Bài tập đồ thị hàm số lớp 9
3. a, Vẽ đồ thị các hàm số y = x + 1 và y = -x + 3 trên cùng một hmặt phẳng tọa độ. b, Hai đường thẳng y = x + 1 và y = -x + 3 cắt nhau tại C và cắt trục Ox theo thứ tự tại A và B. Tìm tọa độ của các điểm A, B, C. c, Tính chu vi và diện tích tam giác ABC (dơn vị cm) 4. Cho hàm số y = (m - 1)x + 3 a, Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến? Nghịch biến? b, Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 2) c, Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm B(1; -2) d, Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với giá trị của m tìm được ở các câu b, c. Xem lời giảiChia sẻ nếu thấy tài liệu này có ích!
CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN I – Kiến thức cần nhớ 1, Định nghĩa - Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức $y=ax+b$ trong đó $a;b$ là các số cho trước và $a\ne 0.$ - Đặc biệt, khi $b=0$ thì hàm số có dạng $y=ax.$ 2, Tính chất - Hàm số bậc nhất $y=ax+b\,\,\left( a\ne 0 \right)$ xác định với mọi giá trị của $x\in \mathbb{R}$. - Hàm số đồng biến khi $a>0$ - Hàm số nghịch biến khi $a<0$. 3, Đồ thị - Đồ thị của hàm số $y=ax+b$ $\left( a\ne 0 \right)$ là một đường thẳng: + Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $b;$ + Song song với đường thẳng $y=ax$ khi $b\ne 0$ + Trùng với đường thẳng $y=ax$ khi $b=0$ - Chú ý: Đồ thị hàm số $y=ax+b\,\,\left( a\ne 0 \right)$ còn được gọi là đường thẳng $y=ax+b$; $a$ được gọi là hệ số góc của đường thẳng ; $b$ được gọi là tung độ gốc của đường thẳng. 4, Góc tạo bởi đồ thị hàm số bậc nhất và trục $Ox$ - Gọi $\alpha $ là góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b\,\,\left( a\ne 0 \right)$ và trục $Ox$. + Nếu $\alpha <{{90}^{0}}$ thì $a>0$. + Nếu $\alpha >{{90}^{0}}$ thì $a<0$. 5, Vị trí tương đôi của hai đường thẳng Cho hai đường thẳng $\left( {{d}_{1}} \right):y={{a}_{1}}x+{{b}_{1}}$ và $\left( {{d}_{2}} \right):y={{a}_{2}}x+{{b}_{2}},$ trong đó ${{a}_{1}},\,\,{{a}_{2}}\,\,\ne 0$ - $\left( {{d}_{1}} \right)$ cắt $\left( {{d}_{2}} \right)$ $\Leftrightarrow {{a}_{1}}\ne {{a}_{2}}$ - $\left( {{d}_{1}} \right)//\left( {{d}_{2}} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{a}_{1}}={{a}_{2}} \\ & {{b}_{1}}\ne {{b}_{2}} \\ \end{align} \right.$ - $\left( {{d}_{1}} \right)\,$ trùng với $\left( {{d}_{2}} \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{a}_{1}}={{a}_{2}} \\ & {{b}_{1}}={{b}_{2}} \\ \end{align} \right.$ - $\left( {{d}_{1}} \right)\bot \left( {{d}_{2}} \right)\Leftrightarrow {{a}_{1}}.{{a}_{2}}=-1$ II – Bài tập vận dụng Đề bài. Cho hàm số bậc nhất $y=\left( m-2 \right)x+m+3\,\,\,\left( d \right)$ a) Tìm $m$ để hàm số đồng biến. b) Tìm $m$ để hàm số nghịch biến. c) Tìm $m$ để $\left( d \right)$ đi qua điểm $A\left( 1;2 \right)$ d) Tìm $m$ để đồ thị hàm số song song với đường thẳng $y=3x-3+m\,\,\left( {{d}_{1}} \right)$ e) Tìm $m$ để đồ thị hàm số đã cho vuông góc với đường thẳng $\left( {{d}_{2}} \right)$ $y=2x+1$. f) Tìm $m$ để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. g) Tìm $m$ để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3. h) Tìm $m$ để đồ thị hàm số $\left( {{d}_{3}} \right)y=-x+2;\,\,\left( {{d}_{4}} \right)y=2x-1;\,\left( d \right)\,y=\left( m-2 \right)x+m+3$ đồng quy. i) Tìm $m$ biết $\left( d \right)$ tạo với trục hoành một góc ${{45}^{0}}.$ j) Tìm $m$ biết $\left( d \right)$ tạo với trục hoành một góc ${{150}^{0}}.$ k) Tìm $m$ để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng $\left( d \right)$ bằng 1. l) Tìm $m$ để $\left( d \right)$ cắt $Ox,\,\,Oy$ tạo thành tam giác có diện tích bằng 2. m) Chứng minh rằng với mọi giá trị của $m$ thì đường thẳng $\left( d \right)$ luôn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm cố định đó. Bài giải a) Hàm số $y=\left( m-2 \right)x+m+3$ đồng biến $\Leftrightarrow m-2>0$ $\Leftrightarrow m>2$ b) Hàm số $y=\left( m-2 \right)x+m+3$ nghịch biến $\Leftrightarrow m-2<0$ $\Leftrightarrow m<2$ c) Để đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua điểm $A\left( 1;2 \right)$ $\Leftrightarrow 2=\left( m-2 \right).1+m+3$ $\Leftrightarrow 2=2m+1$ $\Leftrightarrow 2m=1$ $\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}$ d) Để $\left( d \right)//\left( {{d}_{1}} \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m-2=3 \\ & m+3\ne -3+m \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow m=5$ e) Để $\left( d \right)\,\,\bot \,\,\left( {{d}_{2}} \right)$ $\Leftrightarrow 2\left( m-2 \right)=-1$ $\Leftrightarrow m-2=-\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow m=\frac{3}{2}$ f) Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 $\Leftrightarrow \left( d \right)$ đi qua điểm $M\left( 3;0 \right)$ $\Leftrightarrow 0=3\left( m-2 \right)+m+3$ $\Leftrightarrow 0=3m-6+m+3$ $\Leftrightarrow 4m=3$ $\Leftrightarrow m=\frac{3}{4}$ g) Đồ thị hàm số đã cho cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 $\Leftrightarrow \left( d \right)$ đi qua điểm $N\left( 0;3 \right)$ $\Leftrightarrow 3=\left( m-2 \right).0+m+3$ $\Leftrightarrow m=0$ h) Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( {{d}_{3}} \right)$ và $\left( {{d}_{4}} \right)$ là: $-x+2=2x-1$ $\Leftrightarrow 3x=3$ $\Leftrightarrow x=1$ $\Rightarrow y=-1+2=1$ $\Rightarrow \left( {{d}_{3}} \right)$ cắt $\left( {{d}_{4}} \right)$ tại điểm $B\left( 1;1 \right)$ Để $\left( d \right),\,\,\left( {{d}_{3}} \right),\,\,\left( {{d}_{4}} \right)$ đồng quy thì $\left( d \right)$ phải đi qua điểm $B$ $\Leftrightarrow 1=\left( m-2 \right).1+m+3$ $\Leftrightarrow 1=2m+1$ $\Leftrightarrow 2m=0$ $\Leftrightarrow m=0$ i) Vì $\left( d \right)$ tạo với trục $Ox$ một góc ${{45}^{0}}$ nên ta có: $m-2>0$ $\Leftrightarrow m>2$ Đồ thị hàm số $\left( d \right)$cắt$Ox$ tại điểm $E\left( \frac{-m-3}{m-2};0 \right)$ và cắt trục $Oy$ tại điểm $F\left( 0;\,m+3 \right)$ Ta có góc tạo bởi $\left( d \right)$ và trục $Ox$ là: $\widehat{OEF}$ Ta có: $\tan \widehat{OEF}=\frac{OF}{OE}$ $\Rightarrow \tan {{45}^{0}}=\left| \frac{m+3}{\frac{-m-3}{m-2}} \right|=\left| m-2 \right|$ $\Leftrightarrow \left| m-2 \right|=1$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m-2=1 \\ & m-2=-1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=3\,\,\,(tm) \\ & m=1\,\,\,(l) \\ \end{align} \right.$ Vậy $m=3$ j) Vì $\left( d \right)$ tạo với trục $Ox$ một góc ${{150}^{0}}$ nên $m-2<0$ $\Leftrightarrow m<2$ Đồ thị hàm số $\left( d \right)$cắt$Ox$ tại điểm $E\left( \frac{-m-3}{m-2};0 \right)$ và cắt trục $Oy$ tại điểm $F\left( 0;\,m+3 \right)$ Góc tạo bởi $\left( d \right)$ và trục $Ox$ là $\widehat{FEx}$ $\Rightarrow \widehat{FEx}={{150}^{0}}$ $\Rightarrow \widehat{OEF}={{180}^{0}}-{{150}^{0}}={{30}^{0}}$ $\tan \widehat{OEF}=\frac{OF}{OE}$ $\Rightarrow \tan {{30}^{0}}=\frac{\left| m+3 \right|}{\left| \frac{-m-3}{m-2} \right|}=\left| m-2 \right|$ $\Leftrightarrow \left| m-2 \right|=\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} \text{ }\!\!~\!\!\text{ } & m-2=\frac{\sqrt{3}}{3} \\ \text{ }\!\!~\!\!\text{ } & m-2=-\frac{\sqrt{3}}{3} \\\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=2+\frac{\sqrt{3}}{3}(l) \\ & m=2-\frac{\sqrt{3}}{3}(tm) \\ \end{align} \right.$ Vậy $m=2-\frac{\sqrt{3}}{3}$ k) Gọi $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $O$ đến $\left( d \right)$ Khi đó khoảng cách từ $O$ đến $\left( d \right)$ là $OH$ Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta OEF$ vuông tại $O$ , đường cao $AH$ ta có: $\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{E}^{2}}}+\frac{1}{O{{F}^{2}}}$ $\frac{1}{{{1}^{1}}}=\frac{{{\left( m-2 \right)}^{2}}}{{{\left( m+3 \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( m+3 \right)}^{2}}}$ $\Rightarrow {{\left( m-2 \right)}^{2}}+1={{\left( m+3 \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m+4+1={{m}^{2}}+6m+9$ $\Leftrightarrow 10m=-4$ $\Leftrightarrow m=-\frac{2}{5}$ l) ${{S}_{OEF}}=\frac{1}{2}OE.OF$ $\Rightarrow OE.OF=2{{S}_{OEF}}$ $\Rightarrow \left| \frac{-m-3}{m-2} \right|.\left| m+3 \right|=2.2$ $\Leftrightarrow \left| \frac{{{\left( m+3 \right)}^{2}}}{m-2} \right|=4$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \frac{{{\left( m+3 \right)}^{2}}}{m-2}=4 \\ & \frac{{{\left( m+3 \right)}^{2}}}{m-2}=-4 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{\left( m+3 \right)}^{2}}=4\left( m-2 \right) \\ & {{\left( m+3 \right)}^{2}}=-4\left( m-2 \right) \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{m}^{2}}+6m+9=4m-8 \\ & {{m}^{2}}+6m+9=-4m+8 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{m}^{2}}+2m+17=0\,\, \\ & {{m}^{2}}+10m+1=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=-5-2\sqrt{6} \\ & m=-5+2\sqrt{6} \\ \end{align} \right.$ (Phương trình đầu tiên là vô nghiệm) m) Gọi điểm $N\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là điểm cố định mà đường thẳng $\left( d \right)$ luôn đi qua với mọi $m$ $\Leftrightarrow {{y}_{0}}=\left( m-2 \right){{x}_{0}}+m+3$ với mọi $m$ $\Leftrightarrow {{y}_{0}}=m{{x}_{0}}-2{{x}_{0}}+m+3$ với mọi $m$ $\Leftrightarrow m\left( {{x}_{0}}+1 \right)=2{{x}_{0}}+{{y}_{0}}-3$ với mọi $m$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 2{{x}_{0}}+{{y}_{0}}-3=0 \\ & {{x}_{0}}+1=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}_{0}}=-1 \\ & {{y}_{0}}=5 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow N\left( -1;5 \right)$ III – Bài tập luyện tập Bài 1. Cho hàm số $y=\left( m+5 \right)x+2m-10$ a) Với giá trị nào của $m$ thì $y$ là hàm số bậc nhất. b) Với giá trị nào của $m$ thì hàm số đồng biến. c) Tìm $m$ để đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left( 2;3 \right)$. d) Tìm $m$ để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 9. e) Tìm $m$ để đồ thị hàm số đi qua điểm 10 trên trục hoành. Bài 2. Cho hàm số $y=\left( 2m+3 \right)x-2+m$ a) Tìm $m$ để hàm số đồng biến ? Nghịch biến ? b) Tìm $m$ biết đồ thị hàm số trên song song với đường thẳng $y=-5x+3\,\,?$ Vuông góc với đường thẳng $x-2y+1=0?$ c) Tìm $m$ biết đồ thị hàm số và hai đường thẳng $y=-2x+3$ và $y=x-5$ đồng quy. Bài 3. Cho $\left( d \right):y=\left( m-2 \right)x+2$ a) Chứng minh rằng khi $m$ thay đổi thì $\left( d \right)$ luôn đi qua một điểm cố định. b) Tìm $m$ để khoảng cách từ gốc tọa độ đến $\left( d \right)$ bằng 1. c) Tìm $m$ để đường thẳng $\left( d \right)$ tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2. Bài 4. Cho hàm số $y=\left( 2-m \right)x+m-1\,\,\,\,\,\left( 1 \right).$ Với giá trị nào của $m$ thì: a) Hàm số (1) là hàm số bậc nhất. b) Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ. c) Đồ thị hàm số tạo với trục $Ox$ một góc $\alpha ={{30}^{0}}$. d) Chứng minh rằng với mọi giá trị của $m$ họ các đường thẳng xác định bởi hàm số (1) luôn đi qua một điểm cố định. Hãy xác định tọa độ điểm cố định đó? Bài 5. Cho hàm số $y=-x-3\,\,\,\left( {{d}_{1}} \right)$ và $y=3x+1\,\,\left( {{d}_{2}} \right)$ a) Vẽ đồ thị hàm số $\left( {{d}_{1}} \right)$ và $\left( {{d}_{2}} \right)$ trên cùng một mặt phẳng tọa độ. b) Gọi $B$ và $C$ lần lượt là giao điểm của $\left( {{d}_{1}} \right)$ và $\left( {{d}_{2}} \right)$ với trục hoành. $A$ là giao điểm của $\left( {{d}_{1}} \right)$ và $\left( {{d}_{2}} \right)$. Tính chu vi và diện tích $\Delta ABC.$ c) Tìm góc tạo bởi $\left( {{d}_{1}} \right)$ và $\left( {{d}_{2}} \right)$ với trục $Ox$ (làm tròn đến phút). |