Tìm m để các nghiệm của phương trình sau đều là số ảo

Bởi Châu Sa Nguyễn Phương Văn

Giới thiệu về cuốn sách này

Chọn đáp án đúng

Phương trình ${z^2} - 3z + 2m = 0$ không có nghiệm thực khi và chỉ khi

A. $m > \frac{9}{8}$

B. $m < \frac{9}{8}$

C. $m \le \frac{9}{8}$

D. $m \ge \frac{9}{8}$

[Xem gợi ý]

Phương trình ${z^2} - 3z + 2m = 0$ không có nghiệm thực khi và chỉ khi $\Delta < 0$

Phương trình ${z^2} - 3z + 2m = 0$ không có nghiệm thực khi và chỉ khi $\Delta < 0$

$\Delta = {\left[ { - 3} \right]^2} - 4.2m < 0 \Leftrightarrow m > \frac{9}{8}$

Trong tập các số phức, cho phương trình ${z^2} - 6z + m = 0,\,m \in \mathbb{R}$ $[1]$. Gọi ${m_0}$ là một giá trị của $m$ để phương trình $[1]$ có hai nghiệm phân biệt $z_1, z_2$ thỏa mãn ${z_1}.\overline {{z_1}} = {z_2}.\overline {{z_2}} $. Hỏi trong khoảng $\left[ {0;\,20} \right]$ có bao nhiêu giá trị ${m_0} \in \mathbb{N}$?  

[Xem gợi ý]

Điều kiện để phương trình $[1]$ có hai nghiệm phân biệt là: $\Delta = 9 - m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 9$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $z_1, z_2$ thỏa mãn ${z_1}.\overline {{z_1}} = {z_2}.\overline {{z_2}} $ thì $[1]$ phải có nghiệm phức. Suy ra $\Delta < 0$

Điều kiện để phương trình $[1]$ có hai nghiệm phân biệt là: $\Delta = 9 - m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 9$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $z_1, z_2$ thỏa mãn ${z_1}.\overline {{z_1}} = {z_2}.\overline {{z_2}} $ thì $[1]$ phải có nghiệm phức. Suy ra $\Delta < 0 \Leftrightarrow m > 9$

Vậy trong khoảng $\left[ {0;\,20} \right]$ có 10 số $m_0$

Trên tập số phức , cho phương trình: $a{z^2} + bz + c = 0\left[ {a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in \mathbb{R}} \right]$. Chọn kết luận sai. 

A. Nếu $b=0$ thì phương trình có hai nghiệm mà tổng bằng $0$.

B. Nếu $\Delta = {b^2} - 4ac < 0$ thì phương trình có hai nghiệm mà môđun bằng nhau.

C. Phương trình luôn có hai nghiệm phức là liên hợp của nhau.

D. Phương trình luôn có nghiệm.

[Xem gợi ý]

Trên tập số phức, cho phương trình $a{z^2} + bz + c = 0$ luôn có nghiệm 

+ $\Delta > 0$ có hai nghiệm thực ${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}$

+ $\Delta < 0$ có hai nghiệm phức ${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm i\sqrt {\left| \Delta \right|} }}{{2a}}$

+ $\Delta = 0$ có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}}$

Trên tập số phức, cho phương trình $a{z^2} + bz + c = 0$ luôn có nghiệm 

+ $\Delta > 0$ có hai nghiệm thực ${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}$

+ $\Delta < 0$ có hai nghiệm phức ${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm i\sqrt {\left| \Delta \right|} }}{{2a}}$

+ $\Delta = 0$ có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}}$

Khi $b=0$ thì phương trình chắc chắn có hai nghiệm mà tổng bằng 0.

$\Delta = {b^2} - 4ac < 0$ thì phương trình có hai nghiệm có môđun bằng nhau.

Nhưng nếu $\Delta > 0$ phương trình có hai nghiệm thực nên không chắc đã liên hợp.

Gọi $z_1$ là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình ${z^2} - 2z + 5 = 0$. Tìm tọa độ biểu diễn số phức $\frac{{7 - 4i}}{{{z_1}}}$ trên mặt phẳng phức? 

A. $P\left[ {3;\,\,2} \right]$

B. $N\left[ {1;\,\, - 2} \right]$

C. $Q\left[ {3; - 2} \right]$

D. $M\left[ {1;\,\,2} \right]$

[Xem gợi ý]

Giải phương trình ${z^2} - 2z + 5 = 0$ và thay vào biểu thức $\frac{{7 - 4i}}{{{z_1}}}$

Ta có: ${z^2} - 2z + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nz = 1 - 2i & \left[ {TM} \right]\\\nz = 1 + 2i & \left[ L \right]\n\end{array} \right.$

Suy ra $\frac{{7 - 4i}}{{{z_1}}} = \frac{{7 - 4i}}{{1 - 2i}} = 3 + 2i$

Điểm biểu diễn là $P\left[ {3;\,\,2} \right]$

Gọi $z_1, z_2, z_3$ là các nghiệm của phương trình $i{z^3} - 2{z^2} + \left[ {1 - i} \right]z + i = 0$. Biết $z_1$ là số thuần ảo. Đặt $P = \left| {{z_2} - {z_3}} \right|$ hãy chọn khẳng định đúng?  

A. $4 < P < 5$

B. $2 < P < 3$

C. $3 < P < 4$

D. $1 < P < 2$

[Xem gợi ý]

Giải phương trình $i{z^3} - 2{z^2} + \left[ {1 - i} \right]z + i = 0$ tìm $z_2, z_3$ và thay vào biểu thức $P = \left| {{z_2} - {z_3}} \right|$

Ta có: $i{z^3} - 2{z^2} + \left[ {1 - i} \right]z + i = 0 \Leftrightarrow \left[ {z + i} \right]\left[ {i{z^2} - z + 1} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n{z_1} = - i\\\ni{z^2} - z + 1 = 0\left[ 1 \right]\n\end{array} \right.$

Vì $z_1$ là số thuần ảo nên $z_2, z_3$ là nghiệm của phương trình $[1]$

Ta có: ${\left[ {{z_2} - {z_3}} \right]^2} = {\left[ {{z_2} + {z_3}} \right]^2} - 4.{z_2}.{z_3} = - 1 + 4i$

$\Rightarrow \left| {{{\left[ {{z_2} - {z_3}} \right]}^2}} \right| = \left| { - 1 + 4i} \right| = \sqrt {17} \Rightarrow P = \left| {{z_2} - {z_3}} \right| = \sqrt[4]{{17}}$

Kí hiệu $z_1, z_2, z_3, z_4$ là bốn nghiệm của phương trình ${z^4} + {z^2} - 6 = 0$. Tính $S = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| + \left| {{z_4}} \right|$

A. $S = 2\sqrt 3 $

B. $S = 2\left[ {\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right]$

C. $S = 2\sqrt 2 $

D. $S = 2\left[ {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right]$

[Xem gợi ý]

Giải phương trình ${z^4} + {z^2} - 6 = 0$ và tìm $z_1, z_2, z_3, z_4$

Ta có: ${z^4} + {z^2} - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{{z^2} = 2{\rm{ }}}\\\n{{z^2} = - 3}\n\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{z = \pm \sqrt 2 {\rm{ }}}\\\n{z = \pm i\sqrt 3 }\n\end{array}} \right.$

$S = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| + \left| {{z_4}} \right| = 2\left[ {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right]$

Cho $a, b$ là các số thực thỏa phương trình ${z^2} + az + b = 0$ có nghiệm $z = 3 - 2i$, tính $S = a + b$. 

A. $19$

B. $7$

C. $-19$

D. $-7$

[Xem gợi ý]

Ta có phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ có nghiệm $x = {x_1}$ suy ra $f\left[ {{x_1}} \right] = 0$

Vì phương trình ${z^2} + az + b = 0$ có nghiệm $z = 3 - 2i$ nên ${\left[ {3 - 2i} \right]^2} + a\left[ {3 - 2i} \right] + b = 0$

$ \Leftrightarrow 5 - 12i + 3a - 2ai + b = 0 \Leftrightarrow \left[ {3a + b + 5} \right] - \left[ {2a + 12} \right]i = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n3a + b = - 5\\\n2a = - 12\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\na = - 6\\\nb = 13\n\end{array} \right.$

Vậy $S = a + b = - 6 + 13 = 7$

Biết phương trình ${z^2} + 2017.2018z + {2^{2018}} = 0$ có hai nghiệm $z_1, z_2$. Tính $S = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|$

A. $S = {2^{2018}}$

B. $S = {2^{2019}}$

C. $S = {2^{1009}}$

D. $S = {2^{1010}}$

[Xem gợi ý]

Do các hệ số của phương trình ${z^2} + 2017.2018z + {2^{2018}} = 0$ đều là số thực nên $z_1, z_2$ là hai số phức liên hợp .

Nên $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|$

Do các hệ số của phương trình ${z^2} + 2017.2018z + {2^{2018}} = 0$ đều là số thực nên $z_1, z_2$ là hai số phức liên hợp 

${z_1} = a + bi;\,{z_2} = a - bi\left[ {a,b \in \mathbb{R}} \right]$

Ta có: $S = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} = 2\sqrt {{z_1}.{z_2}} = 2\sqrt {{2^{2018}}} = {2^{1010}}$

Trong tập các số phức, cho phương trình ${z^2} - 4z + {\left[ {m - 2} \right]^2} = 0,{\rm{ }}m \in \mathbb{R} [1]$. Gọi $m_0$ là một giá trị để phương trình $[1]$ có hai nghiệm phân biệt $z_1, z_2$ thỏa mãn $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|$. Hỏi trong đoạn $\left[ {0;2018} \right]$ có bao nhiêu giá trị nguyên của $m_0$?

A. $2019$

B. $2015$

C. $C. 2018$

D. $2014$

[Xem gợi ý]

Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn $\left| {{x_1}} \right| = \left| {{x_2}} \right| \Leftrightarrow \Delta < 0$

Phương trình ${z^2} - 4z + {\left[ {m - 2} \right]^2} = 0$ có hai nghiệm phân biệt $z_1, z_2$ thỏa mãn $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|$ khi và chỉ khi $\Delta \' < 0 \Leftrightarrow 4 - {\left[ {m - 2} \right]^2} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nm > 4\\\nm < 0\n\end{array} \right.$

Do $m_0$ là số nguyên và ${m_0} \in \left[ {0;2018} \right] \Rightarrow {m_0} \in \left\{ {5;6;...;2018} \right\}$. Vậy có 2014 giá trị nguyên của  $m_0$

Cho $m$ là số thực, biết phương trình ${z^2} + mz + 5 = 0$ có hai nghiệm phức trong đó có một nghiệm có phần ảo là 1. Tính modun của mỗi nghiệm

A. 2

B. $\sqrt5$

C. $3\sqrt5$

D. 3

[Xem gợi ý]

Để phương trình có hai nghiệm phức thì $\Delta < 0 $

Ta có: $\Delta = {m^2} - 20$

Để phương trình có hai nghiệm phức thì $\Delta < 0 \Leftrightarrow - 2\sqrt 5 < m < 2\sqrt 5 $

Khi đó phương trình có hai nghiệm là ${z_1} = - \frac{m}{2} + \frac{{\sqrt {20 - {m^2}} }}{2}i$ và ${z_2} = - \frac{m}{2} - \frac{{\sqrt {20 - {m^2}} }}{2}i$

Theo đề $\frac{{\sqrt {20 - {m^2}} }}{2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 4$

Khi đó phương trình trở thành ${z^2} \pm 4z + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {z_1} = - 2 + i\\ {z_2} = - 2 - i \end{array} \right.$ hoặc $\left[ \begin{array}{l} {z_1} = 2 + i\\ {z_2} = 2 - i \end{array} \right.$

Vậy $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \sqrt 5 $

Tính môđun của số phức $z$ biết $\left[ {1 + 2i} \right]{z^2} = 3 + 4i$ 

A. $\left| z \right| = \sqrt 5 $

B. $\left| z \right| = \sqrt[4]{5}$

C. $\left| z \right| = 2\sqrt 5 $

D. $\left| z \right| = 5$

[Xem gợi ý]

Rút gọn $\left[ {1 + 2i} \right]{z^2} = 3 + 4i$ để đưa về $z^2$

Gọi $z = a + bi,\,\left[ {a,\,b \in \mathbb{R}} \right]$ suy ra ${z^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi $. 

Từ đó giải hệ phương trình tìm $a, b$

Ta có: $\left[ {1 + 2i} \right]{z^2} = 3 + 4i \Leftrightarrow {z^2} = \frac{{3 + 4i}}{{1 + 2i}} \Leftrightarrow {z^2} = \frac{{11}}{5} - \frac{2}{5}i\,\left[ 1 \right]$

Đặt $z = a + bi,\,\left[ {a,\,b \in \mathbb{R}} \right]$

Ta có: ${z^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi $ $[2]$

Từ $[1]$ và $[2]$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{a^2} - {b^2} = \frac{{11}}{5}\\\n2ab = - \frac{2}{5}\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n25{a^4} - 55{a^2} - 1 = 0\\\nb = - \frac{1}{{5a}}\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{a^2} = \frac{{11 + 5\sqrt 5 }}{{10}}\\\n{b^2} = \frac{{ - 11 + 5\sqrt 5 }}{{10}}\n\end{array} \right.$

Khi đó $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt[4]{5}$
 

Cho $z$ là nghiệm phức của phương trình ${x^2} + x + 1 = 0$. Tính $P = {z^4} + 2{z^3} - z$ 

A. $\frac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{2}$

B. $\frac{{ - 1 - i\sqrt 3 }}{2}$

C. $2i$

D. $2$

[Xem gợi ý]

Giải phương trình ${x^2} + x + 1 = 0$ và tìm nghiệm sau đó thay vào biểu thức $P = {z^4} + 2{z^3} - z$. [ Có thể tham khảo cách giải khác ở phần hướng dẫn giải]

Vì $z$ là nghiệm phức của phương trình ${x^2} + x + 1 = 0$ nên ${z^2} + z + 1 = 0$

Do đó: $P = {z^4} + 2{z^3} - z = {z^2}\left[ {{z^2} + z + 1} \right] + {z^3} - {z^2} - z = {z^3} - {z^2} - z$

$ = z\left[ {{z^2} + z + 1} \right] - 2{z^2} - 2z = - 2\left[ {{z^2} + z + 1} \right] + 2 = 2$ 

Gọi $z_1, z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $2{z^2} - 3z + 4 = 0$. Tính $w = \frac{1}{{{z_1}}} + \frac{1}{{{z_2}}} + i{z_1}{z_2}$ 

A. $w = - \frac{3}{4} + 2i$

B. $w = \frac{3}{4} + 2i$

C. $w = 2 + \frac{3}{2}i$

D. $w = \frac{3}{2} + 2i$

[Xem gợi ý]

Ta có: $w = \frac{1}{{{z_1}}} + \frac{1}{{{z_2}}} + i{z_1}{z_2} \Leftrightarrow w = \frac{{{z_1} + {z_2}}}{{{z_1}{z_2}}} + i{z_1}{z_2}$

Theo vi ét: $\left\{ \begin{array}{l}\n{z_1} + {z_2} = \frac{3}{2}\\\n{z_1}{z_2} = 2\n\end{array} \right.$. Khi đó $w = \frac{3}{4} + 2i$

Có bao nhiêu số phức thỏa mãn $z + {\left| z \right|^2}.{\rm{i}} - 1 - \frac{3}{4}{\rm{i}} = 0$ 

[Xem gợi ý]

Gọi $z = x + y{\rm{i}}\left[ {x,y \in \mathbb{R}} \right]$ và thay vào phương trình $z + {\left| z \right|^2}.{\rm{i}} - 1 - \frac{3}{4}{\rm{i}} = 0$. Sau đó giải hệ và tìm $x, y$

Gọi $z = x + y{\rm{i}}\left[ {x,y \in \mathbb{R}} \right]$

Ta có: $z + {\left| z \right|^2}.{\rm{i}} - 1 - \frac{3}{4}{\rm{i}} = 0 \Leftrightarrow x + yi + \left[ {{x^2} + {y^2}} \right]{\rm{i}} - 1 - \frac{3}{4}{\rm{i}} = 0$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx - 1 = 0\\\ny + {x^2} + {y^2} - \frac{3}{4} = 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx = 1\\\ny = - \frac{1}{2}\n\end{array} \right. \Rightarrow z = 1 - \frac{1}{2}{\rm{i}}$

Vậy có 1 số phức thỏa mãn.

Kí hiệu $z_0$ là số phức có phần ảo âm của phương trình $9{z^2} + 6z + 37 = 0$. Tìm tọa độ của điểm biểu diễn số phức $w = i{z_0}$. 

A. $\left[ { - 2; - \frac{1}{3}} \right]$

B. $\left[ { - \frac{1}{3}; - 2} \right]$

C. $\left[ {2; - \frac{1}{3}} \right]$

D. $\left[ { - \frac{1}{3};2} \right]$

[Xem gợi ý]

Giải phương trình $9{z^2} + 6z + 37 = 0$, tìm $z_0$ và tính số phức $w$

Ta có phương trình $9{z^2} + 6z + 37 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{z = - \frac{1}{3} - 2i}\\\n{z = - \frac{1}{3} + 2i}\n\end{array}} \right.$

Vậy ${z_0} = - \frac{1}{3} - 2i$. Khi đó $w = i{z_0} = - \frac{1}{3}i - 2{i^2} \Leftrightarrow w = 2 - \frac{1}{3}i$

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ là $\left[ {2;\, - \frac{1}{3}} \right]$

Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn ${z^2} = {\left| z \right|^2} + \overline z $

[Xem gợi ý]

Goị $z = a + bi\,\,\left[ {a,b \in \mathbb{R}} \right]$, thay vào phương trình để tìm a, b

Goị $z = a + bi\,\,\left[ {a,b \in \mathbb{R}} \right]$

Phương trình đã cho tương đương ${z^2} = {\left| z \right|^2} + \overline z \Leftrightarrow {\left[ {a + bi} \right]^2} = {a^2} + {b^2} + a - bi \Leftrightarrow - {b^2} + 2abi = \left[ {{b^2} + a} \right] - bi$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{ - {b^2} = a + b}\\\n{2ab = - b}\n\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{b = 0}\\\n{a = 0}\n\end{array}} \right.}\\\n{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{a = - \frac{1}{2}\left[ {b \ne 0} \right]}\\\n{2{b^2} + 2b - 1 = 0}\n\end{array}} \right.}\n\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{b = 0}\\\n{a = 0}\n\end{array}} \right.}\\\n{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{a = - \frac{1}{2}\left[ {b \ne 0} \right]}\\\n{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{b = \frac{{ - 1 - \sqrt 3 }}{2}}\\\n{b = \frac{{ - 1 + \sqrt 3 }}{2}}\n\end{array}} \right.}\n\end{array}} \right.}\n\end{array}} \right.} \right.} \right.$

Vậy có 3 số phức thỏa mãn.

Gọi $A, B, C$ là các điểm biểu diễn các số phức $z_1, z_2 ,z_3$ là nghiệm của các phương trình ${z^3} - 6{z^2} + 12z - 7 = 0$. Tính diện tích $S$ của tam giác $ABC$.

A. $S = 3\sqrt 3 $

B. $S = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}$

C. $S = 1$

D. $S = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}$

[Xem gợi ý]

Giải phương trình ${z^3} - 6{z^2} + 12z - 7 = 0$ để tìm $A, B ,C$. Từ đó tính độ dài 3 cạnh của tam giác để xem tam giác này có tính chất gì để xác định công thức tính diện tích.

Ta có ${z^3} - 6{z^2} + 12z - 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{{z_1} = 1}\\\n{{z_2} = \frac{5}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}\\\n{{z_3} = \frac{5}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}\n\end{array}} \right.$

Suy ra $A\left[ {1;0} \right],\,B\left[ {\frac{5}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right],\,C\left[ {\frac{5}{2}; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right]$

$AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt 3 $

$AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt 3 $

$BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt 3 $

Vậy tam giác $ABC$ đều: ${S_{ABC}} = \frac{{{{\left[ {\sqrt 3 } \right]}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}$

Cho phương trình ${z^2} + bz + c = 0\,\left[ {b,c \in \mathbb{R}} \right]$. Tính tổng $S = b + c$ biết $z = 2 - 3i$ là nghiệm của phương trình đã cho.

A. $S=6$

B. $S=7$

C. $S=8$

D. $S=9$

[Xem gợi ý]

Vì $z = 2 - 3i$ là nghiệm của phương trình ${z^2} + bz + c = 0\,\left[ {b,c \in \mathbb{R}} \right]$ nên $f\left[ {2 - 3i} \right] = 0$

Theo đề ta có: ${\left[ {2 - 3i} \right]^2} + b\left[ {2 - 3i} \right] + c = 0 \Leftrightarrow - 5 - 12i + 2b - 3bi + c = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {2b + c - 5} \right] - 3\left[ {b + 4} \right]i = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n2b + c - 5 = 0\\\nb + 4 = 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nb = - 4\\\nc = 13\n\end{array} \right.$

Do đó: $S = b + c = 9$

Gọi $z_1, z_2, z_3$ lần lượt là ba nghiệm của phương trình ${z^3} + {z^2} + 5z - 7 = 0$. Tính $M = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right|$

A. $M = 1 + 2\sqrt 7 $

B. $M = 1 + 7\sqrt 2 $

C. $M = 2 + \sqrt 7 $

D. $M=1$

[Xem gợi ý]

Giải phương trình ${z^3} + {z^2} + 5z - 7 = 0$ và tìm $z_1, z_2, z_3$

Ta có: ${z^3} + {z^2} + 5z - 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ {z - 1} \right]\left[ {{z^2} + 2z + 7} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nz = 1\\\nz = - 1 + i\sqrt 6 \\\nz = - 1 - i\sqrt 6 \n\end{array} \right.$

$M = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| = \left| 1 \right| + \left| { - 1 + i\sqrt 6 } \right| + \left| { - 1 - i\sqrt 6 } \right| = 1 + 2\sqrt 7 $

Gọi $z_1, z_2, z_3$ là ba nghiệm của phương trình ${z^3} - 2\left[ {1 + i} \right]{z^2} + \left[ {9 + 4i} \right]z - 18i = 0$, trong đó $z_1$ là nghiệm có phần ảo âm.. Tính $M = \left| {{z_1}} \right|$ 

A. $M = 2$

B. $M = 3$

C. $M = 2\sqrt 2 $

D. $M = 2\sqrt 3 $

[Xem gợi ý]

Phân tích ${z^3} - 2\left[ {1 + i} \right]{z^2} + \left[ {9 + 4i} \right]z - 18i = 0 \Leftrightarrow \left[ {z - 2i} \right]\left[ {{z^2} - 2z + 9} \right] = 0$. Giải và tìm $z_1$

Ta có: ${z^3} - 2\left[ {1 + i} \right]{z^2} + \left[ {9 + 4i} \right]z - 18i = 0 \Leftrightarrow \left[ {z - 2i} \right]\left[ {{z^2} - 2z + 9} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nz = 2i\\\nz = 1 + 2\sqrt 2 i\\\nz = 1 - 2\sqrt 2 i\n\end{array} \right.$

Vậy ${z_1} = 1 - 2\sqrt 2 i \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = 3$

Điểm của bạn.Mỗi câu trả lời đúng được

Câu hỏi này theo dạng chọn đáp án đúng, sau khi đọc xong câu hỏi, bạn bấm vào một trong số các đáp án mà chương trình đưa ra bên dưới, sau đó bấm vào nút gửi để kiểm tra đáp án và sẵn sàng chuyển sang câu hỏi kế tiếp

Tổng thời gian làm mỗi câu [không giới hạn]

Bấm vào đây nếu phát hiện có lỗi hoặc muốn gửi góp ý