Phương trình đường thẳng có dạng tổng quát là gì
|
Bài viết hướng dẫn cách viết phương trình tổng quát của đường thẳng trong hệ tọa độ Oxy thông qua lý thuyết và các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết. Show
Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng $Δ$ ta cần xác định: + Điểm $A({x_0};{y_0}) \in \Delta $. + Một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n \left( {a;b} \right)$ của $Δ.$ Khi đó phương trình tổng quát của $Δ$ là $a\left( {x – {x_0}} \right) + b\left( {y – {y_0}} \right) = 0$. Chú ý: a. Đường thẳng $Δ$ có phương trình tổng quát là: $ax + by + c = 0$, ${a^2} + {b^2} \ne 0$ nhận $\overrightarrow n \left( {a;b} \right)$ làm vectơ pháp tuyến. b. Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì VTPT đường thẳng này cũng là VTPT của đường thẳng kia. c. Phương trình đường thẳng $Δ$ qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ có dạng $Δ$: $a\left( {x – {x_0}} \right) + b\left( {y – {y_0}} \right) = 0$ với ${a^2} + {b^2} \ne 0$. Đặc biệt: + Nếu đường thẳng $Δ$ song song với trục $Oy:$ $Δ:$ $x = {x_0}$. + Nếu đường thẳng $Δ$ cắt trục $Oy:$ $Δ:$ $y – {y_0} = k\left( {x – {x_0}} \right)$.d. Phương trình đường thẳng đi qua $A\left( {a;0} \right), B\left( {0;b} \right)$ với $ab \ne 0$ có dạng $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng Định nghĩa : vectơ \(\vec{u}\) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(∆\) nếu \(\vec{u}\) ≠ \(\vec{0}\) và giá của \(\vec{u}\) song song hoặc trùng với \(∆\)  Nhận xét : - Nếu \(\vec{u}\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(∆\) thì \(k\vec{u} ( k≠ 0)\) cũng là một vectơ chỉ phương của \(∆\) , do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương. - Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó. 2. Phương trình tham số của đường thẳng - Phương trình tham số của đường thẳng \(∆\) đi qua điểm \(M_0(x_0 ;y_0)\) và nhận vectơ \(\vec{u} = (u_1; u_2)\) làm vectơ chỉ phương là : \(∆\) : \(\left\{\begin{matrix} x= x_{0}+tu_{1}& \\ y= y_{0}+tu_{2}& \end{matrix}\right.\) -Khi \(u_1≠ 0\) thì tỉ số \(k= \dfrac{u_{2}}{u_{1}}\) được gọi là hệ số góc của đường thẳng. Từ đây, ta có phương trình đường thẳng \(∆\) đi qua điểm \(M_0(x_0 ;y_0)\) và có hệ số góc k là: \(y – y_0 = k(x – x_0)\) Chú ý: Ta đã biết hệ số góc \(k = \tan α\) với góc \(α\) là góc của đường thẳng \(∆\) hợp với chiều dương của trục \(Ox\) 3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng Định nghĩa: Vectơ \(\vec{n}\) được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(∆\) nếu \(\vec{n}\) ≠ \(\vec{0}\) và \(\vec{n}\) vuông góc với vectơ chỉ phương của \(∆\) Nhận xét: - Nếu \(\vec{n}\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(∆\) thì k\(\vec{n}\) \((k ≠ 0)\) cũng là một vectơ pháp tuyến của \(∆\), do đó một đường thẳng có vô số vec tơ pháp tuyến. - Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một và một vectơ pháp tuyến của nó. 4. Phương trình tổng quát của đường thẳng Định nghĩa: Phương trình \(ax + by + c = 0\) với \(a\) và \(b\) không đồng thời bằng \(0\), được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng. Trường hợp đặc biết: + Nếu \(a = 0 => y = \dfrac{-c}{b}; ∆ // Ox\) hoặc trùng Ox (khi c=0) + Nếu \(b = 0 => x = \dfrac{-c}{a}; ∆ // Oy\) hoặc trùng Oy (khi c=0) + Nếu \(c = 0 => ax + by = 0 => ∆\) đi qua gốc tọa độ + Nếu \(∆\) cắt \(Ox\) tại \(A(a; 0)\) và \(Oy\) tại \(B (0; b)\) thì ta có phương trình đoạn chắn của đường thẳng \(∆\) : \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\) 5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Xét hai đường thẳng ∆1 và ∆2 có phương trình tổng quát lần lượt là : a1x+b1y + c1 = 0 và a2x+b2y +c2 = 0 Điểm \(M_0(x_0 ;y_0)\)) là điểm chung của ∆1 và ∆2 khi và chỉ khi \((x_0 ;y_0)\) là nghiệm của hệ hai phương trình: (1) \(\left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y +c_{1} = 0& \\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}= 0& \end{matrix}\right.\) Ta có các trường hợp sau: a) Hệ (1) có một nghiệm: ∆1 cắt ∆2 b) Hệ (1) vô nghiệm: ∆1 // ∆2 c) Hệ (1) có vô số nghiệm: ∆1 \( \equiv \)∆2 6.Góc giữa hai đường thẳng Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau tạo thành 4 góc. Nếu ∆1 không vuông góc với ∆2 thì góc nhọn trong số bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2. Nếu ∆1 vuông góc với ∆2 thì ta nói góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 900. Trường hợp ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau thì ta quy ước góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 00. Như vậy góc giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng 900 Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được kí hiệu là \(\widehat{(\Delta _{1},\Delta _{2})}\) Cho hai đường thẳng: ∆1: a1x+b1y + c1 = 0 ∆2: a2x+b2y + c2 = 0 Đặt \(\varphi\) = \(\widehat{(\Delta _{1},\Delta _{2})}\) \(\cos \varphi\) = \(\dfrac{|a_{1}.a_{2}+b_{1}.b_{2}|}{\sqrt{{a_{1}}^{2}+{b_{1}}^{2}}\sqrt{{a_{2}}^{2}+{b_{2}}^{2}}}\) Chú ý: + \({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {n_1} \bot {n_2}\) \( \Leftrightarrow {a_1}.{a_2} + {b_1}.{b_2} = 0\) + Nếu \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có phương trình y = k1 x + m1 và y = k2 x + m2 thì \({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {k_1}.{k_2} = - 1\) 7. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng \(∆\) có phương trình \(ax+by+c=0\) và điểm \(M_0(x_0 ;y_0)\)). Khoảng cách từ điểm \(M_0\) đến đường thẳng \(∆\) kí hiệu là \(d(M_0,∆)\), được tính bởi công thức \(d(M_0,∆)=\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
Loigiaihay.com Trong bài viết này, chúng tôi sẽ chia sẻ lý thuyết về phương trình đường thẳng và các dạng phương trình tham số, phương trình tổng quát, phương trình chính tắc,..và các dạng bài tập thường gặp nhất ở các đề thi đại học hiện nay để các bạn cùng tham khảo nhé Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng1. Phương trình tổng quátPhương trình Δ : ax + by + c = 0, a2 + b2 ≠ 0 là PTTQ của đường thẳng Δ nhận n→ (a;b )làm vectơ pháp tuyến của đường thẳng Các dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng. 2. Phương trìnhđường thẳng theo đoạn chắnĐường thẳng cắt Ox và Oy lần lượt tại 2 điểm A(a; 0) và B(0; b) có phương trình đoạn theo chắn là x/a + y/b = 1 (a, b ≠ 0) 3. Phương trình tham sốTrong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d đi qua điểm M(x0,y0) và nhận u→ = (u1, u2) làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của d là với t được gọi là tham số. Với mỗi giá trị t ∈ R ta được một điểm thuộc đường thẳng. 4. Phương trình chính tắcPhương trình chính tắc của đường thẳng Δ đi qua M0(x0, y0) và có vecto chỉ phương u→ = (u1, u2) là Với u1, u2 ≠ 0 5. Hệ số góc của đường thẳngCho đường thẳng d cắt trục Ox tại M và tia Mt là một phần của đường thẳng nằm ở nửa mặt phẳng có bờ là trục Ox mà các điểm trên nửa mặt phẳng đó có tung độ dương, khi đó tia Mt hợp với tia Mx một góc α. Đặt k = tanα, khi đó k được gọi là hệ số góc của đường thẳng d. Đường thẳng có vecto chỉ phương u→ = (u1, u2) thì có hệ số góc k = u1/u2 Đường thẳng có vectơ pháp tuyến n→ = (a,b) thì có hệ số góc k = – a/b Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau. Hai đường thẳng vuông góc có tích 2 hệ số góc là -1. 6. Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳngXét 2 đường thẳng D1: a1x + b1y + c1 = 0 ; D2: a2x + b2y + c2 = 0. Tọa độ giao điểm D1, D2 là nghiệm của hệ phương trình: Ta có các trường hợp sau: Lưu ý: Nếu a2, b2, c2 ≠ 0 thì 7 Góc giữa 2 đường thẳngCho đường thẳng Δ1: a1x + b1y + c1 = 0 có vecto pháp tuyến n→1và Δ2: a2x + b2y + c2 = 0 có vecto pháp tuyến n→2 Đặt j = ( Δ1, Δ2), khi đó Lưu ý: 8. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳngCho đường thẳng (d) ax + by + c = 0 và M(x0; y0) ∉ (d), khoảng cách từ điểm M đến (d) được tính theo công thức Tham khảo thêm: Phương trình đường thẳng trong không gian1. Dạng tham sốTrong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M(x0,y0,z0 và nhận u→ = (u1, u2, u3) làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của d là với t được gọi là tham số. Với mỗi giá trị t ∈ R ta được một điểm thuộc đường thẳng. 2. Dạng chính tắcNếu cả u1, u2, u3 đều khác 0, từ phương trình tham số ta khử tham số t, ta được phương trình chính tắc 3. Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳngCác dạng bài tập phương trình đường thẳngDạng 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng.Để viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ ta thực hiện các bước như sau: Ví dụ: Đường thẳng đi qua hai điểm A(3; -7) và B( 1; -7) có phương trình tham số là: Dạng 2:Viết phương trình tổng quát của đường thẳngĐể viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ ta thực hiện các bước như sau: Lưu ý: Nếu đường thẳng ∆1 cùng phương với đường thẳng ∆2: ax + by + c = 0 thì ∆1 có phương trình tổng quát là: ax + by + c’ = 0 Ví dụ:Đường thẳng đi qua A(1; -2) , nhận n→ = (1; -2) làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là: A. x – 2y + 1 = 0; B. 2x + y = 0; C. x – 2y – 5 = 0; D. x – 2y + 5 = 0 Lời giải Gọi (d) là đường thẳng đi qua A và nhận n→ = (1; -2) làm VTPT =>Phương trình đường thẳng (d) : 1(x – 1) – 2(y + 2) = 0 hay x – 2y – 5 = 0 Dạng 3: Vị trí tương đối của hai đường thẳngĐể xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 ; ∆2 : a2x + b2y + c2 = 0, ta xét các trường hợp sau: Dạng 4: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳngĐể tính khoảng cách từ điểm Mo(xo; yo) đến đường thẳng ∆: ax + by + c = 0, ta dùng công thức: Sau khi đọc xong bài viết của chúng tôi các bạn có thể hệ thống lại kiến thức về phương trình đường thẳng và các dạng bài tập thường gặp để áp dụng giải bài tập nhanh chóng và chính xác nhé
Đánh giá bài viết XEM THÊMCách xét tính chẵn lẻ của hàm số chính xác 100% [ Bài tập minh họa] |
