Ví dụ phương trình có nghiệm kép

Dạng 1: Giải và biện luận phương trình bậc hai

Phương pháp: Cho phương trình

1) .

2) :

+ phương trình có hai nghiệm phân biệt

+ phương trình có nghiệm kép \\

+ phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 1: Giải các phương trình:

1. a)
2. b) .
3. c)

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình:

1. a)
2. b) .
3. c)
4. d)

Dạng 2: Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm}

Phương pháp: Cho phương trình: . Tìm điều kiện của tham số sao cho:

Loại 1:Phương trình vô nghiệm

Loại 2: Phương trình nhận mọi x làm nghiệm \\

Loại 3: Phương trình có nghiệm 

Loại 4: Phương trình có nghiệm duy nhất 

Loại 5: Phương trình có nghiệm kép 

Loại 6: Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất 

Ví dụ 3: Cho phương trình

1. a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
2. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu là độ dài 3 cạnh của tam giác thì phương trình vô nghiệm.

Dạng 3: Định lý Viet và ứng dụng

Định lý Viet: Nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm thì ta có

Bài toán 1: Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng.}

Phương pháp: Nếu hai số có thì là nghiệm của phương trình

Chú ý: Nếu (1) có hai nghiệm thì ta được

$\left[\begin{array}{l} u=t_1 \& v=t_2\\ u=t_2 \& v=t_1 \end{array}\right.$

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình

Bài toán 2: Tính giá trị biểu thức đối xứng giữa hai nghiệm

Ví dụ 4: Gọi là các nghiệm của phương trình . Tính giá trị của các biểu thức:

1. a)
2. b) latex
3. c)

Ví dụ 5: Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện .

Bài toán 3: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số}

Phương pháp:

Bước 1: Tìm đk của m để pt có nghiệm.

Bước 2: Áp dụng định lý Viet tính

Bước 3: Khử m từ hệ trên được hệ thức cần tìm.

Ví dụ 6: Cho phương trình .

1. a) Tìm để phương trình có nghiệm.
2. b) Với m tìm được ở câu a), hãy tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào .

Ví dụ 7: Cho phương trình .

1. a) Chứng minh rằng với mọi phương trình luôn có nghiệm.
2. b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm mà không phụ thuộc vào m.

Bài toán 4: Xác định dấu các nghiệm của phương trình

Phương pháp:

1. a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu: \\
2. b) Phương trình có hai nghiệm cùng dấu: .\\
3. c) Phương trình có hai nghiệm dương: .\\
4. d) Phương trình có hai nghiệm âm: .

Ví dụ 8: Cho phương trình . Tìm m để phương trình:

1. a) có hai nghiệm trái dấu
2. b) có hai nghiệm cùng dấu
3. c) có hai nghiệm cùng dương
4. d) có hai nghiệm cùng âm
5. e) có hai nghiệm cùng âm
6. f) có đúng một nghiệm dương
7. g) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.

Bài toán 5: Tìm điều kiện của tham số để nghiệm của phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện K cho trước

Phương pháp:

Bước 1: Tìm đk để pt có nghiệm .

Bước 2: Áp dụng định lý Viét ta được: (I).

Bước 3: Biểu diễn điều kiện K thông qua hệ (I).

Dạng 4: Một số bài toán khác

Bài toán 1: Lập phương trình bậc hai

Ví dụ 9:  Cho biết là nghiệm của phương trình bậc hai . Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là:

a) và

b) và

BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 1: Giải và biện luận các phương trình sau:

1. a)
2. b)
3. c)
4. e)

Bài 2:

Cho phương trình

1. a) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.
2. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Bài 3:Chứng minh rằng với mọi m phương trình sau luôn có hai nghiệm phân biệt

Bài 4: Giải các hệ phương trình sau:

1. a)

b)