1. The Lorentz transformation is a linear transformation.
Phép biến đổi Lorentz là một phép biến đổi tuyến tính.
2. have a null reading at the center of the cloud.
Tôi không đọc được tại trung tâm đám mây.
3. A real m-by-n matrix A gives rise to a linear transformation Rn → Rm mapping each vector x in Rn to the [matrix] product Ax, which is a vector in Rm.
Một ma trận thực mxn A đại diện cho phép biến đổi tuyến tính Rn → Rm ánh xạ mỗi vectơ x trong Rn vào tích [hay ma trận] Ax, mà là một vectơ trong Rm.
4. They're a testament to the slow power of transformation
là sản phẩm của nhiều năm dày công nghiên cứu và phát triển.
5. Transformation Effects
Hiệu ứng biến hình
6. In .NET, access to null reference triggers a NullReferenceException to be thrown.
Đối với môi trường.NET, tham chiếu đến một đối tượng rỗng sẽ phát sinh ngoại lệ NullReferenceException.
7. Female mice homozygously null for aladin are sterile.
Chuột cái đồng hợp tử null cho ALADIN là vô trùng.
8. It's a story about transformation and connections.
Đó là một câu chuyện về việc chuyển giao và những mối liên kết.
9. A four-dimensional space or 4D space is a mathematical extension of the concept of three-dimensional or 3D space.
Một không gian bốn chiều hoặc không gian 4D là một phần mở rộng toán học của khái niệm không gian ba chiều hoặc 3D.
10. A cable wired for connecting two DTEs directly is known as a null modem cable.
Cáp nối trực tiếp hai thiết bị DTE gọi là cáp modem không.
11. And then you have this notion of whether it is linear or non- linear.
Và sau đó bạn có khái niệm này của cho dù đó là tuyến tính hoặc phi tuyến tính.
12. linear regression.
Không gây ra chức j được định nghĩa cho hồi quy tuyến tính.
13. Giles et al. studied the ferrite-hexaferrum transformation metallographically and noted that it is a martensitic rather than equilibrium transformation.
Giles et al. nghiên cứu chuyển đổi ferrit-hexaferrum về mặt kim tương học và lưu ý rằng nó là chuyển đổi martensit chứ không phải cân bằng.
14. At least a centimetre of space.
Ít nhất cũng hở 1 cen-ti-mét.
15. A space force is a military branch that conducts space warfare.
Một lực lượng vũ trụ là một chi nhánh quân sự tiến hành chiến tranh không gian.
16. Poverty, planning, and social transformation.
Quan hệ sản xuất, cơ chế thị trường và hình thái xã hội.
17. Depreciation is linear.
Sự khấu hao là tuyến tính.
18. A chemical reaction is a transformation of some substances into one or more different substances.
Phản ứng hóa học là sự chuyển đổi một số chất thành một hoặc nhiều chất khác nhau.
19. So Depreciation is just a nice linear function.
Vậy sự hao mòn chỉ là một hàm số tuyến tính.
20. Jerusalem’s covenant with death would be shown to be null and void.
Giao ước Giê-ru-sa-lem kết với sự chết không còn hiệu lực gì nữa.
21. This ability to transform data into sound gives astronomy a tremendous power of transformation.
Khả năng chuyển thông tin thành âm thanh này tạo ra một bước thay đổi to lớn trong ngành thiên văn học.
22. Now, all of the sudden, I have a non- linear differential equation.
Bây giờ, tất cả những bất ngờ, tôi có một phi tuyến tính phương trình vi phân.
23. Using similar methods, Minkowski succeeded in formulating a geometrical interpretation of the Lorentz transformation.
Sử dụng phương pháp tương tự, Minkowski đã thành công trong việc diễn giải bằng hình học của phép biến đổi Lorentz.
24. Mind transformation -- that is the very meaning of meditation.
Sự chuyển hoá tâm thức, đó là chính là ý nghĩa của thiền tập.
25. But a dramatic transformation of the atmosphere was about to throw plants into a global crisis.
Nhưng sự chuyển biến lớn trong bầu khí quyển lại khiến thực vật rơi vào cơn khủng hoảng toàn cầu.
Phân tích một nghiệm vectơ bằng cách sắp xếp lại từng phương trình được thể hiện ở dạng bậc thang của ma trận bổ sung và bằng cách giải để tìm biến phụ thuộc trong mỗi hàng sẽ cho ta đẳng thức vectơ.
Bây giờ chúng ta đã khám phá không gian cột, chúng ta có thể khám phá không gian con vectơ khác mà ma trận có thể cung cấp, đó là không gian rỗng. Trước tiên, chúng ta phải làm quen với cách ma trận biểu diễn một hệ phương trình. Tôi đề cập điều này trong phần đầu tiên của hướng dẫn loại bỏ gaussian của tôi.
[1/3] Hướng dẫn đầy đủ về loại bỏ GaussianToàn bộ khái niệm về không gian rỗng khá đơn giản. Chúng tôi đang cố gắng tìm tất cả các x có thể có trong một phương trình ma trận A x = 0. Sự kết hợp của tất cả các x này sẽ tạo thành không gian con riêng của chúng, lần này là R ^ n. Hãy đi qua tất cả những điều đó.
Khi nào chúng ta có một khoảng trắng?
Hãy bắt đầu với một ví dụ, bằng ngôn ngữ của [3, 3] ma trận. Cũng hãy đặt chúng ở dạng Ax = 0, vì chúng ta đang giải cho x.
Nói lại: không gian rỗng của chúng ta được tạo thành từ các vectơ x thỏa mãn Ax = 0.
Tất nhiên, điều này sẽ luôn bao gồm x = 0, nhưng điều này là dư thừa và thêm ít giá trị cho chính không gian rỗng. Vì không gian rỗng là một không gian con hợp lệ, nó sẽ luôn bao gồm vectơ 0. Hãy chia nó thành hình cột để hiểu rõ hơn và xem nó như một tổ hợp tuyến tính.
Chúng ta hãy hiểu rõ hơn về loại tình huống nào là cần thiết để có một số khác không x giải được Ax = 0.
Một khác không x chỉ xuất hiện trong một trường hợp rất cụ thể: khi các cột của ma trận không độc lập với nhau. Bạn có thể nghĩ về nó như thế này. Nếu chúng ta có thể tìm thấy một số khác không x, y và z [một số trong số đó có thể là 0, nhưng ít nhất một phải khác 0], thì chúng ta có thể, theo một cách nào đó, bằng cách nhân và thêm các kết hợp nhất định của các cột A, hủy bỏ cột ra và trả về 0.
Nếu chúng ta có thể loại bỏ các vectơ trong tập hợp của mình bằng cách sử dụng các vectơ khác trong tập hợp của chúng tôi, điều đó có nghĩa là ít nhất một vectơ, theo cách này hay cách khác, được tạo thành từ sự kết hợp của các vectơ khác. Do đó, chúng ta chỉ nhận được một khác không x và một không gian rỗng không rỗng, khi chúng ta không có tất cả các cột độc lập.
Một mục nhập trong Nullspace
Không gian rỗng là một không gian con của không gian R ^ n chiều.
Hãy xem tại sao lại như vậy. Hãy lấy cùng một ví dụ của chúng tôi, thực sự có một vectơ trong không gian rỗng, vì hai cột đầu tiên của nó phụ thuộc.
Mỗi mục nhập trong không gian rỗng của chúng ta sẽ là một số vectơ x , sẽ chứa ba giá trị và do đó có ba chiều [x, y, z]. Nhưng nó phức tạp hơn thế một chút. Các mục này không chỉ là vectơ, mà còn là sự kết hợp của các vectơ. Hãy cùng tìm hiểu ý tưởng đó với ví dụ này.
Thoạt nhìn, vì cột thứ hai gấp hai lần cột đầu tiên nên chúng ta có thể hủy bỏ và lấy số 0 bằng cách làm như x = [-2, 1, 0] hoặc x = [2, -1, 0]. Cả hai đều hoàn toàn hợp lệ, vectơ khác 0, có thể được đặt trong không gian trống.
Nhưng khi bạn nghĩ về nó, có vô số kết hợp có thể có - chúng ta có thể có [-2, 1, 0], [-4, 2, 0], [-100, 50, 0], tất cả đều sẽ hoạt động .
Nhưng có một điều chúng ta phải nhận ra là thực tế chỉ có một vectơ thỏa mãn điều này, và chúng ta có thể nhân nó với bất kỳ hằng số nào mà vẫn nhận được câu trả lời đúng. Đây có thể là bất cứ điều gì, nhưng chúng ta hãy chọn đầu tiên của chúng tôi, [-2, 1, 0]. Lưu ý rằng câu trả lời thứ hai của chúng tôi, [2, -1, 0] chỉ là đầu tiên của chúng tôi nhân với -1. Do đó, chúng ta có thể mô tả vectơ x ' cuối cùng ' giải quyết cho 0 với bất kỳ c nào là:
Do đó, đây sẽ là lần đầu tiên, và duy nhất, chúng ta nhập vào nullspace. Số lượng các mục nhập trong không gian rỗng bằng với số lượng cột phụ thuộc trong A. Nhìn vào không gian rỗng của chúng ta bây giờ, nhớ rằng, nằm trong R³ [hoặc nói chung là R ^ n], chúng ta có thể vẽ biểu đồ kết hợp tuyến tính duy nhất này.
Mọi mục nhập của x dọc theo dòng này sẽ trả về 0 trong Ax = b.
Nhiều mục nhập trong Nullspace
Hãy xem xét một hệ thống Ax = b với hai cột phụ thuộc và do đó, hai mục nhập khác nhau trong không gian trống.
Ở đây, chúng ta thấy rằng cột 2 và 3 chỉ là bội số của cột đầu tiên, vì vậy hãy xem kết hợp x nào khiến các cột bị 'hủy bỏ'.
Sau khi kiểm tra nhanh, chúng tôi nhận được hai câu trả lời, đó là, và điều này quan trọng: không phải bội số của nhau. Chúng ta nhận được [một cái gì đó giống như] x = [2, -1, 0] và x = [-4, 0, 1], x = [0, -2, 1].
Nhưng chúng ta phải cẩn thận ở đây - thực tế chỉ có hai đáp án. Nếu chúng ta xem xét kỹ, x thứ ba của chúng ta , [0, -2, 1], thực sự là kết hợp của hai câu kia - nó là x đầu tiên nhân với hai trừ x thứ hai.
Về cơ bản, [2 x [2, -1, 0]] + [-4, 0, 1] = [0, -2, 1]
Vì vậy, chúng ta thực sự chỉ có hai đáp án riêng biệt, [2, -1, 0] và [-4, 0, 1] mà chúng ta có thể nhân với hằng số. Và, như chúng ta đã thấy, chúng ta cũng có thể cộng và trừ hai vectơ này với nhau để tạo ra các câu trả lời khác hoạt động. Điều này nghe có vẻ giống như một sự kết hợp tuyến tính, và thực sự, không gian rỗng của chúng ta bây giờ là sự kết hợp tuyến tính của hai vectơ này.
Bây giờ nó đại diện cho một mặt phẳng trong R³ nullspace của chúng ta. Chúng ta có thể nhìn lại điều này trong 3 chiều.
Bây giờ, bất kỳ giá trị nào của x [x, y, z] đáp xuống một nơi nào đó trên mặt phẳng này sẽ cho Ax = 0. Tâm trí của chúng ta sau đó suy nghĩ - liệu có thể có một không gian rỗng hoàn toàn đầy không? Giả sử, có cách nào chúng ta có thể mô tả R³ trong nullspace ở đây không? Câu trả lời là không, chúng tôi không thể. Mọi ma trận sẽ luôn có ít nhất một vectơ độc lập. Vì có một vectơ không gian rỗng cho mỗi vectơ phụ thuộc, nên ở mức tối đa, chúng ta sẽ luôn chỉ có không gian n-1 chiều được biểu diễn trong không gian rỗng.
Trong phần tiếp theo, tôi sẽ thực sự mô tả quá trình tìm kiếm các vectơ không gian rỗng chính xác, VÀ giải Ax = b, theo cách tính toán và đáng tin cậy.
Adam Dhalla là một học sinh trung học đến từ Vancouver, British Columbia, hiện đang theo học STEM và học bổng kinh doanh TKS . Anh ấy rất thích thế giới ngoài trời và hiện đang tìm hiểu về các công nghệ mới nổi vì mục đích môi trường. Để theo kịp,
Theo dõi I nstagram và LinkedIn của anh ấy . Để biết thêm nội dung tương tự, hãy đăng ký nhận bản tin của anh ấy tại đây.