} \) Phương trình có nghiệm x = 0,3 hoặc \(x = {{16} \over 9}\) Câu 27 trang 10 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Dùng máy tính bỏ túi để tính giá trị gần đúng các nghiệm của mỗi phương trình sau, làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba. a. \(\left( {\sqrt 3 - x\sqrt 5 } \right)\left( {2x\sqrt 2 + 1} \right) = 0\) b. \(\left( {2x - \sqrt 7 } \right)\left( {x\sqrt {10} + 3} \right) = 0\) c. \(\left( {2 - 3x\sqrt 5 } \right)\left( {2,5x + \sqrt 2 } \right) = 0\) d. \(\left( {\sqrt {13} + 5x} \right)\left( {3,4 - 4x\sqrt {1,7} } \right) = 0\) Giải: a. \(\left( {\sqrt 3 - x\sqrt 5 } \right)\left( {2x\sqrt 2 + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt 3 - x\sqrt 5 = 0\) hoặc \(2x\sqrt 2 + 1 = 0\) + \(\sqrt 3 - x\sqrt 5 = 0 \Leftrightarrow x = {{\sqrt 3 } \over {\sqrt 5 }} \approx 0,775\) + \(2x\sqrt 2 + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - {1 \over {2\sqrt 2 }} \approx - 0,354\) Phương trình có nghiệm x = 0,775 hoặc x = -0,354 b. \(\left( {2x - \sqrt 7 } \right)\left( {x\sqrt {10} + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - \sqrt 7 = 0\) hoặc \(x\sqrt {10} + 3 = 0\) + \(2x - \sqrt 7 = 0 \Leftrightarrow x = {{\sqrt 7 } \over 2} \approx 1,323\) + \(x\sqrt {10} + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - {3 \over {\sqrt {10} }} \approx - 0,949\) Phương trình có nghiệm x = 1,323 hoặc x = -0,949 c. \(\left( {2 - 3x\sqrt 5 } \right)\left( {2,5x + \sqrt 2 } \right) = \) \( \Leftrightarrow 2 - 3x\sqrt 5 = 0\) hoặc \(2,5x + \sqrt 2 = 0\) + \(2 - 3x\sqrt 5 = 0 \Leftrightarrow x = {2 \over {3\sqrt 5 }} \approx 0,298\) + \(2,5x + \sqrt 2 = 0 \Leftrightarrow x = {{ - \sqrt 2 } \over {2,5}} \approx - 0,566\) Phương trình có nghiệm x = 0,298 hoặc x = -0,566 d. \(\left( {\sqrt {13} + 5x} \right)\left( {3,4 - 4x\sqrt {1,7} } \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \sqrt {13} + 5x = 0\) Hoặc \(3,4 - 4x\sqrt {1,7} = 0\) + \(\sqrt {13} + 5x = 0 \Leftrightarrow x = - {{\sqrt {13} } \over 5} \approx - 0,721\) + \(3,4 - 4x\sqrt {1,7} = 0\) \( \Leftrightarrow x = {{3,4} \over {4\sqrt {1,7} }} \approx 0,652\) Phương trình có nghiệm x = -0,721 hoặc x = 0,652 Câu 28 trang 10 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Giải các phương trình sau: a. \(\left( {x - 1} \right)\left( {5x + 3} \right) = \left( {3x - 8} \right)\left( {x - 1} \right)\) b. \(3x\left( {25x + 15} \right) - 35\left( {5x + 3} \right) = 0\) c. \(\left( {2 - 3x} \right)\left( {x + 11} \right) = \left( {3x - 2} \right)\left( {2 - 5x} \right)\) d. \(\left( {2{x^2} + 1} \right)\left( {4x - 3} \right) = \left( {2{x^2} + 1} \right)\left( {x - 12} \right)\) e. \({\left( {2x - 1} \right)^2} + \left( {2 - x} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0\) f. \(\left( {x + 2} \right)\left( {3 - 4x} \right) = {x^2} + 4x + 4\) Giải: a. \(\left( {x - 1} \right)\left( {5x + 3} \right) = \left( {3x - 8} \right)\left( {x - 1} \right)\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {5x + 3} \right) - \left( {3x - 8} \right)\left( {x - 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {\left( {5x + 3} \right) - \left( {3x - 8} \right)} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {5x + 3 - 3x + 8} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {2x + 11} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow x - 1 = 0\)hoặc \(2x + 11 = 0\) + \(x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) + \(2x + 11 = 0 \Leftrightarrow x = - 5,5\) Phương trình có nghiệm x = 1 hoặc x = -5,5 b. \(3x\left( {25x + 15} \right) - 35\left( {5x + 3} \right) = 0\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow 15x\left( {5x + 3} \right) - 35\left( {5x + 3} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {15x - 35} \right)\left( {5x + 3} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow 15x - 35 = 0\) hoặc \(5x + 3 = 0\) + \(15x - 35 = 0 \Leftrightarrow x = {{35} \over {15}} = {7 \over 3}\) + \(5x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - {3 \over 5}\) Phương trình có nghiệm \(x = {7 \over 3}\) hoặc \(x = - {3 \over 5}\) c. \(\left( {2 - 3x} \right)\left( {x + 11} \right) = \left( {3x - 2} \right)\left( {2 - 5x} \right)\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \left( {2 - 3x} \right)\left( {x + 11} \right) - \left( {3x - 2} \right)\left( {2 - 5x} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {2 - 3x} \right)\left( {x + 11} \right) + \left( {2 - 3x} \right)\left( {2 - 5x} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {2 - 3x} \right)\left[ {\left( {x + 11} \right) + \left( {2 - 5x} \right)} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {2 - 3x} \right)\left( {x + 11 + 2 - 5x} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {2 - 3x} \right)\left( { - 4x + 13} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow 2 - 3x = 0\)hoặc \(13 - 4x = 0\) + \(2 - 3x = 0 \Leftrightarrow x = {2 \over 3}\) + \(13 - 4x = 0 \Leftrightarrow x = {{13} \over 4}\) Phương trình có nghiệm \(x = {2 \over 3}\) hoặc \(x = {{13} \over 4}\) d. \(\left( {2{x^2} + 1} \right)\left( {4x - 3} \right) = \left( {2{x^2} + 1} \right)\left( {x - 12} \right)\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \left( {2{x^2} + 1} \right)\left( {4x - 3} \right) - \left( {2{x^2} + 1} \right)\left( {x - 12} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {2{x^2} + 1} \right)\left[ {\left( {4x - 3} \right) - \left( {x - 12} \right)} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {2{x^2} + 1} \right)\left( {4x - 3 - x + 12} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {2{x^2} + 1} \right)\left( {3x + 9} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow 2{x^2} + 1 = 0\)hoặc \(3x + 9 = 0\) + \(2{x^2} + 1 = 0\) vô nghiệm (\(2{x^2} \ge 0\) nên \(2{x^2} + 1 > 0$ ) + \(3x + 9 = 0 \Leftrightarrow x = - 3\) Phương trình có nghiệm x = -3 e. \({\left( {2x - 1} \right)^2} + \left( {2 - x} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right) + \left( {2 - x} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left[ {\left( {2x - 1} \right) + \left( {2 - x} \right)} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left( {2x - 1 + 2 - x} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow 2x - 1 = 0\)hoặc \(x + 1 = 0\) + \(2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 0,5\) + \(x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) Phương trình có nghiệm x = 0,5 hoặc x = -1 f. \(\left( {x + 2} \right)\left( {3 - 4x} \right) = {x^2} + 4x + 4\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {3 - 4x} \right) - {\left( {x + 2} \right)^2} = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {3 - 4x} \right) - \left( {x + 2} \right)\left( {x + 2} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left[ {\left( {3 - 4x} \right) - \left( {x + 2} \right)} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {3 - 4x - x - 2} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {1 - 5x} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow x + 2 = 0\) hoặc \(1 - 5x = 0\) + \(x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2\) + \(1 - 5x = 0 \Leftrightarrow x = 0,2\) Phương trình có nghiệm x = -2 hoặc x = 0,2 Giaibaitap.me Page 2
Câu 29 trang 10 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Giải các phương trình sau: a. \(\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 5x - 2} \right) - \left( {{x^3} - 1} \right) = 0\) b. \({x^2} + \left( {x + 2} \right)\left( {11x - 7} \right) = 4\) c. \({x^3} + 1 = x\left( {x + 1} \right)\) d. \({x^3} + {x^2} + x + 1 = 0\) Giải: a. \(\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 5x - 2} \right) - \left( {{x^3} - 1} \right) = 0\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 5x - 2} \right) - \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {\left( {{x^2} + 5x - 2} \right) - \left( {{x^2} + x + 1} \right)} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 5x - 2 - {x^2} - x - 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {4x - 3} \right) = 0 \cr} \) \(\Leftrightarrow x - 1 = 0\) hoặc \(4x - 3 = 0\) + \(x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) + \(4x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 0,75\) Vậy phương trình có nghiệm x = 1 hoặc x = 0,75 b. \({x^2} + \left( {x + 2} \right)\left( {11x - 7} \right) = 4\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {x^2} - 4 + \left( {x + 2} \right)\left( {11x - 7} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) + \left( {x + 2} \right)\left( {11x - 7} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left[ {\left( {x - 2} \right) + \left( {11x - 7} \right)} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 2 + 11x - 7} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {12x - 9} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow x + 2 = 0\) hoặc \(12x - 9 = 0\) + \(x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2\) + \(12x - 9 = 0 \Leftrightarrow x = 0,75\) Vậy phương trình có nghiệm x = -2 hoặc x = 0,75 c. \({x^3} + 1 = x\left( {x + 1} \right)\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) = x\left( {x + 1} \right) \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) - x\left( {x + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left[ {\left( {{x^2} - x + 1} \right) - x} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1 - x} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right){\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow x + 1 = 0\) hoặc \({\left( {x - 1} \right)^2} = 0\) + \(x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) + \({\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) Vậy phương trình có nghiệm x = -1 hoặc x = 1 d. \({x^3} + {x^2} + x + 1 = 0\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 1} \right) + \left( {x + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \cr} \) \(\Leftrightarrow {x^2} + 1 = 0\) hoặc \(x + 1 = 0\) + \({x^2} + 1 = 0\) : vô nghiệm (vì \({x^2} \ge 0\) nên \({x^2} + 1 > 0\) ) + \(x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) Vậy phương trình có nghiệm x = -1 Câu 30 trang 10 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Giải các phương trình bậc hai sau đây bằng cách đưa về dạng phương trình tích. a. \({x^2} - 3x + 2 = 0\) b. \(- {x^2} + 5x - 6 = 0\) c. \(4{x^2} - 12x + 5 = 0\) d. \(2{x^2} + 5x + 3 = 0\) Giải: a. \({x^2} - 3x + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} - x - 2x + 2 = 0\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) - 2\left( {x - 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow x - 2 = 0\) hoặc \(x - 1 = 0\) + \(x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \) + \(x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) Vậy phương trình có nghiệm x = 2 hoặc x = 1. b. \( - {x^2} + 5x - 6 = 0\) \( \Leftrightarrow - {x^2} + 2x + 3x - 6 = 0\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow - x\left( {x - 2} \right) + 3\left( {x - 2} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {3 - x} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow x - 2 = 0\) hoặc \(3 - x = 0\) + \(x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\) + \(3 - x = 0 \Leftrightarrow x = 3\) Vậy phương trình có nghiệm x = 2 hoặc x = 3 c. \(4{x^2} - 12x + 5 = 0\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow 4{x^2} - 2x - 10x + 5 = 0 \cr & \Leftrightarrow 2x\left( {2x - 1} \right) - 5\left( {2x - 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left( {2x - 5} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow 2x - 1 = 0\) hoặc \(2x - 5 = 0\) + \(2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 0,5\) + \(2x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = 2,5\) Vậy phương trình có nghiệm x = 0,5 hoặc x = 2,5 d. \(2{x^2} + 5x + 3 = 0\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x + 3x + 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow 2x\left( {x + 1} \right) + 3\left( {x + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {2x + 3} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow 2x + 3 = 0\) hoặc \(x + 1 = 0\) + \(2x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 1,5\) + \(x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) Vậy phương trình có nghiệm x = -1,5 hoặc x = -1 Câu 31 trang 10 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Giải các phương trình sau bằng cách đưa về dạng phương trình tích: a. \(\left( {x - \sqrt 2 } \right) + 3\left( {{x^2} - 2} \right) = 0\) b. \({x^2} - 5 = \left( {2x - \sqrt 5 } \right)\left( {x + \sqrt 5 } \right)\) Giải: a. \(\left( {x - \sqrt 2 } \right) + 3\left( {{x^2} - 2} \right) = 0\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \left( {x - \sqrt 2 } \right) + 3\left( {x + \sqrt 2 } \right)\left( {x - \sqrt 2 } \right) \cr & \Leftrightarrow \left( {x - \sqrt 2 } \right)\left[ {1 + 3\left( {x + \sqrt 2 } \right)} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x - \sqrt 2 } \right)\left( {1 + 3x + 3\sqrt 2 } \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow x - \sqrt 2 = 0\)hoặc \(1 + 3x + 3\sqrt 2 = 0\) + \(x - \sqrt 2 = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt 2 \) + \(1 + 3x + 3\sqrt 2 = 0 \Leftrightarrow x = - {{1 + 3\sqrt 2 } \over 3}\) Vậy phương trình có nghiệm \(x = \sqrt 2 \) hoặc \(x = - {{1 + 3\sqrt 2 } \over 3}\) b. \({x^2} - 5 = \left( {2x - \sqrt 5 } \right)\left( {x + \sqrt 5 } \right)\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \left( {x + \sqrt 5 } \right)\left( {x - \sqrt 5 } \right) = \left( {2x - \sqrt 5 } \right)\left( {x + \sqrt 5 } \right) \cr & \Leftrightarrow \left( {x + \sqrt 5 } \right)\left( {x - \sqrt 5 } \right) - \left( {2x - \sqrt 5 } \right)\left( {x + \sqrt 5 } \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + \sqrt 5 } \right)\left[ {\left( {x - \sqrt 5 } \right) - \left( {2x - \sqrt 5 } \right)} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + \sqrt 5 } \right)\left( { - x} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow x + \sqrt 5 = 0\)hoặc \( - x = 0\) + \(x + \sqrt 5 = 0 \Leftrightarrow x = - \sqrt 5 \) + \( - x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) Vậy phương trình có nghiệm \(x = - \sqrt 5 \) hoặc x = 0 Giaibaitap.me Page 3
Câu 32 trang 10 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Cho phương trình \(\left( {3x + 2k - 5} \right)\left( {x - 3k + 1} \right) = 0\), trong đó k là một số. a. Tìm các giá trị của k sao cho một trong các nghiệm của phương trình là x = 1. b. Với mỗi giá trị của k vừa tìm được ở câu a, hãy giải phương trình đã cho. Giải: a. Thay x = 1 vào phương trình \(\left( {3x + 2k - 5} \right)\left( {x - 3k + 1} \right) = 0\), ta có: \(\eqalign{ & \left( {3.1 + 2k - 5} \right)\left( {1 - 3k + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {2k - 2} \right)\left( {2 - 3k} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow 2k - 2 = 0\)hoặc \(2 - 3k = 0\) \(2k - 2 = 0 \Leftrightarrow k = 1\) \(2 - 3k = 0 \Leftrightarrow k = {2 \over 3}\) Vậy với k = 1 hoặc k = thì phương tình đã cho có nghiệm x = 1 b. Với k = 1, ta có phương trình: \(\left( {3x - 3} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 3x - 3 = 0\) hoặc \(x - 2 = 0\) \(3x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) \(x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\) Vậy phương trình có nghiệm x = 1 hoặc x = 2 Với k = \({2 \over 3}\), ta có phương trình: \(\left( {3x - {{11} \over 3}} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 3x - {{11} \over 3} = 0\)hoặc \(x - 1 = 0\) \(3x - {{11} \over 3} = 0 \Leftrightarrow x = {{11} \over 9}\) \(x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) Vậy phương trình có nghiệm \(x = {{11} \over 9}\) hoặc x = 1 Câu 33 trang 11 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Biết rằng x = -2 là một trong các nghiệm của phương trình: \({x^3} + a{x^2} - 4x - 4 = 0\) a. Xác định giá trị của a. b. Với a vừa tìm được ở câu a tìm các nghiệm còn lại của phương trình bằng cách đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích. Giải: a. Thay a = -2 vào phương trình \({x^3} + a{x^2} - 4x - 4 = 0\), ta có: \(\eqalign{ & {\left( { - 2} \right)^3} + a{\left( { - 2} \right)^2} - 4\left( { - 2} \right) - 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow - 8 + 4a + 8 - 4 - 0 \Leftrightarrow 4a - 4 = 0 \Leftrightarrow a = 1 \cr} \) Vậy a = 1. b. Với a = 1, ta có phương trình : \({x^3} + {x^2} - 4x - 4 = 0\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 1} \right) - 4\left( {x + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow x - 2 = 0\)hoặc \(x + 2 = 0\) hoặc \(x + 1 = 0\) \(x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\) \(x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2\) \(x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) Vậy phương trình có nghiệm x = -2 hoặc x = 2 hoặc x = -1 Câu 34 trang 11 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Cho biểu thức hai biến f (x,y) = (2x – 3y +7)(3x + 2y – 1) a. Tìm các giá trị của y sao cho phương trình (ẩn x) f (x,y) = 0, nhận x = -3 làm nghiệm. b. Tìm các giá trị của x sao cho phương trình (ẩn y) f (x,y) = 0, nhận y = 2 làm nghiệm. Giải: a. Phương trình f (x,y) = 0 ⇔ (2x – 3y +7)(3x + 2y – 1) nhận x = -3 làm nghiệm nên ta có : \(\left[ {2\left( { - 3} \right) - 3y + 7} \right]\left[ {3\left( { - 3} \right) + 2y - 1} \right] = 0\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \left( { - 6 - 3y + 7} \right)\left( { - 9 + 2y - 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {1 - 3y} \right)\left( {2y - 10} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow 1 - 3y = 0\) hoặc 2y – 10 = 0 + 1 – 3y = 0 \( \Leftrightarrow y = {1 \over 3}\) + 2y – 10 = 0 \( \Leftrightarrow y = 5\) Vậy phương trình (2x – 3y +7)(3x + 2y – 1) = 0 nhận x = -3 làm nghiệm thì y = 5 hoặc \(y = {1 \over 3}\) b. Phương trình f (x,y) = 0 ⇔ (2x – 3y +7)(3x + 2y – 1) = 0 nhận y = 2 làm nghiệm nên ta có: \(\eqalign{ & \left( {2x - 3.2 + 7} \right)\left( {3x + 2.2 - 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {2x - 6 + 7} \right)\left( {3x + 4 - 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 3} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow 2x + 1 = 0\)hoặc \(3x + 3 = 0\) + \(2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - {1 \over 2}\) + \(3x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) Vậy phương trình (2x – 3y +7)(3x + 2y – 1) = 0 nhận y = 2 làm nghiệm thì x = -1 hoặc \(x = - {1 \over 2}\) Giaibaitap.me Page 4
Page 5
Câu 38 trang 12 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Giải các phương trình sau: a. \({{1 - x} \over {x + 1}} + 3 = {{2x + 3} \over {x + 1}}\) b. \({{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over {2x - 3}} - 1 = {{{x^2} + 10} \over {2x - 3}}\) c. \({{5x - 2} \over {2 - 2x}} + {{2x - 1} \over 2} = 1 - {{{x^2} + x - 3} \over {1 - x}}\) d. \({{5 - 2x} \over 3} + {{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {3x - 1}} = {{\left( {x + 2} \right)\left( {1 - 3x} \right)} \over {9x - 3}}\) Giải: a. \({{1 - x} \over {x + 1}} + 3 = {{2x + 3} \over {x + 1}}\) ĐKXĐ: \(x \ne - 1\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{1 - x} \over {x + 1}} + {{3\left( {x + 1} \right)} \over {x + 1}} = {{2x + 3} \over {x + 1}} \cr & \Leftrightarrow 1 - x + 3\left( {x + 1} \right) = 2x + 3 \cr & \Leftrightarrow 1 - x + 3x + 3 - 2x - 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow 0x = - 1 \cr} \) Phương trình vô nghiệm. b. \({{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over {2x - 3}} - 1 = {{{x^2} + 10} \over {2x - 3}}\) ĐKXĐ: \(x \ne {3 \over 2}\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over {2x - 3}} - {{2x - 3} \over {2x - 3}} = {{{x^2} + 10} \over {2x - 3}} \cr & \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} - \left( {2x - 3} \right) = {x^2} + 10 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 - 2x + 3 - {x^2} - 10 = 0 \cr & \Leftrightarrow 2x = 3 \cr} \) \( \Leftrightarrow x = {3 \over 2}\) (loại) Phương trình vô nghiệm. c. \({{5x - 2} \over {2 - 2x}} + {{2x - 1} \over 2} = 1 - {{{x^2} + x - 3} \over {1 - x}}\) ĐKXĐ: \(x \ne 1\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{5x - 2} \over {2\left( {1 - x} \right)}} + {{\left( {2x - 1} \right)\left( {1 - x} \right)} \over {2\left( {1 - x} \right)}} = {{2\left( {1 - x} \right)} \over {2\left( {1 - x} \right)}} - {{2\left( {{x^2} + x - 3} \right)} \over {2\left( {1 - x} \right)}} \cr & \Leftrightarrow 5x - 2 + \left( {2x - 1} \right)\left( {1 - x} \right) = 2\left( {1 - x} \right) - 2\left( {{x^2} + x - 3} \right) \cr & \Leftrightarrow 5x - 2 + 2x - 2{x^2} - 1 + x - 2 + 2x + 2{x^2} + 2x - 6 = 0 \cr & \Leftrightarrow 5x + 2x + x + 2x + 2x = 2 + 6 + 2 + 1 \Leftrightarrow 12x = 11 \cr} \) \( \Leftrightarrow x = {{11} \over {12}}\) (thỏa) Vậy phương trình có nghiệm \(x = {{11} \over {12}}\) d. \({{5 - 2x} \over 3} + {{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {3x - 1}} = {{\left( {x + 2} \right)\left( {1 - 3x} \right)} \over {9x - 3}}\) ĐKXĐ: \(x \ne {1 \over 3}\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{\left( {5 - 2x} \right)\left( {3x - 1} \right)} \over {3\left( {3x - 1} \right)}} + {{3\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)} \over {3\left( {3x - 1} \right)}} = {{\left( {x + 2} \right)\left( {1 - 3x} \right)} \over {3\left( {3x - 1} \right)}} \cr & \Leftrightarrow \left( {5 - 2x} \right)\left( {3x - 1} \right) + 3\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = \left( {x + 2} \right)\left( {1 - 3x} \right) \cr & \Leftrightarrow 15x - 5 - 6{x^2} + 2x + 3{x^2} - 3 = x - 3{x^2} + 2 - 6x \cr & \Leftrightarrow - 6{x^2} + 3{x^2} + 3{x^2} + 15x + 2x - x + 6x = 2 + 5 + 3 \cr & \Leftrightarrow 22x = 10 \cr} \) \( \Leftrightarrow x = {5 \over {11}}\) (thỏa) Vậy phương trình có nghiệm \(x = {5 \over {11}}\) Câu 39 trang 12 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 a. Tìm x sao cho giá trị của biểu thức \({{2{x^2} - 3x - 2} \over {{x^2} - 4}}\) bằng 2 b. Tìm x sao cho giá trị của hai biểu thức \({{6x - 1} \over {3x + 2}}\)và \({{2x + 5} \over {x - 3}}\) bằng nhau. c. Tìm y sao cho giá trị của hai biểu thức \({{y + 5} \over {y - 1}} - {{y + 1} \over {y - 3}}\)và \({{ - 8} \over {\left( {y - 1} \right)\left( {y - 3} \right)}}\) bằng nhau Giải: a. Ta có: \({{2{x^2} - 3x - 2} \over {{x^2} - 4}}\) = 2 ĐKXĐ: \(x \ne \pm 2\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x - 2 = 2\left( {{x^2} - 4} \right) \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x - 2 = 2{x^2} - 8 \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} - 2{x^2} - 3x = - 8 + 2 \cr} \) \( \Leftrightarrow - 3x = - 6\) \( \Leftrightarrow x = 2\) (loại) Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn điều kiện bài toán. b. Ta có: \({{6x - 1} \over {3x + 2}}\)= \({{2x + 5} \over {x - 3}}\) ĐKXĐ: \(x \ne - {2 \over 3}\)và \(x \ne 3\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{\left( {6x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)} \over {\left( {3x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = {{\left( {2x + 5} \right)\left( {3x + 2} \right)} \over {\left( {3x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} \cr & \Leftrightarrow \left( {6x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = \left( {2x + 5} \right)\left( {3x + 2} \right) \cr & \Leftrightarrow 6{x^2} - 18x - x + 3 = 6{x^2} + 4x + 15x + 10 \cr & \Leftrightarrow 6{x^2} - 6{x^2} - 18x - x - 4x - 15x = 10 - 3 \cr & \Leftrightarrow - 38x = 7 \cr} \) \( \Leftrightarrow x = - {7 \over {38}}\) (thỏa) Vậy khi \(x = - {7 \over {38}}\) thì giá trị của hai biểu thức \({{6x - 1} \over {3x + 2}}\) và \({{2x + 5} \over {x - 3}}\) c. Ta có: \({{y + 5} \over {y - 1}} - {{y + 1} \over {y - 3}}\)= \({{ - 8} \over {\left( {y - 1} \right)\left( {y - 3} \right)}}\) ĐKXĐ: \(y \ne 1\)và \(y \ne 3\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{\left( {y + 5} \right)\left( {y - 3} \right)} \over {\left( {y - 1} \right)\left( {y - 3} \right)}} - {{\left( {y + 1} \right)\left( {y - 1} \right)} \over {\left( {y - 1} \right)\left( {y - 3} \right)}} = {{ - 8} \over {\left( {y - 1} \right)\left( {y - 3} \right)}} \cr & \Leftrightarrow \left( {y + 5} \right)\left( {y - 3} \right) - \left( {y + 1} \right)\left( {y - 1} \right) = - 8 \cr & \Leftrightarrow {y^2} - 3y + 5y - 15 - {y^2} + 1 = - 8 \cr & \Leftrightarrow 2y = 6 \cr} \) \( \Leftrightarrow y = 3\) (loại) Vậy không có giá trị nào của y thỏa mãn điều kiện bài toán. Câu 40 trang 12 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Giải các phương trình sau: a. \({{1 - 6x} \over {x - 2}} + {{9x + 4} \over {x + 2}} = {{x\left( {3x - 2} \right) + 1} \over {{x^2} - 4}}\) b. \(1 + {x \over {3 - x}} = {{5x} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} + {2 \over {x + 2}}\) c. \({2 \over {x - 1}} + {{2x + 3} \over {{x^2} + x + 1}} = {{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)} \over {{x^3} - 1}}\) d. \({{{x^3} - {{\left( {x - 1} \right)}^3}} \over {\left( {4x + 3} \right)\left( {x - 5} \right)}} = {{7x - 1} \over {4x + 3}} - {x \over {x - 5}}\) Giải: a. \({{1 - 6x} \over {x - 2}} + {{9x + 4} \over {x + 2}} = {{x\left( {3x - 2} \right) + 1} \over {{x^2} - 4}}\) ĐKXĐ: \(x \ne \pm 2\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{\left( {1 - 6x} \right)\left( {x + 2} \right)} \over {{x^2} - 4}} + {{\left( {9x + 4} \right)\left( {x - 2} \right)} \over {{x^2} - 4}} = {{x\left( {3x - 2} \right) + 1} \over {{x^2} - 4}} \cr & \Leftrightarrow \left( {1 - 6x} \right)\left( {x + 2} \right) + \left( {9x + 4} \right)\left( {x - 2} \right) = x\left( {3x - 2} \right) + 1 \cr & \Leftrightarrow x + 2 - 6{x^2} - 12x + 9{x^2} - 18x + 4x - 8 = 3{x^2} - 2x + 1 \cr & \Leftrightarrow - 6{x^2} + 9{x^2} - 3{x^2} + x - 12x - 18x + 4x + 2x = 1 - 2 + 8 \cr & \Leftrightarrow - 23x = 7 \cr} \) \( \Leftrightarrow x = - {7 \over {23}}\) (thỏa) Vậy phương trình có nghiệm \(x = - {7 \over {23}}\) b. \(1 + {x \over {3 - x}} = {{5x} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} + {2 \over {x + 2}}\) ĐKXĐ: \(x \ne 3\)và \(x = - 2\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} + {{x\left( {x + 2} \right)} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} = {{5x} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} + {{2\left( {3 - x} \right)} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right) + x\left( {x + 2} \right) = 5x + 2\left( {3 - x} \right) \cr & \Leftrightarrow 3x - {x^2} + 6 - 2x + {x^2} + 2x = 5x + 6 - 2x \cr & \Leftrightarrow {x^2} - {x^2} + 3x - 2x + 2x - 5x + 2x = 6 - 6 \cr & \Leftrightarrow 0x = 0 \cr} \) Phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi giá trị của x thỏa mãn điều kiện xác định. Vậy phương trình có nghiệm \(x \in R/x \ne 3\) và \(x \ne - 2\) c. \({2 \over {x - 1}} + {{2x + 3} \over {{x^2} + x + 1}} = {{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)} \over {{x^3} - 1}}\) ĐKXĐ: \(x \ne 1\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{2\left( {{x^2} + x + 1} \right)} \over {{x^3} - 1}} + {{\left( {2x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)} \over {{x^3} - 1}} = {{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)} \over {{x^3} - 1}} \cr & \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + x + 1} \right) + \left( {2x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) = \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right) \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x + 2 + 2{x^2} - 2x + 3x - 3 = 4{x^2} - 1 \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} + 2{x^2} - 4{x^2} + 2x - 2x + 3x = - 1 - 2 + 3 \cr & \Leftrightarrow 3x = 0 \cr} \) (thỏa) Vậy phương trình có nghiệm x = 0 d. \({{{x^3} - {{\left( {x - 1} \right)}^3}} \over {\left( {4x + 3} \right)\left( {x - 5} \right)}} = {{7x - 1} \over {4x + 3}} - {x \over {x - 5}}\) ĐKXĐ: \(x \ne - {3 \over 4}\)và \(x \ne 5\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{{x^3} - {{\left( {x - 1} \right)}^3}} \over {\left( {4x + 3} \right)\left( {x - 5} \right)}} = {{\left( {7x - 1} \right)\left( {x - 5} \right)} \over {\left( {4x + 3} \right)\left( {x - 5} \right)}} - {{x\left( {4x + 3} \right)} \over {\left( {4x + 3} \right)\left( {x - 5} \right)}} \cr & \Leftrightarrow {x^3} - {\left( {x - 1} \right)^3} = \left( {7x - 1} \right)\left( {x - 5} \right) - x\left( {4x + 3} \right) \cr & \Leftrightarrow {x^3} - {x^3} - 3{x^2} - 3x + 1 = 7{x^2} - 35x - x + 5 - 4{x^2} - 3x \cr & \Leftrightarrow 3{x^2} - 7{x^2} + 4{x^2} - 3x + 35x + x + 3x = 5 - 1 \cr & \Leftrightarrow 36x = 4 \cr} \) \( \Leftrightarrow x = {1 \over 9}\) (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm \(x = {1 \over 9}\) Giaibaitap.me Page 6
Câu 41 trang 13 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Giải các phương trình sau: a. \({{2x + 1} \over {x - 1}} = {{5\left( {x - 1} \right)} \over {x + 1}}\) b. \({{x - 3} \over {x - 2}} + {{x - 2} \over {x - 4}} = - 1\) c. \({1 \over {x - 1}} + {{2{x^2} - 5} \over {{x^3} - 1}} = {4 \over {{x^2} + x + 1}}\) d. \({{13} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + {1 \over {2x + 7}} = {6 \over {{x^2} - 9}}\) Giải: a. \({{2x + 1} \over {x - 1}} = {{5\left( {x - 1} \right)} \over {x + 1}}$ ĐKXĐ: \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = {{5\left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} \cr & \Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 5\left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x + x + 1 = 5{x^2} - 10x + 5 \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} - 5{x^2} + 2x + x + 10x + 1 - 5 = 0 \cr & \Leftrightarrow - 3{x^2} + 13x - 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow 3{x^2} - x - 12x + 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow x\left( {3x - 1} \right) - 4\left( {3x - 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\left( {x - 4} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow x - 4 = 0\) hoặc \(3x - 1 = 0\) +) \(x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 4\) (thỏa mãn) +) \(3x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 3}\) (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = 4 hoặc \(x = {1 \over 3}\) b. \({{x - 3} \over {x - 2}} + {{x - 2} \over {x - 4}} = - 1\) ĐKXĐ: \(x \ne 2\)và \(x \ne 4\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right)}} + {{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 2} \right)} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right)}} = - {{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right)} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right)}} \cr & \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right) + \left( {x - 2} \right)\left( {x - 2} \right) = - \left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right) \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 3x + 12 + {x^2} - 2x - 2x + 4 = - {x^2} + 4x + 2x - 8 \cr & \Leftrightarrow 3{x^2} - 17x + 24 = 0 \cr & \Leftrightarrow 3{x^2} - 9x - 8x + 24 = 0 \cr & \Leftrightarrow 3x\left( {x - 3} \right) - 8\left( {x - 3} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {3x - 8} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow 3x - 8 = 0\) hoặc \(x - 3 = 0\) + \(3x - 8 = 0 \Leftrightarrow x = {8 \over 3}\) (thỏa mãn) + \(x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\) (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm \(x = {8 \over 3}\) hoặc x = 3 c. \({1 \over {x - 1}} + {{2{x^2} - 5} \over {{x^3} - 1}} = {4 \over {{x^2} + x + 1}}\) ĐKXĐ: \(x \ne 1\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{{x^2} + x + 1} \over {{x^3} - 1}} + {{2{x^2} - 5} \over {{x^3} - 1}} = {{4\left( {x - 1} \right)} \over {{x^3} - 1}} \cr & \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 + 2{x^2} - 5 = 4\left( {x - 1} \right) \cr & \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 + 2{x^2} - 5 = 4x - 4 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 2{x^2} + x - 4x = - 4 + 5 - 1 \cr & \Leftrightarrow 3{x^2} - 3x = 0 \cr & \Leftrightarrow 3x\left( {x - 1} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow x = 0\) (thỏa) hoặc \(x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) (loại) Vậy phương trình có nghiệm x = 0 d. \({{13} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + {1 \over {2x + 7}} = {6 \over {{x^2} - 9}}\) ĐKXĐ: \(x \ne \pm 3\) và \(x = - {7 \over 2}\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{13\left( {x + 3} \right)} \over {\left( {{x^2} - 9} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + {{{x^2} - 9} \over {\left( {{x^2} - 9} \right)\left( {2x + 7} \right)}} = {{6\left( {2x + 7} \right)} \over {\left( {{x^2} - 9} \right)\left( {2x + 7} \right)}} \cr & \Leftrightarrow 13\left( {x + 3} \right) + {x^2} - 9 = 6\left( {2x + 7} \right) \cr & \Leftrightarrow 13x + 39 + {x^2} - 9 = 12x + 42 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + x - 12 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 4x - 12 = 0 \cr & \Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) + 4\left( {x - 3} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 4} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow x + 4 = 0\) hoặc \(x - 3 = 0\) + \(x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = - 4\) (thỏa mãn) + \(x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\) (loại) Vậy phương trình có nghiệm x = -4 Câu 42 trang 13 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Cho phương trình ẩn: \({{x + a} \over {a - x}} + {{x - a} \over {a + x}} = {{a\left( {3a + 1} \right)} \over {{a^2} - {x^2}}}\) a. Giải phương trình với a = -3 b. Giải phương trình với a = 1 c. Giải phương trình với a = 0 d. Tìm các giá trị của a sao cho phương trình nhận \(x = {1 \over 2}\) làm nghiệm. Giải: a. Khi a = -3, ta có phương trình: \({{x - 3} \over { - 3 - x}} + {{x + 3} \over { - 3 + x}} = {{ - 3\left[ {3\left( { - 3} \right) + 1} \right]} \over {{{\left( { - 3} \right)}^2} - {x^2}}}\) ĐKXĐ: \(x \ne \pm 3\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{3 - x} \over {x + 3}} + {{x + 3} \over {x - 3}} = {{24} \over {9 - {x^2}}} \cr & \Leftrightarrow {{3 - x} \over {x + 3}} - {{x + 3} \over {x - 3}} = - {{24} \over {{x^2} - 9}} \cr & \Leftrightarrow {{\left( {3 - x} \right)\left( {x - 3} \right)} \over {{x^2} - 9}} - {{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 3} \right)} \over {{x^2} - 9}} = - {{24} \over {{x^2} - 9}} \cr & \Leftrightarrow \left( {3 - x} \right)\left( {x - 3} \right) - {\left( {x + 3} \right)^3} = - 24 \cr & \Leftrightarrow 3x - 9 - {x^2} + 3x + {x^2} + 6x + 9 = - 24 \cr & \Leftrightarrow 12x = - 24 \cr} \) \( \Leftrightarrow x = - 2\) (thỏa) Vậy phương trình có nghiệm x = -2 b. Khi a = 1, ta có phương trình: \({{x + 1} \over {1 - x}} + {{x - 1} \over {1 + x}} = {{1\left( {3.1 + 1} \right)} \over {{1^2} - {x^2}}}\) ĐKXĐ: \(x \ne \pm 1\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{x + 1} \over {1 - x}} + {{x - 1} \over {1 + x}} = {4 \over {1 - {x^2}}} \cr & \Leftrightarrow {{{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {1 - {x^2}}} + {{\left( {x - 1} \right)\left( {1 - x} \right)} \over {1 - {x^2}}} = {4 \over {1 - {x^2}}} \cr & \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + \left( {x - 1} \right)\left( {1 - x} \right) = 4 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 + x - {x^2} - 1 + x = 4 \cr & \Leftrightarrow 4x = 4 \cr} \) \( \Leftrightarrow x = 1\) (loại) Vậy phương trình vô nghiệm. c. Khi a = 0, ta có phương trình: \({x \over { - x}} + {x \over x} = {0 \over {{x^2}}}\) ĐKXĐ: \(x \ne 0\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{ - {x^2}} \over {{x^2}}} + {{{x^2}} \over {{x^2}}} = {0 \over {{x^2}}} \cr & \Leftrightarrow - {x^2} + {x^2} = 0 \Leftrightarrow 0x = 0 \cr} \) Phương trình có nghiệm đúng với mọi giá trị của \(x \ne 0\) Vậy phương trình có nghiệm \(x \in R/x \ne 0\) d. Thay \(x = {1 \over 2}\) vào phương trình, ta có: \({{{1 \over 2} + a} \over {a - {1 \over 2}}} + {{{1 \over 2} - a} \over {a + {1 \over 2}}} = {{a\left( {3a + 1} \right)} \over {{a^2} - {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^2}}}\) ĐKXĐ: \(x \ne \pm {1 \over 2}\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{{1 \over 2} + a} \over {a - {1 \over 2}}} + {{{1 \over 2} - a} \over {a + {1 \over 2}}} = {{a\left( {3a + 1} \right)} \over {{a^2} - {1 \over 4}}} \cr & \Leftrightarrow {{1 + 2a} \over {2a - 1}} + {{1 - 2a} \over {2a + 1}} = {{4a\left( {3a + 1} \right)} \over {4{a^2} - 1}} \cr & \Leftrightarrow {{\left( {1 + 2a} \right)\left( {2a + 1} \right)} \over {4{a^2} - 1}} + {{\left( {1 - 2a} \right)\left( {2a - 1} \right)} \over {4{a^2} - 1}} = {{4a\left( {3a + 1} \right)} \over {4{a^2} - 1}} \cr & \Leftrightarrow \left( {1 + 2a} \right)\left( {2a + 1} \right) + \left( {1 - 2a} \right)\left( {2a - 1} \right) = 4a\left( {3a + 1} \right) \cr & \Leftrightarrow 2a + 1 + 4{a^2} + 2a + 2a - 1 - 4{a^2} + 2a = 12{a^2} + 4a \cr & \Leftrightarrow 12{a^2} - 4a = 0 \cr & \Leftrightarrow 4a\left( {3a - 1} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow 4a = 0\) hoặc \(3a - 1 = 0\) \( \Leftrightarrow a = 0\) (thỏa) hoặc \(a = {1 \over 3}\) (thỏa) Vậy khi a = 0 hoặc \(a = {1 \over 3}\) thì phương trình \({{x + a} \over {a - x}} + {{x - a} \over {a + x}} = {{a\left( {3a + 1} \right)} \over {{a^2} - {x^2}}}\) nhận \(x = {1 \over 2}\) làm nghiệm. Câu 5.1* trang 13 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Giải các phương trình a. \({2 \over {x + {1 \over {1 + {{x + 1} \over {x - 2}}}}}} = {6 \over {3x - 1}}\) b. \({{{{x + 1} \over {x - 1}} - {{x - 1} \over {x + 1}}} \over {1 + {{x + 1} \over {x - 1}}}} = {{x - 1} \over {2\left( {x + 1} \right)}}\) c. \({5 \over x} + {4 \over {x + 1}} = {3 \over {x + 2}} + {2 \over {x + 3}}\) Giải: a. Ta có: \(x + {1 \over {1 + {{x + 1} \over {x - 2}}}} = x + {{x - 2} \over {2x - 1}} = {{2\left( {{x^2} - 1} \right)} \over {2x - 1}}\) ĐKXĐ của phương trình là \(x \ne 2,x \ne {1 \over 2},x \ne \pm 1,x \ne {1 \over 3}\). Ta biến đổi phương trình đã cho thành \({{2x - 1} \over {{x^2} - 1}} = {6 \over {3x - 1}}\). Khử mẫu và rút gọn: \(\eqalign{ & \left( {2x - 1} \right)\left( {3x - 1} \right) = 6\left( {{x^2} - 1} \right) \cr & \Leftrightarrow - 5x + 1 = - 6 \cr & \Leftrightarrow x = {7 \over 5} \cr} \) Giá trị \(x = {7 \over 5}\) thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình có nghiệm là \(x = {7 \over 5}\) b. Cách 1. ĐKXĐ: \(x \ne \pm 1\). Biến đổi vế trái thành \({{4x} \over {{x^2} - 1}}.{{x - 1} \over {2x}} = {2 \over {x + 1}}\), ta đưa phương trình đã cho về dạng \({2 \over {x + 1}} = {{x - 1} \over {2\left( {x + 1} \right)}}\). Giải phương trình này bằng cách khử mẫu: \(\eqalign{ & 4\left( {x + 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 5} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \(x = 5\) Trong hai giá trị vừa tìm được, chỉ có x = 5 là thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 5. Cách 2. Đặt \({{x + 1} \over {x - 1}} = y\), ta có phương trình \({{y - {1 \over y}} \over {1 + y}} = {1 \over {2y}}\). ĐKXĐ của phương trình này là \(y \ne 0\) và \(y \ne - 1\). Giải phương trình này bằng cách khử mẫu: \(\eqalign{ & 2{y^2} - 2 = 1 + y \cr & \Leftrightarrow 2\left( {{y^2} - 1} \right) - \left( {y + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {y + 1} \right)\left( {2y - 3} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow y = - 1\) hoặc \(y = {3 \over 2}\) Trong hai giá trị tìm được, chỉ có \(y = {3 \over 2}\) là thỏa mãn ĐKXĐ Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình \({{x + 1} \over {x - 1}} = {3 \over 2}\) Giải phương trình này ta được x = 5 c. ĐKXĐ: \(x \in \left\{ {0; - 1; - 2; - 3} \right\}\). Ta biến đổi phương trình như sau: \(\eqalign{ & {5 \over x} + {2 \over {x + 3}} = {4 \over {x + 1}} + {3 \over {x + 2}} \cr & \Leftrightarrow \left( {{5 \over x} + 1} \right) + \left( {{2 \over {x + 3}} + 1} \right) = \left( {{4 \over {x + 1}} + 1} \right) + \left( {{3 \over {x + 2}} + 1} \right) \cr & \Leftrightarrow {{5 + x} \over x} + {{5 + x} \over {x + 3}} = {{5 + x} \over {x + 1}} + {{5 + x} \over {x + 2}} \cr & \Leftrightarrow \left( {5 + x} \right)\left( {{1 \over x} + {1 \over {x + 3}} - {1 \over {x + 1}} - {1 \over {x + 2}}} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow 5 + x = 0(1) \cr} \) hoặc \({1 \over x} + {1 \over {x + 3}} - {1 \over {x + 1}} - {1 \over {x + 2}} = 0\) (2) Ta có: (1) \( \Leftrightarrow x = - 5\) (2) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {1 \over x} + {1 \over {x + 3}} = {1 \over {x + 1}} + {1 \over {x + 2}} \cr & \Leftrightarrow {{2x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}} = {{2x + 3} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} \cr & \Leftrightarrow \left( {2x + 3} \right)\left( {{1 \over {{x^2} + 3x}} - {1 \over {{x^2} + 3x + 2}}} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow 2x + 3 = 0\) hoặc \({1 \over {{x^2} + 3x}} - {1 \over {{x^2} + 3x + 2}} = 0\) + \(2x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - {3 \over 2}\) + \({1 \over {{x^2} + 3x}} - {1 \over {{x^2} + 3x + 2}} = 0\). Dễ thấy phương trình này vô nghiệm. Tóm lại, phương trình đã cho có tập nghiệm là S = \(\left\{ { - 5; - {3 \over 2}} \right\}\) Giaibaitap.me Page 7
Câu 43 trang 14 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Tổng của hai số bằng 80, hiệu của chúng bằng 14. Tìm hai số đó. Giải: Gọi a là số nhỏ. Ta có số lớn là a + 14 Tổng của hai số bằng 80 nên ta có phương trình: \(a + \left( {a + 14} \right) = 80 \Leftrightarrow 2a = 80 - 14 \Leftrightarrow 2a = 66 \Leftrightarrow a = 33\) Vậy số nhỏ là 33, số lớn là 33 + 14 = 47. Câu 44 trang 14 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Tổng của hai số bằng 90, số này gấp đôi số kia. Tìm hai số đó. Giải: Gọi a là số nhỏ. Ta có số lớn là 2a. Tổng của hai số bằng 90 nên ta có phương trình: \(a + 2a = 90 \Leftrightarrow 3a = 90 \Leftrightarrow a = 30\) Vậy số nhỏ là 30, số lớn là 2.30 = 60. Câu 45 trang 14 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Hiệu của hai số bằng 22 , số này gấp đôi số kia. Tìm hai số đó, biết rằng: a. Hai số nêu trong bài là hai số dương. b. Hai số nêu trong bài là tùy ý. Giải: a. Gọi a (a > 0) là số nhỏ. Ta có số lớn là 2a Hiệu của hai số bằng 22 nên ta có phương trình: 2a – a = 22 ⇔ a = 22 (thỏa) Vậy số nhỏ là 22, số lớn là 2.22 = 44 b. Gọi a là một số. Ta có số còn lại là 2a Hiệu của hai số bằng 22 nên ta có các phương trình: \(\left[ {\matrix{ {a - 2a = 22} \cr {2a - a = 22} \cr } \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ { - a = 22} \cr {a = 22} \cr } \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {a = - 22} \cr {a = 22} \cr } } \right.} \right.} \right.\) Vậy hai số đó là 22 và 2.22 = 44 hoặc -22 và 2 .(-22) = -44 Câu 46 trang 14 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Hiệu của hai số bằng 18, tỉ số giữa chúng bằng \({5 \over 8}\). Tìm hai số đó, biết rằng: a. Hai số nêu trong bài là hai số dương. b. Hai số nêu trong bài là tùy ý. Giải: a. Gọi a (a > 0) là số nhỏ. Ta có số lớn là a + 18 Tỉ số giữa chúng bằng \({5 \over 8}\) nên ta có phương trình: \({a \over {a + 18}} = {5 \over 8} \Leftrightarrow 8a = 5\left( {a + 18} \right) \Leftrightarrow 8a = 5a + 90\) \( \Leftrightarrow 3a = 90 \Leftrightarrow a = 30\) (thỏa mãn) Vậy số nhỏ là 30, số lớn là 30 + 18 = 48. b. Gọi a là một số. Ta có số còn lại là a + 18. Tỉ số giữa chúng bằng \({5 \over 8}\) nên ta có phương trình: \({a \over {a + 18}} = {5 \over 8}\) hoặc \({{a + 18} \over a} = {5 \over 8}\) \({a \over {a + 18}} = {5 \over 8}\) (kết quả trong câu a) \(\eqalign{ & {{a + 18} \over a} = {5 \over 8} \Leftrightarrow 8\left( {a + 18} \right) = 5a \Leftrightarrow 8a + 144 = 5a \Leftrightarrow 3a = - 144 \cr & \Leftrightarrow a = - 48 \cr} \) Suy ra số còn lại là -48 + 18 = -30 Vậy hai số đó là 30 và 48 hoặc -48 và -30 Giaibaitap.me Page 8
Câu 47 trang 14 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Hai số nguyên dương có tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai bằng ${3 \over 5}$. Nếu lấy số thứ nhất chia cho 9, số thứ hai chia cho 6 thì thương của phép chia số thứ nhất cho 9 bé hơn thương của phép chia số thứ hai cho 6 là 3 đơn vị. Tìm hai số đó, biết rằng các phép chia nói trên đều là phép chia hết. Giải: Gọi a (a ∈ N*) là số thứ nhất. Ta có số thứ hai là \({5 \over 3}a\) Thương phép chia thứ nhất cho 9 là \({a \over 9}\) Thương phép chia số thứ hai cho 6 là \({5 \over 3}a:6 = {{5a} \over {18}}\) Thương thứ nhất bé hơn thương thứ hai là ba đơn vị nên ta có phương trình: \(\eqalign{ & {{5a} \over {18}} - {a \over 9} = 3 \Leftrightarrow {{5a} \over {18}} - {{2a} \over {18}} = {{54} \over {18}} \cr & \Leftrightarrow 5a - 2a = 54 \Leftrightarrow 3a = 54 \cr} \) \( \Leftrightarrow a = 18\) (thỏa mãn) Vậy số thứ nhất là 18, số thứ hai là \({5 \over 3}.18 = 30\) Câu 48 trang 14 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Thùng thứ nhất chứa 60 gói kẹo, thùng thứ hai chứa 80 gói kẹo. Người ta lấy ra từ thùng thứ hai số gói kẹo nhiều gấp ba lần số gói kẹo lấy ra từ thùng thứ nhất. Hỏi có bao nhiêu gói kẹo được lấy ra từ thùng thứ nhất, biết rằng số gói kẹo còn lại trong thùng thứ nhất nhiều gấp hai lần số gói kẹo còn lại trong thùng thứ hai ? Giải: Gọi a (gói) (a ∈ N*, a < 60) là số gói kẹo lấy ra ở thùng thứ nhất. Số gói kẹo lấy ra ở thùng thứ hai là 3a Số gói kẹo còn lại ở thùng thứ nhất là 60 – a Số gói kẹo còn lại ở thùng thứ hai là 80 – 3a Vì số gói kẹo còn lại trong thùng thứ nhất nhiều gấp hai lần số gói kẹo trong thùng thứ hai nên ta có phương trình: \(\eqalign{ & 60 - a = 2\left( {80 - 3a} \right) \Leftrightarrow 60 - a = 160 - 6a \cr & \Leftrightarrow - a + 6a = 160 - 60 \Leftrightarrow 5a = 100 \cr} \) \( \Leftrightarrow a = 20\) (thỏa mãn) Vậy số gói kẹo lấy ra ở thùng thứ nhất là 20 gói. Câu 49 trang 14 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Một ô tô đi từ Hà Nội đến Thanh Hóa với vận tốc 40 km/h. Sau 2 giờ nghỉ lại ở Thanh Hóa, ô tô lại từ Thanh Hóa về Hà Nội với vận tốc 30 km/h. Tổng thời gian cả đi lẫn về là 10 giờ 45 phút (kể cả thời gian nghỉ lại ở Thanh Hóa). Tính quãng đường Hà Nội – Thanh Hóa. Giải: Gọi a (km) (a > 0) là quãng đường Hà Nội – Thanh Hóa. Thời gian lúc đi là \({a \over {40}}\) (giờ) Thời gian lúc về là \({a \over {30}}\) (giờ) Tổng thời gian đi và về không kể thời gian nghỉ ở Thanh Hóa là: 10 giờ 45 phút – 2 giờ = 8 giờ 45 phút = \(8{3 \over 4}\) giờ = \({{35} \over 4}\) giờ Theo đề bài, ta có phương trình: \({a \over {40}} + {a \over {30}} = {{35} \over 4}\) \( \Leftrightarrow {{3a} \over {120}} + {{4a} \over {120}} = {{1050} \over {120}} \Leftrightarrow 3a + 4a = 1050 \Leftrightarrow 7a = 1050\) \(a = 150\) (thỏa mãn) Vậy quãng đường Hà Nội – Thanh Hóa dài 150 km Câu 50 trang 14 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 (Bài toán cổ Hi Lạp) - Thưa Py-ta-go lỗi lạc, trường của người có bào nhiêu môn đệ ? Nhà hiền triết trả lời : - Hiện nay, một nửa đang học Toán, một phần tư đang học Nhạc, một phần bày đang ngồi yên suy nghĩ. Ngoài ra còn có ba phụ nữ. Hỏi trường Đại học của Py-ta-go có bao nhiêu người ? Giải: Gọi a (a ∈ N*) là số người đang học ở trường Đại học của Py-ta-go. Số người đang học toán là \({a \over 2}\) Số người đang học nhạc là \({a \over 4}\) Số người đang suy nghĩ là \({a \over 7}\) Ngoài ra còn có 3 người phụ nữ nên ta có phương trình: \(\eqalign{ & a = {a \over 2} + {a \over 4} + {a \over 7} + 3 = {{28a} \over {28}} = {{14a} \over {28}} + {{7a} \over {28}} + {{4a} \over {28}} + {{84} \over {28}} \cr & \Leftrightarrow 28a = 14a + 7a + 4a + 84 \Leftrightarrow 28a - 25a = 84 \cr & \Leftrightarrow 3a = 84 \cr} \) \( \Leftrightarrow a = 28\) (thỏa) Vậy trường Đại học của Py-ta-go có 28 người. Giaibaitap.me Page 9
Câu 51 trang 15 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Trong một buổi lao động, lớp 8A gồm 40 học sinh thành hai tốp: tốp thứ nhất trồng cây và tốp thứ hai làm vệ sinh. Tốp trồng cây đông hơn tốp làm vệ sinh là 8 người. Hỏi tốp trồng cây có bao nhiêu học sinh ? Giải: Gọi x là số học sinh tốp trồng cây. Điều kiện: x ∈ N*, 8 < x < 40. Số học sinh thuộc tốp làm vệ sinh là x – 8 Tổng số học sinh toàn lớp là 40 nên ta có phương trình: \(x + \left( {x - 8} \right) = 40 \Leftrightarrow x + x = 40 + 8 \Leftrightarrow 2x = 48\) (thỏa) Vậy số học sinh thuộc tốp trồng cây là 24 (học sinh) Câu 52 trang 15 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Ông của Bình hơn Bình 58 tuổi. Nếu cộng tuổi của bố (hay ba) Bình và hai lần tuổi của Bình thì bằng tuổi của ông và tổng số tuổi của cả ba người bằng 130. Hãy tính tuổi của Bình. Giải: Gọi x là số tuổi của Bình. Điều kiện : x ∈ N* Số tuổi của ông Bình là x + 58 Cộng số tuổi của bố bình và hai lần tuổi của Bình thì bằng tuổi của ông nên ta có: \(\left( {x + 58} \right) - 2x = 58 - x\) Số tuổi của ba người bằng 130 nên ta có: \(\eqalign{ & x + \left( {x + 58} \right) + \left( {58 - x} \right) = 130 \Leftrightarrow x + x + 58 + 58 - x = 130 \cr & \Leftrightarrow x \Leftrightarrow 130 - 58 - 58 \cr} \) \( \Leftrightarrow x = 14\) (thỏa) Vậy Bình 14 tuổi. Câu 53 trang 15 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Một số tự nhiên lẻ có hai chữ số và chia hết cho 5. Hiệu của số đó và chữ số hàng chục của nó bằng 68. Tìm số đó. Giải: Gọi x là chữ số hàng chục. Điều kiện: x ∈ N*, 0 < x ≤ 9. Số tự nhiên lẻ có hai chữ số và chia hết cho 5 có dạng: \(\overline {*5} = 10x + 5\) Vì hiệu của số đó và chữ số hàng chục bằng 68 nên ta có phương trình: \(\eqalign{ & \left( {10x + 5} \right) - x = 68 \Leftrightarrow 10x + 5 - x = 68 \cr & \Leftrightarrow 10x - x = 68 - 5 \Leftrightarrow 9x = 63 \cr} \) \( \Leftrightarrow x = 7\) (thỏa mãn) Vậy số cần tìm là 7 + 68 = 75 Câu 54 trang 15 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu tăng tử số lên 3 đơn vị và giảm mẫu số đi 4 đơn vị thì được phân số bằng \({3 \over 4}\). Tìm phân số ban đầu. Giải: Gọi x là tử số. Điều kiện: x ∈ Z, \(x \ne - 11\) và \(x \ne - 7\) Mẫu số là x + 11 Tử số tăng thêm 3: x + 3 Mẫu số giảm đi 4: (x + 11) – 4 = x + 7 Phân số mới bằng \({3 \over 4}\) nên ta có phương trình: \(\eqalign{ & {{x + 3} \over {x + 7}} = {3 \over 4} \Leftrightarrow 4\left( {x + 3} \right) = 3\left( {x + 7} \right) \cr & \Leftrightarrow 4x + 12 = 3x + 21 \Leftrightarrow 4x - 3x = 21 - 12 \cr} \) \( \Leftrightarrow x = 9\) (thỏa) Tử số là 9, mẫu số là 9 + 11 = 20 Vậy phân số đã cho là \({9 \over {20}}\) Giaibaitap.me Page 10
Câu 55 trang 15 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Một số thập phân có phần nguyên là số có một chữ số. Nếu viết thêm chữ số 2 vào bên trái số đó, sau đó chuyển dấu phẩy sang trái một chữ số thì được số mới bằng \({9 \over {10}}\) số ban đầu. Tìm số thập phân ban đầu. Giải: Gọi x là số cần tìm. Điều kiện: x > 0 Vì phần nguyên là một số có một chữ số nên khi viết số 2 vào bên trái thì số đó tăng thêm 20 đơn vị. Giá trị số mới là 20 + x Vì chuyển dấu phẩy sang trái một chữ số thì số đó giảm đi 10 lần nên khi chuyển dấu phẩy sang trái một chữ số đối với số 20 + x thì nó có giá trị là \({{20 + x} \over {10}}\) Số mới bằng \({9 \over {10}}\) số ban đầu nên ta có phương trình: \({{20 + x} \over {10}} = {9 \over {10}}x \Leftrightarrow 20 + x = 9x \Leftrightarrow 9x - x = 20 \Leftrightarrow 8x = 20\) \( \Leftrightarrow x = 2,5\) (thỏa mãn) Vậy số cần tìm là 2,5. Câu 56 trang 15 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Một ô tô đi từ Hà Nội lúc 8 giờ sáng, dự kiến đến Hải Phòng vào lúc 10 giờ 30 phút. Nhưng mỗi giờ ô tô đã đi chậm hơn so với dự kiến 10 km nên mãi đến 11 giờ 20 phút xe mới tới Hải Phòng. Tính quãng đường Hà Nội – Hải Phòng. Giải: Gọi x (km) là quãng đường Hà Nội – Hải Phòng. Điều kiện : x > 0. Thời gian dự định đi: 10 giờ 30 phút – 8 giờ = 2 giờ 30 phút = \(2{1 \over 2}\) giờ = \({5 \over 2}\) giờ Thời gian thực tế đi: 11 giờ 20 phút – 8 giờ = 3 giờ 20 phút = \(3{1 \over 3}\) giờ = \({{10} \over 3}\) giờ Vận tốc dự định đi: \({x \over {{5 \over 2}}} = {{2x} \over 5}\) (km/h) Vận tốc thực tế đi: \({x \over {{{10} \over 3}}} = {{3x} \over {10}}\) (km/h) Vận tốc thực tế đi chậm hơn vận tốc dự định đi 10 km/h nên ta có phương trình: \({{2x} \over 5} - {{3x} \over {10}} = 10 \Leftrightarrow {{4x} \over {10}} - {{3x} \over {10}} = {{100} \over {10}} \Leftrightarrow 4x - 3x = 100\) \( \Leftrightarrow x = 100\) (thỏa mãn) Vậy quãng đường Hà Nội – Hải Phòng dài 100 km. Câu 57 trang 15 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Một tàu trở ga từ ga Vinh về ga Hà Nội. Sau đó 1,5 giờ, một tàu chở khách xuất phát từ ga Hà Nội đi Vinh với vận tốc lớn hơn vận tốc tàu chở hàng là 7 km/h. Khi tàu khách đi được 4 giờ thì nó còn cách tàu hàng là 25 km. Tính vận tốc mỗi tàu, biết rằng hai ga cách nhau 319 km. Giải: Gọi x (km/h) là vận tốc của tàu hàng. Điều kiện: x > 0 Vận tốc của tàu khách là x + 7 (km/h) Thời gian tàu hàng từ lúc đi đến lúc cách tàu khách 25km là: 1,5 + 4 = 5,5 (giờ) Quãng đường tàu hàng đi được trong 5,5 giờ là 5,5x (km) Quãng đường tàu khách đi được trong 4 giờ là 4(x + 7) (km) Theo đề bài ta có phương trình: \(\eqalign{ & 5,5x + 4\left( {x + 7} \right) = 319 - 25 \Leftrightarrow 5,5x + 4x + 28 = 294 \cr & \Leftrightarrow 9,5x = 294 - 28 \Leftrightarrow 9,5x = 266 \cr} \) (thỏa) Vậy vận tốc của tàu hàng là 28 km/h vận tốc của tàu khách là 28 + 7 = 35 km/h Giaibaitap.me Page 11
Câu 58 trang 15 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Một người đi xe đạp từ A đến B. Lúc đầu, trên đoạn đường đá, người đó đi với vận tốc 10 km/h. Trên đoạn đường còn lại là đường nhựa, dài gấp rưỡi đoạn đường đá, người đó đi với vận tốc 15 km/h. Sau 4 giờ người đó đến B. Tính độ dài quãng đường AB. Giải: Gọi x (km) là quãng đường đá. Điều kiện: x > 0. Chiều dài đoạn đường nhựa là 1,5x (km) Thời gian đi đoạn đường đá là \({x \over {10}}\) (giờ) Thời gian đi đoạn đường nhựa là \({{1,5x} \over {15}}\) (giờ) Sau 4 giờ người đó đến B nên ta có phương trình: \(\eqalign{ & {x \over {10}} + {{1,5x} \over {15}} = 4 \Leftrightarrow {{3x} \over {30}} + {{3x} \over {30}} = {{120} \over {30}} \cr & \Leftrightarrow 3x + 3x = 120 \Leftrightarrow 6x = 120 \cr} \) (thỏa) Đoạn đường đá dài 20 km, đoạn đường nhựa dài 20. 1,5 = 30 km Vậy quãng đường AB dài 20 + 30 = 50 km Câu 59 trang 15 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Bánh trước của một máy kéo có chu vi là 2,5m, bánh sau có chu vi là 4m. Khi máy kéo đi từ A đến B, bánh trước quay nhiều hơn bánh sau 15 vòng. Tính khoảng cách AB. Giải: Gọi x (m) là khoảng cách từ A đến B. Điều kiện: x > 0 Khi đi hết đoạn đường từ A đến B, số vòng quay của bánh xe trước là \({x \over {2,5}}\) (vòng), số vòng quay của bánh xe sau là \({x \over 4}\) (vòng). Vì bánh xe trước quay nhiều hơn bánh xe sau 15 vòng nên ta có phương trình: \(\eqalign{ & {x \over {2,5}} - {x \over 4} = 15 \Leftrightarrow {{8x} \over {20}} - {{5x} \over {20}} = {{300} \over {20}} \cr & \Leftrightarrow 8x - 5x = 300 \Leftrightarrow 3x = 300 \cr} \) \( \Leftrightarrow x = 100\) (thỏa mãn) Vậy A cách B 100m Câu 60 trang 15 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Một miếng hợp kim đồng và thiếc có khối lượng 12kg, chứa 45% đồng. Hỏi phải thêm vào đó bao nhiêu thiếc nguyên chất để được một hợp kim mới có chứa 40% đồng ? Giải: Gọi x (kg) là khối lượng thiếc thêm vào. Điều kiện: x > 0 Khối lượng miếng hợp kim sau khi thêm là x + 12 (kg) Khối lượng đồng có trong 12 kg hợp kim chứa 45% đồng là: \(12.{{45} \over {100}} = 5,4\) (kg) Vì khối lượng đồng không đổi trong hợp kim mới chứa 40% đồng nên ta có phương trình: \(\eqalign{ & {{5,4} \over {x + 12}} = {{40} \over {100}} \Leftrightarrow {{5,4} \over {x + 12}} = {4 \over {10}} \Leftrightarrow 5,4.10 = 4\left( {x + 12} \right) \cr & \Leftrightarrow 54 = 4x + 48 \Leftrightarrow 4x = 54 - 48 \Leftrightarrow 4x = 6 \cr} \) \( \Leftrightarrow x = 1,5\) (thỏa mãn) Vậy phải thêm vào 1,5kg thiếc. Câu 61 trang 15 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Một cửa hàng bán một máy vi tính với giá 6,5 triệu đồng chưa kể thuế giá trị gia tăng (VAT). Anh Trọng mua chiếc máy vi tính đó cùng với một môđem ngoài và phải trả tổng cộng 7,546 triệu đồng, trong đó đã tính cả 10% thuế VAT. Hỏi giá tiền một chiếc môđem (không kể VAT) là bao nhiêu ? Giải: Gọi x (triệu đồng) là số tiền mua môđem chưa kể thuế VAT. Điều kiện: x > 0. Số tiền mua máy tính và môđem chưa kể thuế VAT: 6,5 + x (triệu đồng) Số tiền thuế VAT phải trả là: (triệu đồng) Tổng số tiền anh Trọng phải trả là 7,546 triệu đồng nên ta có phương trình: \(\eqalign{ & \left( {6,5 + x} \right) + \left( {6,5 + x} \right).10\% = 7,546 \cr & \Leftrightarrow {{100\left( {6,5 + x} \right)} \over {100}} + {{10\left( {6,5 + x} \right)} \over {100}} = {{754,6} \over {100}} \cr & \Leftrightarrow 100\left( {6,5 + x} \right) + 10\left( {6,5 + x} \right) = 754,6 \cr & \Leftrightarrow 650 + 100x + 65 + 10x = 754,6 \cr & \Leftrightarrow 100x + 10x = 754,6 - 650 - 65 \cr & \Leftrightarrow 110x = 39,6 \cr} \) \( \Leftrightarrow x = 0,36\) (thỏa mãn) Vậy giá của môđem là 0,36 triệu đồng = 360.000 đồng. Giaibaitap.me Page 12
Câu 62 trang 16 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Cho hai biểu thức A = \({5 \over {2m + 1}}\) và B = \({4 \over {2m - 1}}\) Hãy tìm các giá trị của m để hai biểu thức ấy có giá trị thỏa mãn hệ thức a. 2A + 3B = 0 b. AB = A + B Giải: Ta có: A = \({5 \over {2m + 1}}\) và B = \({4 \over {2m - 1}}\) ĐKXĐ: \(m \ne \pm {1 \over 2}\) a. \(\eqalign{ & 2A + 3B = 0 \cr & \Leftrightarrow 2.{5 \over {2m + 1}} + 3.{4 \over {2m - 1}} = 0 \cr & \Leftrightarrow {{10} \over {2m + 1}} +{{12} \over {2m - 1}} = 0 \cr & \Leftrightarrow {{10\left( {2m - 1} \right)} \over {\left( {2m + 1} \right)\left( {2m - 1} \right)}} + {{12\left( {2m + 1} \right)} \over {\left( {2m + 1} \right)\left( {2m - 1} \right)}} = 0 \cr & \Leftrightarrow 10\left( {2m - 1} \right) + 12\left( {2m + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow 20m - 10 + 24m + 12 = 0 \cr & \Leftrightarrow 44m + 2 = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow m = - {1 \over {22}}\) (thỏa mãn) Vậy \(m = - {1 \over {22}}\) thì 2A + 3B = 0 b. \(\eqalign{ & A.B = A + {\rm B} \cr & \Rightarrow {5 \over {2m + 1}}.{4 \over {2m - 1}} = {5 \over {2m + 1}} + {4 \over {2m - 1}} \cr} \) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{20} \over {\left( {2m + 1} \right)\left( {2m - 1} \right)}} = {{5\left( {2m - 1} \right)} \over {\left( {2m + 1} \right)\left( {2m - 1} \right)}} + {{4\left( {2m + 1} \right)} \over {\left( {2m + 1} \right)\left( {2m - 1} \right)}} \cr & \Leftrightarrow 20 = 5\left( {2m - 1} \right) + 4\left( {2m + 1} \right) \cr & \Leftrightarrow 20 = 10m - 5 + 8m + 4 \cr & \Leftrightarrow 18m = 21 \cr} \) \( \Leftrightarrow m = {7 \over 6}\) (thỏa mãn) Vậy \(m = {7 \over 6}\) thì A.B = A + B. Câu 63 trang 16 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Tính gần đúng nghiệm của các phương trình sau, làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai (dùng máy tính bỏ túi để tính toán) a. \(\left( {x\sqrt {13} + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 7 - x\sqrt 3 } \right) = 0\) b. \(\left( {x\sqrt {2,7} - 1,54} \right)\left( {\sqrt {1,02} + x\sqrt {3,1} } \right) = 0\) Giải: a. \(\left( {x\sqrt {13} + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 7 - x\sqrt 3 } \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x\sqrt {13} + \sqrt 5 = 0\) hoặc \(\sqrt 7 - x\sqrt 3 = 0\) + \(x\sqrt {13} + \sqrt 5 = 0 \Leftrightarrow x = - {{\sqrt 5 } \over {\sqrt {13} }} \approx - 0,62\) + \(\sqrt 7 - x\sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow x = {{\sqrt 7 } \over {\sqrt 3 }} \approx 1,53\) Vậy phương trình có nghiệm x = -0,62 hoặc x = 1,53. b. \(\left( {x\sqrt {2,7} - 1,54} \right)\left( {\sqrt {1,02} + x\sqrt {3,1} } \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x\sqrt {2,7} - 1,54 = 0\) hoặc \(\sqrt {1,02} + x\sqrt {3,1} = 0\) + \(x\sqrt {2,7} - 1,54 = 0 \Leftrightarrow x = {{1,54} \over {\sqrt {2,7} }} \approx 0,94\) + \(\sqrt {1.02} + x\sqrt {3,1} = 0 \Leftrightarrow x = - {{\sqrt {1,02} } \over {\sqrt {3,1} }} \approx - 0,57\) Vậy phương trình có nghiệm x = 0,94 hoặc x = -0,57 Câu 64 trang 16 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Giải các phương trình sau: a. \({{9x - 0,7} \over 4} - {{5x - 1,5} \over 7} = {{7x - 1,1} \over 3} - {{5\left( {0,4 - 2x} \right)} \over 6}\) b. \({{3x - 1} \over {x - 1}} - {{2x + 5} \over {x + 3}} = 1 - {4 \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}\) c. \({3 \over {4\left( {x - 5} \right)}} + {{15} \over {50 - 2{x^2}}} = - {7 \over {6\left( {x + 5} \right)}}\) d. \({{8{x^2}} \over {3\left( {1 - 4{x^2}} \right)}} = {{2x} \over {6x - 3}} - {{1 + 8x} \over {4 + 8x}}\) Giải: a. \({{9x - 0,7} \over 4} - {{5x - 1,5} \over 7} = {{7x - 1,1} \over 3} - {{5\left( {0,4 - 2x} \right)} \over 6}\) \( \Leftrightarrow {{21\left( {9x - 0,7} \right)} \over {84}} - {{12\left( {5x - 1,5} \right)} \over {84}}\) = \({{28\left( {7x - 1,1} \right)} \over {84}} - {{70\left( {0,4 - 2x} \right)} \over {84}}\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow 21\left( {9x - 0,7} \right) - 12\left( {5x - 1,5} \right) = 28\left( {7x - 1,1} \right) - 70\left( {0,4 - 2x} \right) \cr & \Leftrightarrow 189x - 14,7 - 60x + 18 = 196x - 30,8 - 28 + 140x \cr & \Leftrightarrow 189x - 60x - 196x - 140x = - 30,8 - 28 + 14,7 - 18 \cr & \Leftrightarrow - 207x = - 62,1 \cr & \Leftrightarrow x = 0,3 \cr} \) Vậy phương trình có nghiệm x = 0,3 b. \({{3x - 1} \over {x - 1}} - {{2x + 5} \over {x + 3}} = 1 - {4 \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}\) ĐKXĐ: \(x \ne 1\)và \(x \ne 3\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} - {{\left( {2x + 5} \right)\left( {x - 1} \right)} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} = {{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} - {4 \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} \cr & \Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) - \left( {2x + 5} \right)\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) - 4 \cr & \Leftrightarrow 3{x^2} + 9x - x - 3 - 2{x^2} + 2x - 5x + 5 = {x^2} + 3x - x - 3 - 4 \cr & \Leftrightarrow 3{x^2} - 2{x^2} - {x^2} + 9x - x + 2x - 5x - 3x + x = - 3 - 4 + 3 - 5 \cr & \Leftrightarrow 3x = - 9 \cr} \) \( \Leftrightarrow x = - 3\) (loại) Vậy phương trình vô nghiệm c. \({3 \over {4\left( {x - 5} \right)}} + {{15} \over {50 - 2{x^2}}} = - {7 \over {6\left( {x + 5} \right)}}\) ĐKXĐ: \(x \ne \pm 5\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {3 \over {4\left( {x - 5} \right)}} + {{15} \over {2\left( {25 - {x^2}} \right)}} = - {7 \over {6\left( {x + 5} \right)}} \cr & \Leftrightarrow {3 \over {4\left( {x - 5} \right)}} - {{15} \over {2\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}} = - {7 \over {6\left( {x + 5} \right)}} \cr & \Leftrightarrow {{9\left( {x + 5} \right)} \over {12\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}} - {{90} \over {12\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}} = - {{14\left( {x - 5} \right)} \over {12\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}} \cr & \Leftrightarrow 9\left( {x + 5} \right) - 90 = - 14\left( {x - 5} \right) \cr & \Leftrightarrow 9x + 45 - 90 = - 14x + 70 \cr & \Leftrightarrow 9x + 14x = 70 - 45 + 90 \cr & \Leftrightarrow 23x = 115 \cr} \) \( \Leftrightarrow x = 5\) (loại) Vậy phương trìnhvô nghiệm d. \({{8{x^2}} \over {3\left( {1 - 4{x^2}} \right)}} = {{2x} \over {6x - 3}} - {{1 + 8x} \over {4 + 8x}}\) ĐKXĐ: \(x \ne \pm {1 \over 2}\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{8{x^2}} \over {3\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 + 2x} \right)}} = {{ - 2x} \over {3\left( {1 - 2x} \right)}} - {{1 + 8x} \over {4\left( {1 + 2x} \right)}} \cr & \Leftrightarrow {{32{x^2}} \over {12\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 + 2x} \right)}} = {{ - 8x\left( {1 + 2x} \right)} \over {12\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 + 2x} \right)}} - {{3\left( {1 + 8x} \right)\left( {1 - 2x} \right)} \over {12\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 + 2x} \right)}} \cr & \Leftrightarrow 32{x^2} = - 8x - 16{x^2} - 3\left( {1 - 2x + 8x - 16{x^2}} \right) \cr & \Leftrightarrow 32{x^2} = - 8x - 16{x^2} - 3 - 18x + 48{x^2} \cr & \Leftrightarrow 32{x^2} + 16{x^2} - 48{x^2} + 18x + 8x = - 3 \cr & \Leftrightarrow 26x = - 3 \cr} \) \( \Leftrightarrow x = - {3 \over {26}}\) (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm \(x = - {3 \over {26}}\) Câu 65 trang16 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Cho phương trình (ẩn x): \(4{x^2} - 25 + {k^2} + 4kx = 0\) a. Giải phương trình với k = 0 b. Giải phương trình với k = -3 c. Tìm các giá trị của k sao cho phương trình nhận x = -2 làm nghiệm Giải: a. Khi k = 0 ta có phương trình: \(4{x^2} - 25 = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {2x + 5} \right)\left( {2x - 5} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 2x + 5 = 0\) hoặc \(2x - 5 = 0\) + \(2x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = - {5 \over 2}\) + \(2x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = {5 \over 2}\) Vậy phương trình có nghiệm \(x = - {5 \over 2}\) hoặc \(x = {5 \over 2}\) b. Khi k = -3 ta có phương trình: \(4{x^2} - 25 + {\left( { - 3} \right)^2} + 4\left( { - 3} \right)x = 0\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow 4{x^2} - 25 + 9 - 12x = 0 \cr & \Leftrightarrow 4{x^2} - 12x - 16 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 4x + x - 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow x\left( {x - 4} \right) + \left( {x - 4} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow x + 1 = 0\) hoặc \(x - 4 = 0\) + \(x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) + \(x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 4\) Vậy phương trình có nghiệm x = -1 hoặc x = 4 Giaibaitap.me Page 13
Câu 66 trang 17 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Giải các phương trình sau: a. \(\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 3x + 5} \right) = \left( {x + 2} \right){x^2}\) b. \({{ - 7{x^2} + 4} \over {{x^3} + 1}} = {5 \over {{x^2} - x + 1}} - {1 \over {x + 1}}\) c. \(2{x^2} - x = 3 - 6x\) d. \({{x - 2} \over {x + 2}} - {3 \over {x - 2}} = {{2\left( {x - 11} \right)} \over {{x^2} - 4}}\) Giải: a. \(\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 3x + 5} \right) = \left( {x + 2} \right){x^2}\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 3x + 5} \right) - \left( {x + 2} \right){x^2} = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left[ {\left( {{x^2} - 3x + 5} \right) - {x^2}} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 3x + 5 - {x^2}} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {5 - 3x} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow x + 2 = 0\)hoặc \(5 - 3x = 0\) + \(x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2\) + \(5 - 3x = 0 \Leftrightarrow x = {5 \over 3}\) Vậy phương trình có nghiệm x = -2 hoặc \(x = {5 \over 3}\) b. \({{ - 7{x^2} + 4} \over {{x^3} + 1}} = {5 \over {{x^2} - x - 1}} - {1 \over {x + 1}}\) ĐKXĐ: \(x \ne - 1\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{ - 7{x^2} + 4} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = {5 \over {{x^2} - x + 1}} - {1 \over {x + 1}} \cr & \Leftrightarrow {{ - 7{x^2} + 4} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = {{5\left( {x + 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} - {{{x^2} - x + 1} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} \cr & \Leftrightarrow {{ - 7{x^2} + 4} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = {{5x + 5} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} - {{{x^2} - x + 1} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} \cr & \Leftrightarrow - 7{x^2} + 4 = 5x + 5 - {x^2} + x - 1 \cr & \Leftrightarrow - 7{x^2} + {x^2} - 5x - x = 5 - 1 - 4 \cr & \Leftrightarrow - 6{x^2} - 6x = 0 \cr & \Leftrightarrow - {x^2} - x = 0 \cr & \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow x = 0\)hoặc \(x + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow x = 0\)hoặc \(x = - 1\) (loại) Vậy phương trình có nghiệm x = 0 c.\(\eqalign{ & 2{x^2} - x = 3 - 6x \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} - x + 6x - 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {2{x^2} + 6x} \right) - \left( {x + 3} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow 2x\left( {x + 3} \right) - \left( {x + 3} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow 2x - 1 = 0\)hoặc \(x + 3 = 0\) + \(2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 2}\) + \(x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 3\) Vậy phương trình có nghiệm x = -3 hoặc \(x = {1 \over 2}\) d. \({{x - 2} \over {x + 2}} - {3 \over {x - 2}} = {{2\left( {x - 11} \right)} \over {{x^2} - 4}}\) ĐKXĐ: \(x \ne \pm 2\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{x - 2} \over {x + 2}} - {3 \over {x - 2}} = {{2x - 22} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} \cr & \Leftrightarrow {{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} - {{3\left( {x + 2} \right)} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = {{2x - 22} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} \cr & \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) - 3\left( {x + 2} \right) = 2x - 22 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 2x + 4 - 3x - 6 = 2x - 22 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 2x - 3x - 2x + 4 - 6 + 22 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 9x + 20 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 5x - 4x + 20 = 0 \cr & \Leftrightarrow x\left( {x - 5} \right) - 4\left( {x - 5} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {x - 5} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow x - 4 = 0\) hoặc \(x - 5 = 0\) + \(x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 4\) + \(x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = 5\) Vậy phương trình có nghiệm x = 4 hoặc x = 5 Câu 67 trang 17 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Số nhà của Khanh là một số tự nhiên có hai chữ số. Nếu thêm chữ số 5 vào bên trái số đó thì được một số kí hiệu là A. Nếu thêm chữ số 5 vào bên phải số đó thì được một số kí hiệu là B. Tìm số nhà của Khanh, biết rằng A – B = 153. Giải: Gọi x là số nhà bạn Khanh. Điều kiện: và Thêm số 5 vào bên trái số nhà bạn Khanh ta được: \(A = \overline {5x} = 500 + x\) Thêm số 5 vào bên phải số nhà bạn Khanh ta được: \(B = \overline {x5} = 10x + 5\) Vì hiệu của A – B = 153 nên ta có phương trình: \(\eqalign{ & \left( {500 + x} \right) - \left( {10x + 5} \right) = 153 \cr & \Leftrightarrow 500 + x - 10x + 5 = 153 \cr & \Leftrightarrow - 9x = 153 - 500 - 5 \cr & \Leftrightarrow - 9x = - 342 \cr} \) \(x = 38\) ( thỏa mãn) Vậy số nhà bạn Khanh là 38. Câu 68 trang 17 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Một đội thợ mỏ lập kế hoạch khai thác than, theo đó mỗi ngày phải khai thác được 50 tấn than. Khi thực hiện, mỗi ngày đội khai thác được 57 tấn than. Do đó, đội đã hoàn thành kế hoạch trước một ngày và vượt mức 13 tấn than. Hỏi theo kế hoạch, đội phải khai thác bao nhiêu tấn than ? Giải: Gọi x (tấn) là khối lượng than khai thác theo kế hoạch. ĐK: x > 0. Thời gian dự định làm là \({x \over {50}}\) (ngày) Khối lượng than thực tế khai thác là x + 13 (tấn) Thời gian thực tế làm là \({{x + 13} \over {57}}\) (ngày) Vì thời gian hoàn thành sớm hơn kế hoạch một ngày nên ta có phương trình: \(\eqalign{ & {x \over {50}} - {{x + 13} \over {57}} = 1 \cr & \Leftrightarrow {{57x} \over {2850}} - {{50\left( {x + 13} \right)} \over {2850}} = {{2850} \over {2850}} \cr & \Leftrightarrow 57x - 50x - 650 = 2850 \cr & \Leftrightarrow 7x = 2850 + 650 \cr & \Leftrightarrow 7x = 3500 \cr} \) \( \Leftrightarrow x = 500\) (thỏa mãn) Vậy theo kế hoạch, đội phải khai thác 500 tấn than Giaibaitap.me Page 14
Câu 69 trang 17 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Hai xe ô tô cùng khởi hành từ Lạng Sơn về Hà Nội, quãng đường dài 163 km.Trong 43km đầu, hai xe có cùng vận tốc. Nhưng sau đó chiếc xe thứ nhất tăng vận tốc lên gấp 1,2 lần vận tốc ban đầu, trong khi chiếc xe thứ hai vẫn duy trì vận tốc cũ. Do đó xe thứ nhất đã đến Hà Nội sớm hơn xe thứ hai 40 phút. Tính vận tốc ban đầu của hai xe. Giải: Gọi x (km/h) là vận tốc ban đầu của hai xe. Điểu kiện: x > 0. Quãng đường còn lại sau khi xe thứ nhất tăng vận tốc là: 163 – 43 = 120 (km) Vận tốc xe thứ nhất sau khi tăng tốc là 1,2x (km/h) Thời gian xe thứ nhất đi hết quãng đường còn lại là \({{120} \over {1,2x}}\) (giờ) Thời gian xe thứ hai đi hết quãng đường còn lại là \({{120} \over x}\) (giờ) Vì xe thứ nhất đến sớm hơn xe thứ hai 40 phút \( = {2 \over 3}\) giờ nên ta có phương trình: \(\eqalign{ & {{120} \over x} - {{120} \over {1,2x}} = {2 \over 3} \cr & \Leftrightarrow {{120} \over x} - {{100} \over x} = {2 \over 3} \cr & \Leftrightarrow {{360} \over {3x}} - {{300} \over {3x}} = {{2x} \over {3x}} \cr & \Leftrightarrow 360 - 300 = 2x \cr & \Leftrightarrow 2x = 60 \cr} \) \( \Leftrightarrow x = 30\) (thỏa) Vậy vận tốc ban đầu của hai xe là 30 km/h. Câu 70 trang 17 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Một đoàn tàu hỏa từ Hà Nội đi Thành phố Hồ Chí Minh. 1 giờ 48 phút sau, một đoàn tàu hỏa khác khởi hành từ Nam Định cũng đi Thành phố Hồ Chí Minh với vận tốc nhỏ hơn vận tốc của đoàn tàu thứ nhất là 5 km/h. Hai đoàn tàu gặp nhau ( tại một ga nào đó) sau 4 giờ 48 phút kể từ khi đoàn tàu thứ nhất khởi hành. Tính vận tốc mỗi đoàn tàu, biết rằng ga Nam Định nằm trên đường từ Hà Nội đi Thành phố Hồ Chí Minh và cách ga Hà Nội 87 km. Giải: Gọi x (km/h) là vận tốc của đoàn tàu thứ hai. Điều kiện: x > 0. Vận tốc của đoàn tàu thứ nhất là x + 5 (km/h) Khi gặp nhau thì đoàn tàu thứ nhất đi được 4 giờ 48 phút. Vì đoàn tàu thứ hai đi sau 1 giờ 48 phút nên đoàn tàu thứ nhất đi được 3 giờ. Thời gian đoàn tàu thứ nhất đi được khi hai tàu gặp nhau là: 4 giờ 48 phút = \(4{4 \over 5}\) giờ \({{24} \over 5}\) giờ Quãng đường đoàn tàu thứ hai đi được từ lúc khởi hành đến lúc hai đoàn tàu gặp nhau là 3x (km) Quãng đường đoàn tàu thứ nhất đi được từ lúc khởi hành đến lúc hai đoàn tàu gặp nhau là \({{24} \over 5}\left( {x + 5} \right)\) (km) Theo đề bài ta có phương trình: \(\eqalign{ & {{24} \over 5}\left( {x + 5} \right) = 3x + 87 \cr & \Leftrightarrow {{24} \over 5}x + 24 = 3x + 87 \cr & \Leftrightarrow {{24} \over 5}x - 3x = 87 - 24 \cr & \Leftrightarrow {9 \over 5}x = 63 \cr} \) \(x = 35\) (thỏa mãn) Vận tốc của đoàn tàu thứ hai là 35km/h, vận tốc của đoàn tàu thứ nhất là 35 + 5 = 40 (km/h). Câu 71 trang 17 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Lúc 7 giờ sáng, một chiếc ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B, cách nhau 36km, rồi ngay lập tức quay trở về và đến bến A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc của ca nô khi xuôi dòng, biết rằng vận tốc nước chảy là 6 km/h. Giải: Gọi x (km/h) là vận tốc thực của ca nô. Điều kiện: x > 6 Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là x + 6 (km/h) Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là x – 6 (km/h) Thời gian lúc ca nô đi xuôi dòng là \({{36} \over {x + 6}}\) (giờ) Thời gian lúc ca nô đi ngược dòng là \({{36} \over {x - 6}}\) (giờ) Thời gian ca nô đi và về: 11 giờ 30 phút – 7 giờ = 4 giờ 30 phút = \(4{1 \over 2}\) giờ = \({9 \over 2}\) giờ Theo đề bài, ta có phương trình: \({{36} \over {x + 6}} + {{36} \over {x - 6}} = {9 \over 2}\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{72\left( {x - 6} \right)} \over {2\left( {x + 6} \right)\left( {x - 6} \right)}} + {{72\left( {x + 6} \right)} \over {2\left( {x + 6} \right)\left( {x - 6} \right)}} = {{9\left( {x + 6} \right)\left( {x - 6} \right)} \over {2\left( {x + 6} \right)\left( {x - 6} \right)}} \cr & \Leftrightarrow 72\left( {x - 6} \right) + 72\left( {x + 6} \right) = 9\left( {x + 6} \right)\left( {x - 6} \right) \cr & \Leftrightarrow 72x - 432 + 72x + 432 = 9{x^2} - 324 \cr & \Leftrightarrow 9{x^2} - 144x - 324 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 16x - 36 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 18x - 36 = 0 \cr & \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) - 18\left( {x + 2} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 18} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow x + 2 = 0\) hoặc \(x - 18 = 0\) + \(x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2\) (loại) + \(x - 18 = 0 \Leftrightarrow x = 18\) (thỏa mãn) Vậy vận tốc thực của ca nô là 18 km/h, suy ra vận tốc của ca nô lúc xuôi dòng là 18 + 6 = 24 (km/h). Giaibaitap.me Page 15
Câu III.1* trang 18 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Giải các phương trình sau: a. \({{13} \over {\left( {2x + 7} \right)\left( {x - 3} \right)}} + {1 \over {2x + 7}} = {6 \over {{x^2} - 9}}\) b. \({\left( {1 - {{2x - 1} \over {x + 1}}} \right)^3} + 6{\left( {1 - {{2x - 1} \over {x + 1}}} \right)^2} = {{12\left( {2x - 1} \right)} \over {x + 1}} - 20\) Giải: a. ĐKXĐ: \(x \ne - {7 \over 2}\)và \(x \ne \pm 3\). Mẫu chung là \(\left( {2x + 7} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)\) Khử mẫu ta được: \(\eqalign{ & 13\left( {x + 3} \right) + \left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right) = 6\left( {2x + 7} \right) \cr & \Leftrightarrow {x^2} + x - 12 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 3x - 12 = 0 \cr & \Leftrightarrow x\left( {x + 4} \right) - 3\left( {x + 4} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 4} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow x = - 4\) hoặc \(x = 3\) Trong hai giá trị tìm được, chỉ có x = -4 là thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x = -4. b. Đặt y \( = 1 - {{2x - 1} \over {x + 1}}\), ta có: \({{12\left( {2x - 1} \right)} \over {x + 1}} - 20 = - 12\left( {1 - {{2x - 1} \over {x + 1}}} \right) - 8 = - 12y - 8\) Do đó phương trình đã cho có dạng \({y^3} + 6{y^2} = - 12y - 8\) . Giải phương trình này: \(\eqalign{ & {y^3} + 6{y^2} = - 12y - 8 \cr & \Leftrightarrow {y^3} + 3{y^2}.2 + 3y{.2^2} + {2^3} = 0 \cr & \Leftrightarrow {\left( {y + 2} \right)^3} = 0 \cr & \Leftrightarrow y = - 2 \cr} \) Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình \(1 - {{2x - 1} \over {x + 1}} = - 2\) hay \({{2x - 1} \over {x + 1}} = 3\) ĐKXĐ của phương trình là . Giải phương trình này bằng cách khử mẫu, ta được: \(\eqalign{ & 2x - 1 = 3\left( {x + 1} \right) \cr & \Leftrightarrow x = - 4 \cr} \) Giá trị x = -4 thỏa mãn ĐKXĐ nên là nghiệm của phương trình đã cho. Câu III.2 trang 18 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 a. Cho ba số a, b và c đôi một phân biệt. Giải phương trình \({x \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + {x \over {\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} + {x \over {\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}} = 2\) b. Cho số a và ba số b, c, d khác a và thỏa mãn điều kiện c + d = 2b. Giải phương trình \({x \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} - {{2x} \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - d} \right)}} + {{3x} \over {\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}} = {{4a} \over {\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}}\) Giải: a. \({x \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + {x \over {\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} + {x \over {\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}} = 2\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{x\left( {c - b} \right) + x\left( {a - c} \right) + x\left( {b - a} \right)} \over {\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} = 2 \cr & \Leftrightarrow 0x = 2\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right) \cr} \) Do a, b, c đôi một khác nhau nên . Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. b. \({x \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} - {{2x} \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - d} \right)}} + {{3x} \over {\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}} = {{4a} \over {\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}}\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{x\left( {a - d} \right) - 2x\left( {a - c} \right) + 3x\left( {a - b} \right)} \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}} = {{4a\left( {a - b} \right)} \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}} \cr & \Leftrightarrow x\left( {a - d - 2a + 2c + 3a - 3b} \right) = 4a\left( {a - b} \right) \cr & \Leftrightarrow x\left( {2a - 3b + 2c - d} \right) = 4a\left( {a - b} \right) \cr & \Leftrightarrow x\left( {2a - 3b + 2c - d} \right) = 4a\left( {a - b} \right) \cr} \) Theo giả thiết, b + d = 2c nên 2a – 3b + 2c – d = 2a – 2b = 2 (a – b ). Do đó phương trình đã cho tương đương với phương trình \(2\left( {a - b} \right)x = 4a\left( {a - b} \right)\) Để ý rằng a – b ≠ 0, ta thấy ngay phương trình cuối có nghiệm duy nhất x = 2a. Vậy phương trình đã cho cũng có nghiệm duy nhất x =2a. Câu III.3 trang 18 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Cần phải thêm vào tử và mẫu của phân số \({{13} \over {18}}\) với cùng một số tự nhiên nào để được phân số \({4 \over 5}\)? Giải: Gọi x là số tự nhiên cần thêm vào cả tử và mẫu của phân số \({{13} \over {18}}\) để được phân số \({4 \over 5}\) , ta có phương trình \({{13 + x} \over {18 + x}} = {4 \over 5}\) Giải phương trình trên chú ý rằng x > 0, ta được x = 7 Vậy số tự nhiên cần tìm là 7. Câu III.4 trang 18 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Cách đây 10 năm, tuổi của người thứ nhất gấp 3 lần tuổi của người thứ hai. Sau đây 2 năm, tuổi của người thứ hai bằng nửa tuổi của người thứ nhất. Hỏi hiện nay, tuổi của mỗi người là bao nhiêu ? Giải: Gọi tuổi hiện nay của người thứ nhất là x (x nguyên dương). Ta có thể lập bảng:
Từ đó ta có phương trình \(3\left( {x - 10} \right) + 10 = 2\left( {x + 2} \right) - 2\) Giải phương trình này ta được x = 22, thỏa mãn điều kiện bài toán. Vậy tuổi hiện nay của người thứ hai là 22 và của người thứ nhất là \(2\left( {x + 2} \right) - 2 = 46\) Giaibaitap.me Page 16
Page 17
Page 18
Page 19
Page 20
Page 21
Page 22
Page 23
Câu 26 trang 53 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Cho a < b và c < d, chứng tỏ a + c < b + d. Giải: Ta có: a < b \( \Rightarrow a + c < b + c\) (1) \(c < d \Rightarrow b + c < b + d\) (2) Từ (1) và (2) suy ra: a + c < b + d. Câu 27 trang 53 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn a < b, c < d, chứng tỏ ac < bd. Giải: Với a > 0, b > 0, c > 0, d > 0 ta có: \(a < b \Rightarrow ac < bc\) (1) \(c < d \Rightarrow bc < bd\) (2) Từ (1) và (2) suy ra: ac < bd. Câu 28 trang 53 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Chứng tỏ rằng với a và b là các số bất kì thì : a. \({a^2} + {b^2} - 2ab \ge 0\) b. \({{{a^2} + {b^2}} \over 2} \ge ab\) Giải: a. Ta có: \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab \ge 0\) b. Ta có: \(\eqalign{ & {\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab \ge 0 \cr & \Rightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab + 2ab \ge 2ab \cr & \Rightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab \cr & \Rightarrow \left( {{a^2} + {b^2}} \right).{1 \over 2} \ge 2ab.{1 \over 2} \cr & \Rightarrow {{{a^2} + {b^2}} \over 2} \ge ab \cr} \) Câu 29 trang 53 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Cho a và b là các số dương, chứng tỏ: \({a \over b} + {b \over a} \ge 2\) Giải: Ta có: \(\eqalign{ & {\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab \ge 0 \cr & \Rightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab + 2ab \ge 2ab \cr} \) \( \Rightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab\) (*) \(a > 0,b > 0 \Rightarrow a.b > 0 \Rightarrow {1 \over {ab}} > 0\) Nhân hai vế của (*) với \({1 \over {ab}}\) ta có: \(\eqalign{ & \left( {{a^2} + {b^2}} \right).{1 \over {ab}} \ge 2ab.{1 \over {ab}} \cr & \Leftrightarrow {{{a^2}} \over {ab}} + {{{b^2}} \over {ab}} \ge 2 \cr & \Leftrightarrow {a \over b} + {b \over a} \ge 2 \cr} \) Giaibaitap.me Page 24
Page 25
Câu 2.3 trang 54 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Cho a là số bất kì, hãy đặt dấu “<, >, ≤, ≥” vào ô vuông cho đúng Giải: a. Dấu “≥” (xét khi a = 0 và a ≠ 0) b. Dấu “≤” c. Dấu “<” - Nếu a = 0, ta có \(\left| a \right| = 0\) Khi đó \(\left| a \right| + 3 = 3\) - Nếu a ≠ 0, ta có \(\left| a \right| > 0\) , suy ra \(\left| a \right| + 3 > 3\) (1) Với 3 và 0, ta có 3 > 0 (2) Từ (1) và (2), theo tính chất bắc cầu ta có \(\left| a \right| + 3 > 0\) Kết luận: \(\left| a \right| + 3 > 0\)với a bất kì. d. Dấu “<” Câu 2.4 trang 54 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Câu 2.5 trang 54 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 a. Cho x > 0, chứng tỏ \(x + {1 \over 2} \ge 2\) b. Từ kết quả câu a, nếu x < 0 sẽ có kết quả nào ? Giải: a. Nếu có \(x + {1 \over 2} \ge 2\) thì suy ra \(x + {1 \over x} \ge 2\) nên ta sẽ chứng tỏ \(x + {1 \over x} - 2 \ge 0\) Ta có, \(x + {1 \over x} - 2 = {{{x^2} + 1 - 2x} \over x} = {{{{\left( {x - 1} \right)}^2}} \over x}\) Vì \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\) với x bất kì và x > 0 nên \({{{{\left( {x - 1} \right)}^2}} \over x} \ge 0\) Vậy \(x + {1 \over x} - 2 \ge 0\) , nghĩa là \(x + {1 \over x} \ge 2\) b. Nếu x < 0, ta đặt a = -x thì a > 0 Từ kết quả câu a, ta có \(a + {1 \over a} \ge 2\) Thay a = -x, ta có: \( - x = {1 \over { - x}} \ge 2\) (1) Nhân hai vế của (1) với số -1, ta có: \(x + {1 \over x} \le - 2\) Vậy, với x < 0 thì \(x + {1 \over x} \le - 2\) Giaibaitap.me Page 26
|
