Hình học giải tích là một kiến thức khá mới và thú vị trong chương trình toán THPT. Chính vì vậy, hôm nay Kiến Guru muốn chia sẻ đến các bạn hướng dẫn giải toán nâng cao 12 cho một số dạng bài tập hay bắt gặp trong các đề thi, mà tập trung chính sẽ là chủ đề phương trình mặt phẳng. Đây là những bài tập đòi hỏi tính vận dụng cao, ngoài kiến thức cơ bản, cũng yêu cầu sự kết hợp nhuần nhuyễn và linh hoạt các công thức mới có thể giải được. Cùng nhau khám phá bài viết nhé:
I. Giải toán nâng cao 12 – Kiến thức cần nắm.
Vecto pháp tuyến [VTPT] của mặt phẳng:
Chú ý:
+ Nếu
+ Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu ta biết VTPT của nó và một điểm nó đi qua.
+ Nếu hai vecto
Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
+ Trong không gian Oxyz, mọi mặt phẳng đều có dạng sau: Ax+ By+Cz+D=0 [với A²+B²+C²≠0]
+ Khi đó vecto [A,B,C] được xem là VTPT của mặt phẳng.
+ Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M[x0,y0,z0] và xem vecto [A,B,C] ≠ 0 là VTPT là:
A[x-x0]+B[y-y0]+C[z-z0]=0
Một số trường hợp đặc biệt: Xét phương trình mặt phẳng [α]: Ax+ By+Cz+D=0
[với A²+B²+C²≠0]:
+ Nếu D=0 thì mặt phẳng đi qua gốc tọa độ.
+ Nếu A=0, BC≠0 thì mặt phẳng song song hoặc chứa trục Ox.
+ Nếu B=0, AC≠0 thì mặt phẳng song song hoặc chứa trục Oy
+ Nếu C=0, AB≠0 thì mặt phẳng song song hoặc chứa trục Oz.
+ Nếu A=B=0, C≠0 thì mặt phẳng song song hoặc trùng với [Oxy]
+ Nếu B=C=0, A≠0 thì mặt phẳng song song hoặc trùng với [Oyz]
+ Nếu A=C=0, B≠0 thì mặt phẳng song song hoặc trùng với [Oxz]
Như vậy ta rút ra nhận xét:
+ Nếu trong phương trình [α] không chứa ẩn nào thì mặt phẳng [α] sẽ song song hoặc chứa trục tương ứng [ví dụ A=0, tức là thiếu ẩn x, kết quả là mặt phẳng song song hoặc chứa trục Ox].
+ Phương trình mặt phẳng đoạn chắn: x/a +y/b + z/c=1. ở đây, mặt phẳng sẽ cắt các trục tọa độ tại các điểm có tọa độ [a,0,0]; [0,b,0] và [0,0,c] [với abc≠0]
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: cho [α]: Ax+By+Cz+D=0 và [β]: A’x+B’y+C’z+D’=0, khi đó:
+ [α] song song [β]:
+ [α] trùng [β]:
+ [α] cắt [β]: chỉ cần
Khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng: cho mặt phẳng [α]: Ax+By+Cz+D=0 và điểm M[x0,y0,z0], lúc này khoảng cách từ M đến mặt phẳng [α] được tính theo công thức:
II. Hướng dẫn các dạng giải toán nâng cao 12 phương trình mặt phẳng.
Dạng 1: viết phương trình khi biết 1 điểm và VTPT. Dạng này có thể biến tấu bằng cách cho trước 1 điểm và một phương trình mặt phẳng khác song song với phương trình mặt phẳng cần tìm.
Phương pháp: Áp dụng trực tiếp phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có VTPT, áp dụng thêm lưu ý hai mặt phẳng song song thì có cùng VTPT.
VD: Xét không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua A[1;0;-2] và VTPT [1;-1;2]?
Hướng dẫn:
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.
Phương pháp:
Mấu chốt vấn đề là ta phải tìm được VTPT của mặt phẳng, vì đã biết trước được một điểm mà mặt phẳng đi qua rồi [A, B và C].
Do A, B, C cùng nằm trên mặt phẳng nên AB, AC là hai đoạn thẳng nằm trong mặt phẳng, lúc này:
Trường hợp này có thể biến tấu bằng cách thay vì cho 3 điểm cụ thể, bài toán sẽ cho 2 đường thẳng song song hoặc nằm trong mặt phẳng cần tìm. Cách làm là tương tự, thay các vecto AB, AC bằng các vecto chỉ phương của mặt phẳng, ta sẽ tìm được VTPT. Sau đó, chọn 1 điểm bất kì trên 1 đường thẳng là ta lại quay về dạng 1.
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A[1;0;-2], B[1;1;1] và C[0;-1;2].
Hướng dẫn:
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng [α] song song với mặt phẳng [β]: Ax+By+Cz+D=0 cho trước và cách điểm M một khoảng k cho trước.
Phương pháp:
Do [α] song song [β] nên mặt phẳng cần tìm có dạng: Ax+By+Cz+D’=0.
Sử dụng công thức khoảng cách để tìm D’.
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] song song với [Q]: x+2y-2z+1=0 và cách điểm M[1;-2;1] một khoảng là 3.
Hướng dẫn:
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng [α] tiếp xúc với mặt cầu [S] cho trước.
Phương pháp:
Ta tìm tọa độ tâm I của [S]. Do [α] tiếp xúc [S] nên ta sẽ tìm tọa độ tiếp điểm, gọi tiếp điểm là M. Có được điểm đi qua, VTPT lại là vecto MI thì ta dễ dàng áp dụng như dạng 1.
Nếu bài toán không cho tiếp điểm mà ta chỉ có thể tìm được VTPT dựa vào 1 số dữ kiện ban đầu, lúc này phương trình mặt phẳng có dạng: Ax+By+Cz+D=0. Sử dụng công thức tính khoảng cách để tìm D.
Ví dụ: Xét không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] song song với mặt phẳng [Q]: x+2y-2z+1=0 và tiếp xúc với mặt cầu [S]: x²+y²+z²+2x-4y-2z-3=0.
Hướng dẫn:
III. Giải toán nâng cao 12 – Các bài tập tự luyện.
Đáp án:
Trên đây là những vấn đề giải toán nâng cao 12 chủ đề phương trình mặt phẳng mà Kiến Guru muốn chia sẻ tới các bạn. Trong khuôn khổ bài viết, tuy mới chỉ là một trong số rất nhiều dạng trong chương trình Toán THPT, nhưng Kiến hy vọng đây sẽ là một tài liệu ôn tập hữu ích dành cho các bạn. Ngoài ra, các bạn có thể tham khảo thêm nhiều bài viết khác trên trang của Kiến nhé. “Có công mài sắt có ngày nên kim”, chúc các bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong kì thi THPT sắp tới.
Câu 4: Trang 45 - sgk hình học 10
Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A[1; 3], B[1; 2].
a] Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB.
b] Tính chu vi tam giác OAB.
c] Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB.
Xem lời giải
§2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ A. KIẾN THỨC CĂN BẢN Định nghĩa: Cho hai vectơ a và b khác vectơ 0. Tích vô hướng của a và b là một số, kí hiệu là a. b, được xác định bởi công thức sau: a.b = |a|.|b|cos[a,b] Các tính chất của tích vô hưổng Với ba vectơ a, b, C bất kì và mọi số k ta có: a.b = b.a [tính chất giao hoán]; a.[b + c] = a.b + a.c [tính chất phân phối]; [ka].b = k[a.b] = a.[kb]; -2 _ -.2 _ - a > 0, a=0 o a = 0. Nhận xét: Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra: [a + b]2 = a2 + 2.a.b + b2 ; [a-b]2 =a2-2.a.b + b2; [a + b].[a- b] = a2 -E]2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng Cho a - [ai ; a2], b = [bi; b2] a.b = a1b1+a2b2 Nhận xét: a, b đều khác ỏ thì a 1 b a1b1 +a2b2 = 0 4. ứng dụng Độ dài của vectơ Cho a = [ai; a2] thì la! = ựa2 + a2 Góc giữa hai vectơ Cho a = [ai; a2], b= [bi; b2] đều khácõ Khi đó cos[a,b] : a.b a1b1 + a2b2 •|b| +a2.ựbf +b Khoảng cách giữa hai điểm Cho A[xa; Ya] và B[xb; Yb] AB = ự[xB-XA]2+[yB-yA]2. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 1. Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. Tính các tích võ hướng AB.AC, AC.CB. 2. Cho ba điểm o, A, B thẳng hàng và biết OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng OA.OB trong hai trường hợp: Điểm o nằm ngoài đoạn AB; Điểm o nằm trong đoạn AB. tỹiải Khi o nằm ngoài đoạn AB ta có: Q Ạ B OA.OB = a.b.cosO0 = a.b Khi o nằm giữa hai điểm A và B ta có: ÕẨ.ÕB = a.b.cosl80° = -a.b * 2 ? Cho nửa đường tròn tâm o có đường kính AB = 2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa dường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tại I. Chứng minh AI.AM = AI.AB và BI.BN = BI.BA; Hãy dùng kết quả câu a] để tính AI.AM+ BI.BN theo R. tỹiải a] Ta có AI.AM = AI.AM.COS[AI.AM] = AI.AM.cosO0 = AI. AM và AI.AB = AI.AB. cos IAB AM = AI.AB.^= AI.AM AB Từ [1] và [2] suy ra ÃĨ.ĂM = ÃỈ.ÃB Tương tự BI.BN = BI.BN BI.BA = BI.BA.COSÍBẦ BN " = BI.BA.^-= BI.BN BA Từ đó suy ra BI.BN = BI.BA . * Cách khác: Ta có: ÃỈ.ÃM-ÃỈ.ĂB = ÃỈ[ÃM - Ãẽ] = AI.BM = 0 [vì Ãỉ 1 BM ] => ÃĨ.ÃM = ÃĨ.ÃB Tương tự: BI.BN = BI.BA. b] Ap dụng câu a] ta có ALAM + BI.BN = AI.AB + BỈ.BÁ = AI.AB + IB.AB = AB.[AI + IB] = AB2 = 4R2 Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A[1; 3], B[4; 2]. Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB; Tính chu vi tam giác OAB; Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đố tính diện tích tam giác OAB. [ỹiẦi a] Giả sử D[xd; 0] nằm trên trục Ox. Ta có: DA = DB DA2 = DB2 o [1 - XD]2 + 32 = [4 - XD]2 + 22 X2 - 2xd + 1 + 9 = Xp - 8xd + 16 + 4 XD = VâyD[|;o]. Ta có: OA = 7l2 +32 = 7ĨÕ ; OB = V42 + 22 = 720 AB = ự[4 -1]2 + [2 - 3]2 = 7ĨÕ Chu vi tam giác OAB là: 2p = OA + OB + AB = 7ĨÕ + 720 + 7ĨÕ = 27ĨÕ + 72.7ĨÕ = 7ĨÕ[2 + 72] Vì OA = AB = 7ĨÕ và OB = 720 nên OB2 = OA2 + AB2 Vậy tam giác OAB vuông cân tại A. Diện tích tam giác OAB là: s = OA.AB = i.TĨÕ.TĨÕ = 5 [đvdt]. 2 2 * Cách khác: Ta có ÕA = [1; 3]; ÃB = [3; -1] => ÕẨ . Ãỗ = 1.3 - 3.1 = 0 => OA ± AB. Trên mặt phẳng Oxy hãy tinh góc giữa hai vectơ a và b trong các trường hợp sau : ă = [2; -3], b = [6; 4]; ã= [3; 2], b = [5; -1]; a = [-2; -2^3], b= [3; 73 ]. Ta có: a Ta có: a . b = 2.6 + -3.4 = 0 => a 1 b hay [a, b ] = 90°. . b = 3.5 + 2.[-l] = 13 |ẵ| = 732 + 22 = 7Ĩ3 ; |b| = 726 => cos[a,b] - f, a.b 13 ,|b| 713.726 7Ĩ3.713.72 72 1 ^[a,b] = 45° a.b = [-2].3 + [-2731.73 =-6 - 6 =-12 |a| = 4; |b| = 2.73 => cos[a,b] = a'b = 12 = => [a, b] = 150° . ;.b 4.273 2 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A[7; -3]; B[8; 4]; C[1; 5]; D[0; -2]. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông. Ta có: |Ãb| = ự[8 - 7]2 + [4 + 3]2 =750 = 572 |bc| = 7[1 - 8]2 + [5 - 4]2 = 750 = 572 |cd| = 7[0 - l]2 + [-2 - 5]2 = 750 = 572 |ÕÃ| = y/72 + [-1]2 = 750 = 572 => AB = BC = CD = DA nên tứ giác ABCD là hình thoi. Mặt khác ÃB= [1; 7]; ÃD = [-7; 1] nên Ãẽ.ÃD= l.[-7] + 7.1 = 0 AB 1 AD Vậy hình thoi ABCD có một góc vuông nên tứ giác ABCD là hình vuông. Trên mặt phẳng Oxy cho điểm A[ 2; 1]. Gọi B là điểm đối xứng với điểm A qua gốc tọa độ o. Tìm tọa độ của điểm c có tung độ bằng 2 sao cho tam giác ABC vuông ở c. $úỉi Ta có B[2; -1] là điểm đỗì xứng với A qua o. Gọi C[x; 2] ta có: CA = [-2 - x; -1]; CB = [2 - x; -3] AABC vuông tại c CA.CB =0 [-2 - x][2 - x] + 3 = 0 X2 - 1 X = ±1 Vậy có hai điểm cần tìm là: C[l; 2] và C'[-l; 2]. c 1. 2. 3. 4. BÀI TẬP LÀM THÊM Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, Â = 60° a] Tính AB.CA ; b] Tính BC. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm o. Tính AB.AC và AO.BC Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = 6, CA = 8. a] Tính AB.AC và góc A. b] Tính độ dài trung tuyến AM. c] Xác định điểm I thỏa 5IA + 3IC = õ. d] Tính AB.IA và BI. Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = 4, CA = 6. Tính AB.BC + BC.CA + CA.AB . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC có độ dài ba cạnh a, b, c. Chứng minh rằng: GA2 + GB2 + GC2 = [a2 + b2 + c2]. 3 Wert*? dắt: GA2= |aM2=|.ỉ[ÃB + ÃC]2 =j[b2+c2+2ÃB.ÃC] Cho tứ giác ABCD. Tìm tập hợp điểm M sao cho: [mã + 2MB].[mC + 3MD] = 0 dẩti.: Gọi I, J là điểm thỏa: IA + 2IB = õ và JC + 3JD = õ Tập hợp M là đường tròn đường kính IJ.