I. CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN
Ta thường gặp các dạng đặc biệt sau :
Dạng 1: Phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0 [1]
Đặt t = x2, ta có phương trình : at2 + bt + c = 0 [1’]
Nghiệm dương của [1’] ứng với 2 nghiệm của [1]
Vậy điều kiện cần và đủ để [1] có nghiệm là phương trình [1’] có ít nhất một nghiệm không âm.
Bạn đang xem nội dung tài liệu Phương trình và hàm số bậc 4, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
k của t bằng BBT. I I . TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA HÀM BẬC 4 Cho hàm bậc 4 : y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + c có đồ thị [C]. Giả sử a > 0, [C] có trục đối xứng nếu ta tìm được các số α, β, γ, m sao cho : ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = [αx2 + βx + γ]2 + m ∀x ∈ R. Dùng đồng nhất thức cho ta có được các hệ số α, β, γ, m. III . CỰC TRỊ CỦA HÀM BẬC BỐN TRÙNG PHƯƠNG : y = ax4 + bx2 + c y’ = 4ax3 + 2bx y’ = 0 ⇔ 2x[2ax2 + b] = 0 ⇔ x ax b = + = ⎡ ⎣⎢⎢ 0 1 2 02 [ ] [ ]2 3 1. Hàm số có 3 cực trị ⇔ [2] có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ a.b < 0 2. Hàm số có đúng 1 cực trị ⇔ [2] vô nghiệm hoặc có nghiệm kép hoặc có nghiệm bằng 0. ⇔ a vàb a vàab = ≠ ≠ ≥ ⎡ ⎣⎢ 0 0 0 0 IV.CỰC TRỊ HÀM BẬC BỐN DẠNG : y = ax4 + bx3 + cx2 + d y’ = 4ax3 + 3bx2 + 2cx y’ = 0 ⇔ x[4ax2 + 3bx + 2c] = 0 ⇔ x ax bx c = + + = ⎡ ⎣⎢⎢ 0 4 3 2 02 [ ] 1. Khi a > 0, ta có : Hàm số chỉ có 1 cực tiểu mà không có cực đại. ⇔ [3] vô nghiệm hay [3] có nghiệm kép hay [3] có nghiệm x = 0. 2. Khi a < 0, ta có: Hàm số chỉ có 1 cực đại mà không có cực tiểu. ⇔ [3] vô nghiệm hay [3] có nghiệm kép hay [3] có nghiệm x = 0. TOÁN ÔN VỀ HÀM SỐ BẬC 4 Cho hàm số bậc 4 có đồ thị [C a ] với phương trình : y = x4 + 8ax3 – 4[1 + 2a]x2 + 3 I. Trong phần này ta khảo sát hàm số ứng với a = 0 1] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [Co]. Xác định tọa độ điểm uốn. 2] Định m để tiếp tuyến với [Co] tại M có hoành độ m, cắt [Co] tại hai điểm P, Q khác điểm M. Có giá trị nào của m để M là trung điểm đoạn PQ. 3] Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn PQ khi m thay đổi trong điều kiện câu 2. II. Trong phần này ta khảo sát hàm số ứng với a = 2 1− 4] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] 5] Cho đường thẳng [ D ] có phương trình y = ax + b. Tìm a, b để phương trình hoành độ giao điểm của [C] và [D] có hai nghiệm kép phân biệt α và β. Tìm tọa độ hai điểm chung. 6] Viết phương trình tiếp tuyến với [C] và có hệ số góc bằng –8. Tìm tọa độ các tiếp điểm. III. Trong phần này ta khảo sát hàm số trong trường hợp tổng quát. 7] Biện luận theo a số điểm cực trị của hàm số. Định a để hàm số chỉ có điểm cực tiểu mà không có điểm cực đại. 8] Trong trường hợp đồ thị hàm số có ba điểm cực trị hãy viết phương trình parabol đi qua ba điểm cực trị này. 9] Định a để đồ thị có hai điểm uốn. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm uốn này. BÀI GIẢI PHẦN I: 1] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [ ]0C Khi a = 0 hàm số thành y = x4 – 4x2 + 3 y′= 4x3 – 8x, / /y = 12x2 – 8 y′= 0 ⇔ x = 0 x∨ 2 = 2 ⇔ x = 0 ∨ x = ± 2 y [ ]0 = 3, y [ 2± ] = –1 y′′= 0 ⇔ =2 2x 3 ⇔ x = ± 6 3 ; y 6 3 ⎛ ⎞±⎜ ⎟⎝ ⎠ = 7 9 [ ]0C có 2 điểm cực tiểu là [ ]2 , -1± và 1 điểm cực đại là [ ] 0,3 [ ]0C có 2 điểm uốn là 6 7, 3 9 ⎛ ⎞±⎜ ⎟⎝ ⎠ Bảng biến thiên và đồ thị : bạn đọc tự làm. 2] Tiếp tuyến [ tại M []D ]− +4 2m , m 4m 3 thuộc [ ]0C có phương trình: y = y′ [ ]m [ Mx - x ] [ ]x - m + yM hay y = [ + m]34m - 8m 4 – 4m2 + 3 Phương trình hoành độ giao điểm của [ ]D và [ ]0C là x4 – 4x2 + 3 = [ ]34m - 8m [ ]x - m + m4 – 4m2 + 3 [1] [ Nhận xét: pt [1] chắc chắn nhận m làm nghiệm kép nên ta có: [1] ⇔ [ ]2x - m [ ] =2Ax + Bx + C 0 ] [1] ⇔ x4 – m4 – 4 [ ]2 2x - m = [ ]x - m [ ]34m - 8m ⇔ x – m = 0 ∨ x3 + mx2 + m2x + m3 – 4 [ ]x + m = 4m3 – 8m ⇔ x = m ∨ x3 + mx2 + [ ]2m - 4 x – 3m3 + 4m = 0 [2] ⇔ x = m ∨ [ ]x - m [ ]2 2x + 2mx + 3m - 4 = 0 ⇔ x = m ∨ x2 + 2mx + 3m2 – 4 = 0 [3] Do đó, [ cắt []D ]0C tại 2 điểm P, Q khác m ⇔ [3] có 2 nghiệm phân biệt khác m. ⇔ 2 2 2 2 2 m + 2m + 3m - 4 0 = m - 3m + 4 > 0 ⎧ ≠⎪⎨ ′Δ⎪⎩ ⇔ 2 2 2m 3 m < 2 ⎧ ≠⎪⎨⎪⎩ [4]⇔ 6m 3 m < 2 ⎧ ≠ ±⎪⎨⎪⎩ Để M là trung điểm của PQ thì xM = P Q x + x 2 m = –m m = 0 ⇒ ⇒ [m = 0 thoả [4] nên nhận] Nhận xét: pt [2] chắc chắn có nghiệm x = m. 3] I là trung điểm của PQ nên: ta có xI = –m và 2yI = yP + yQ = 2 [ ]4 2m - 4m + 3 ⇒ yI = – 4 + 3 4Ix 2Ix Vậy quĩ tích của I là 1 phần đồ thị của hàm số y = x4 – 4x2 + 3 với x < 2 và x ≠ ± 6 3 PHẦN II: Khảo sát hàm số với a = – 1 2 4] Khảo sát và vẽ đồ thị [ ]C khi a = – 1 2 : độc giả tự làm. a = – 1 2 , hàm số thành y = x4 – 4x3 + 3; y / = 4x3 – 12x2 5] Tìm a, b để phương trình hoành độ giao điểm của y = x4 – 4x3 + 3 [ ]C và đường thẳng: y = ax + b [ ]1D có 2 nghiệm kép phân biệt α , β . Phương trình hoành độ giao điểm của [ ]C và [ ]1D là x4 – 4x3 + 3 = ax + b x⇔ 4 – 4x3 – ax + 3 – b = 0 Do đó, yêu cầu bài toán x⇔ 4 – 4x3 – ax + 3 – b = [ ]2x - α [ ]2x - β ∀x mà [ ]2x-α [ ]2x-β = x4 –2 [ ]+ α β x3 + [ ]2 2+ +4α β αβ x2 –2 x+αβ [ ]α +β 2α 2β Do đó, yêu cầu bài toán ⇔ [ ] [ ] ⎧− α + β⎪α β αβ = α +β + α⎪⎨ αβ α β⎪⎪α β⎩ 2 2 2 2 2 2 = -4 + + 4 = 0 [ ] 2 2 + = a = 3 - b β ⇔ α β⎧⎪ αβ αβ⎪⎨⎪⎪⎩ + = 2 4 + 2 = 0[ =-2] a = -8 3 - b = 4 a = – 8 và b = –1. ⇒ α β αβ ⇒ α β + β α + với + = 2 và =-2 [ = 1- 3 và =1 3 ]hay[ = 1- 3 và =1 3 ] Khi đó, thế = ±x 1 3 và y = – 8 x – 1, ta có 2 điểm chung là A [ ]1 - 3, -9 + 8 3 và B [ ]1 + 3, -9 - 8 3 6] Gọi x là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến có hệ số góc bằng –8, ta có: 4x3 – 12x2 = – 8 4x⇔ 3 – 12x2 + 8 = 0 ⇔ x3 – 3x2 + 2 = 0 ⇔ [ ]x - 1 [ ]2x - 2x -2 = 0 ⇔ x = 1 hay x = 1± 3 y [ ]1 = 0, y [1 - 3 ] = – 9 + 8 3 , y [ ]1 + 3 = –9 – 8 3 Tiếp tuyến tại [ là y = – 8]1,0 [ ]x - 1 hay y = –8x + 8 Theo câu 5, 2 tiếp điểm tại A và B có cùng 1 tiếp tuyến là y = – 8x – 1 Tóm lại có 2 tiếp tuyến thỏa ycbt là : y = –8x + 8 hay y = – 8x – 1. Các tiếp điểm là : [ , A]1,0 [ ]1 - 3, -9 + 8 3 và B [ ]1 + 3, -9 - 8 3 PHẦN III: 7] Số điểm cực trị của hàm số là nghiệm đơn hay nghiệm bội ba của đa thức: f′ [ ]x = 4x3 + 24ax2 – 8 [ ]x 1 + 2a = 4x [ ]2x + 6ax - 2 1 + 2a⎡ ⎤⎣ ⎦ Tam thức g[x] = x2 + 6ax – 2[1 + 2a] có : = 9a′Δ 2 + 4a + 2 > 0 , nên a∀ i] Khi a ≠ 1 2 − , g[x] = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0, suy ra có 3 nghiệm đơn phân biệt [ ]f x = 0′ ⇒ có 3 cực trị. ii] Khi a = 1 2 − thì g[x] = 0 có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm khác 0 có 1 nghiệm kép x = 0 và 1 nghiệm đơn ⇒ [ ]f x = 0′ ⇒ có 1 cực trị Điều kiện cần để hàm chỉ có 1 cực trị là a = 1 2 − . Khi a = 1 2 − , hàm đạt cực tiểu tại x = 3. [Khi a = 1 2 − , g[x] = 0 ⇔ x2 = 0 x = 3 ∨ với x = 0 là nghiệm kép và x = 3 là nghiệm đơn]. Vậy khi a = 1 2 − thì hàm chỉ có cực tiểu và không có cực đại. 8] Khi a ≠ 1 2 − , hàm số có 3 cực trị. Gọi x1, x2, x3 là hoành độ 3 điểm cực trị khi a ≠ 1 2 − , ta có : x1, x2, x3 là nghiệm của f′ [ ]x = 0. Chia đa thức f [ ]x cho 1 4 f′ [ ]x ta có: f [ ]x = 1 4 f′ [ ]x [ ]x + 2a – 2 [ ]26a + 2a + 1 x2 + 4 [ ]2a + 2a x + 3 Vậy 3 điểm cực trị thoả phương trình: y = –2 [ ]26a + 2a + 1 x2 + 4 [ ]2a + 2a x + 3 vì = = ff′ [ ]1x f′ [ ]2x ′ [ ]3x = 0 Vậy, phương trình Parabol đi qua 3 điểm cực trị là : y = –2 [ ]26a + 2a + 1 x2 + 4 [ ]2a + 2a x + 3 9] y′ = 4x3 + 24ax2 – 8 [ ]x 1 + 2a y′′ = 12x2 + 48ax – 8 [ ] 1 + 2a y′′ = 0 3x⇔ 2 + 12ax – 2 [ ]1 + 2a = 0 [9] Vì [9] có = 36a′Δ 2 + 6 [ ] 1 + 2a = 6 [ ]26a + 2a + 1 > 0 , ∀a nên đồ thị luôn có 2 điểm uốn I, J có hoành độ là nghiệm của phương trình [9] Hướng dẫn: giả sử chia f [ ]x cho 1 4 f′′ [ ]x [vế trái của [9]] Ta có : f [ ]x = 1 4 f′′ [ ]x [ ]h x⎡⎣ ⎤⎦ + Ax + B thì phương trình đường thẳng qua 2 điểm uốn là: y = Ax + B. ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2002 KHỐI B: [ĐH: 2,0đ; CĐ: 2,5đ]: Cho hàm số : y = mx4 + [m2 – 9]x2 + 10 [1] [m là tham số] 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số [1] khi m=1 . 2. Tìm m để hàm số [1] có ba điểm cực trị . BÀI GIẢI 1] m = 1, y = x4 – 8x2 + 10 [C]. MXĐ : D = R y’ = 4x3 – 16x; y’ = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = ±2 y” = 12x2 – 16; y” = 0 ⇔ x = 3 2± x −∞ − 3 2 3 2 +∞ y" + 0 − 0 + [C] lõm lồi lõm Điểm uốn I1 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − 9 10, 3 2 , I2 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 9 10, 3 2 x −∞ −2 0 2 +∞ y' − 0 + 0 − 0 + y +∞ 10 +∞ −6 CĐ −6 CT CT 2] y = mx4 + [m2 – 9]x2 + 10 y’ = 4mx3 + 2[m2 – 9]x y’ = 0 ⇔ ⎢⎢⎣ ⎡ =−+ = [*]0]9m[mx2 0x 22 y có 3 cực trị ⇔ [*] có 2 nghiệm phân biệt ≠ 0 −6 x y 10 −2 2 O ⇔ m[m2 – 9] < 0 ⇔ m < −3 ∨ 0 < m < 3 ĐỀ DỰ BỊ 1 - NĂM 2002 – KHỐI A [2,0 điểm] Cho hàm số: y = x4 – mx2 + m – 1 [1] [m là tham số] 1] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số [1] khi m = 8. 2] Xác định m sao cho đồ thị của hàm số [1] cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. BÀI GIẢI 1] Khi m = 8 ⇒ y = x4 – 8x2 + 7 • MXĐ : D = R. •y' = 4x3 – 16x = 4x[x2 – 4] y' = 0 ⇔ 4x[x2 – 4] = 0 ⇔ x = 0 hay x = ±2 • y'' = 12x2 – 16; y'' = 0 ⇔ 12x2 – 16 = 0 ⇔ x2 = =16 4 12 3 ⇔ x = ± 2 3 3 x −∞ −2 0 2 +∞ y' − 0 + 0 − 0 + y +∞ 7 +∞ - 9 −9 x −∞ 2 3 3 − 2 3 3 +∞ y'' + 0 − 0 + y +∞ lõm -17/9 lồi - 17/9 lõm +∞ O 2−2 7 −9 x y 2] Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. • Phương trình hoành độ giao điểm : x4 – mx2 + m – 1 = 0 [1] Đặt t = x2 ≥ 0, t2 – mt + m – 1 = 0 [2] Phương trình [1] có 4 nghiệm phân biệt . ⇔ Phương trình [2] có 2 nghiệm dương phân biệt. ⇔ ⇔ 2 2 1 2 1 2 m 4[m 1] [m 2] S t t m 0 P t t m 1 0 ⎧Δ = − − = − >⎪ = + = >⎨⎪ = = − >⎩ 0 m 1 m 2 >⎧⎨ ≠⎩ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG - DỰ BỊ 1 - NĂM 2004 - KHỐI A
Bài viết trình bày cách giải phương trình bậc 4 [phương trình bậc bốn], đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Đại số 10 chương 3.
Dạng 1. Phương trình bậc bốn dạng $a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + bkx + a{k^2} = 0.$
Ta có: $a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + bkx + a{k^2} = 0$ $ \Leftrightarrow a\left[ {{x^4} + 2{x^2}.k + {k^2}} \right]$ $ + bx\left[ {{x^2} + k} \right] + \left[ {c – 2ak} \right]{x^2} = 0$ $ \Leftrightarrow a{\left[ {{x^2} + k} \right]^2} + bx\left[ {{x^2} + k} \right]$ $ + \left[ {c – 2ak} \right]{x^2} = 0.$ Đến đây có hai hướng để giải quyết:
Cách 1: Đưa phương trình về dạng ${A^2} = {B^2}.$
Thêm bớt, biến đổi vế trái thành dạng hằng đẳng thức dạng bình phương của một tổng, chuyển các hạng tử chứa $x^2$ sang bên phải.Cách 2: Đặt $y = {x^2} + k$ $ \Rightarrow y \ge k.$
Phương trình $a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + bkx + a{k^2} = 0$ trở thành: $a{y^2} + bxy$ $ + \left[ {c – 2ak} \right]{x^2} = 0.$Tính $x$ theo $y$ hoặc $y$ theo $x$ để đưa về phương trình bậc hai theo ẩn $x.$
Ví dụ 1. Giải phương trình: ${x^4} – 8{x^3} + 21{x^2} – 24x + 9 = 0.$
Cách 1: Phương trình $ \Leftrightarrow \left[ {{x^4} + 9 + 6{x^2}} \right] – 8\left[ {{x^2} + 3} \right] + 16{x^2}$ $ = 16{x^2} – 21{x^2} + 6{x^2}$ $ \Leftrightarrow {\left[ {{x^2} – 4x + 3} \right]^2} = {x^2}$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} – 4x + 3 = x\\ {x^2} – 4x + 3 = – x \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} – 5x + 3 = 0\\ {x^2} – 3x + 3 = 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{5 – \sqrt {13} }}{2}\\ x = \frac{{5 + \sqrt {13} }}{2} \end{array} \right.$
Cách 2:
\end{array} \right.$
Nhận xét: Mỗi cách giải có ưu điểm riêng, với cách giải 1, ta sẽ tính được trực tiếp mà không phải thông qua ẩn phụ, với cách giải 2, ta sẽ có những tính toán đơn giản hơn và ít bị nhầm lẫn.
Dạng 2. Phương trình bậc bốn dạng $\left[ {x + a} \right]\left[ {x + b} \right]\left[ {x + c} \right]\left[ {x + d} \right] = e{x^2}$ với $ad=bc=m.$
Cách 1: Đưa về dạng $A^2 = B^2.$ $\left[ {x + a} \right]\left[ {x + b} \right]\left[ {x + c} \right]\left[ {x + d} \right] = e{x^2}$ $ \Leftrightarrow \left[ {{x^2} + px + m} \right]\left[ {{x^2} + nx + m} \right] = e{x^2}$ $ \Leftrightarrow \left[ {{x^2} + \frac{{p + n}}{2}x + m – \frac{{n – p}}{2}x} \right]$$\left[ {{x^2} + \frac{{p + n}}{2}x + m + \frac{{n – p}}{2}x} \right]$ $ = e{x^2}$ $ \Leftrightarrow {\left[ {{x^2} + \frac{{p + n}}{2}x + m} \right]^2}$ $ = \left[ {{{\left[ {\frac{{n – p}}{2}} \right]}^2} + e} \right]{x^2}$, với $ad = bc = m$, $p = a + d$, $n = b + c.$
Cách 2: Xét xem $x=0$ có phải là nghiệm của phương trình hay không.
Trường hợp $x≠0$, ta có: $\left[ {x + a} \right]\left[ {x + b} \right]\left[ {x + c} \right]\left[ {x + d} \right] = e{x^2}$ $\left[ {x + \frac{m}{x} + p} \right]\left[ {x + \frac{m}{x} + n} \right] = e.$Đặt $u = x + \frac{m}{x}$, điều kiện $\left| u \right| \ge 2\sqrt {\left| m \right|} $, phương trình trở thành $[u+p][u+n]=e$, đến đây giải phương trình bậc hai theo $u$ để tìm $x.$
Ví dụ 2. Giải phương trình: $\left[ {x + 4} \right]\left[ {x + 6} \right]\left[ {x – 2} \right]\left[ {x – 12} \right] = 25{x^2}.$
Cách 1: $\left[ {x + 4} \right]\left[ {x + 6} \right]\left[ {x – 2} \right]\left[ {x – 12} \right] = 25{x^2}$ $ \Leftrightarrow \left[ {{x^2} – 2x + 24 + 12x} \right]$$\left[ {{x^2} – 2x + 24 – 12x} \right] = 25{x^2}$ $ \Leftrightarrow {\left[ {{x^2} – 2x + 24} \right]^2} = 169{x^2}$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} – 2x + 24 = 13x\\ {x^2} – 2x + 24 = – 13x \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} – 15x + 24 = 0\\ {x^2} + 11x + 24 = 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – 8\\ x = – 3\\ x = \frac{{15 \pm \sqrt {129} }}{2} \end{array} \right.$
Cách 2:
$\left[ {x + 4} \right]\left[ {x + 6} \right]\left[ {x – 2} \right]\left[ {x – 12} \right] = 25{x^2}$ $\left[ {{x^2} + 10x + 24} \right]\left[ {{x^2} – 14x + 24} \right] = 25{x^2}.$ Nhận thấy $x = 0$ không phải là nghiệm của phương trình. Với $x≠0$, ta có: phương trình $ \Leftrightarrow \left[ {x + \frac{{24}}{x} + 10} \right]\left[ {x + \frac{{24}}{x} – 14} \right] = 25.$ Đặt $y = x + \frac{{24}}{x}$ $ \Rightarrow \left| y \right| \ge 4\sqrt 6 $, ta được: $\left[ {y + 10} \right]\left[ {y – 14} \right] = 25$ $ \Leftrightarrow \left[ {y + 11} \right]\left[ {y – 15} \right] = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y = – 11\\ y = 15 \end{array} \right.$ Với $y=-11$, ta có phương trình: $x + \frac{{24}}{x} = – 11$ $ \Leftrightarrow {x^2} + 11x + 24 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – 3\\ x = – 8 \end{array} \right.$ Với $y=15$, ta có phương trình: $x + \frac{{24}}{x} = 15$ $ \Leftrightarrow {x^2} – 15x + 24 = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{15 \pm \sqrt {129} }}{2}$Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S = \left\{ { – 3; – 8;\frac{{15 – \sqrt {129} }}{2};\frac{{15 + \sqrt {129} }}{2}} \right\}.$
Nhận xét: Trong cách giải 2, có thể ta không cần xét $x≠0$ rồi chia mà có thể đặt ẩn phụ $y=x^2+m$ để thu được phương trình bậc hai ẩn $x$, tham số $y$ hoặc ngược lại.
Dạng 3. Phương trình bậc bốn dạng $\left[ {x + a} \right]\left[ {x + b} \right]\left[ {x + c} \right]\left[ {x + d} \right] = m$ với $a+b=c+d=p.$
Ta có: $\left[ {x + a} \right]\left[ {x + b} \right]\left[ {x + c} \right]\left[ {x + d} \right] = m$ $ \Leftrightarrow \left[ {{x^2} + px + ab} \right]\left[ {{x^2} + px + cd} \right] = m.$
Cách 1:
$\left[ {{x^2} + px + ab} \right]\left[ {{x^2} + px + cd} \right] = m$ $ \Leftrightarrow \left[ {{x^2} + px + \frac{{ab + cd}}{2} + \frac{{ab – cd}}{2}} \right]$$\left[ {{x^2} + px + \frac{{ab + cd}}{2} – \frac{{ab – cd}}{2}} \right] = m$ $ \Leftrightarrow {\left[ {{x^2} + px + \frac{{ab + cd}}{2}} \right]^2}$ $ = m + {\left[ {\frac{{ab – cd}}{2}} \right]^2}.$
Bài toán quy về giải hai phương trình bậc hai theo biến $x.$
Cách 2:
Đặt $y=x^2+px$, điều kiện $y \ge – \frac{{{p^2}}}{4}$, phương trình trở thành: $\left[ {y + ab} \right]\left[ {y + cd} \right] = m.$Giải phương trình bậc hai ẩn $y$ để tìm $x.$
Ví dụ 3. Giải phương trình: $x\left[ {x + 1} \right]\left[ {x + 2} \right]\left[ {x + 3} \right] = 8.$
Cách 1: Ta có: $x\left[ {x + 1} \right]\left[ {x + 2} \right]\left[ {x + 3} \right] = 8$ $ \Leftrightarrow \left[ {{x^2} + 3x} \right]\left[ {{x^2} + 3x + 2} \right] = 8$ $ \Leftrightarrow \left[ {{x^2} + 3x + 1 – 1} \right]$$\left[ {{x^2} + 3x + 1 + 1} \right] = 8$ $ \Leftrightarrow {\left[ {{x^2} + 3x + 1} \right]^2} = 9$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} + 3x + 1 = 3\\ {x^2} + 3x + 1 = – 3 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} + 3x – 2 = 0\\ {x^2} + 3x + 4 = 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {17} }}{2}.$
Cách 2:
$x\left[ {x + 1} \right]\left[ {x + 2} \right]\left[ {x + 3} \right] = 8$ $ \Leftrightarrow \left[ {{x^2} + 3x} \right]\left[ {{x^2} + 3x + 2} \right] = 8.$ Đặt $y = {x^2} + 3x$ $ \Rightarrow y \ge – \frac{9}{4}$, ta được: $y\left[ {y + 2} \right] = 8$ $ \Leftrightarrow {y^2} + 2y – 8 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y = 2\\ y = – 4\:[loại] \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow y = 2.$ Với $y=2$, ta có phương trình: ${x^2} + 3x – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {17} }}{2}.$Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S = \left\{ {\frac{{ – 3 + \sqrt {17} }}{2};\frac{{ – 3 – \sqrt {17} }}{2}} \right\}.$
Nhận xét: Ngoài cách đặt ẩn phụ như đã nêu, ta có thể đặt một trong các dạng ẩn phụ sau: Đặt $y = {x^2} + px + ab.$ Đặt $y = {x^2} + px + cd.$ Đặt $y = {\left[ {x + \frac{p}{2}} \right]^2}.$
Đặt $y = {x^2} + px + \frac{{ab + cd}}{2}.$
Dạng 4. Phương trình bậc bốn dạng ${\left[ {x + a} \right]^4} + {\left[ {x + b} \right]^4} = c$ với $[c