- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Tìm các giới hạn sau :
LG a
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{\sqrt {{x^2} + x} - \sqrt x } \over {{x^2}}}\]
Phương pháp giải:
Nhân của tử và mẫu với \[{\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt x }\].
Lời giải chi tiết:
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{\sqrt {{x^2} + x} - \sqrt x } \over {{x^2}}}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2} + x - x}}{{{x^2}\left[ {\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt x } \right]}}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^2 \over {{x^2}\left[ {\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt x } \right]}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {1 \over {\left[ {\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt x } \right]}} = + \infty \cr} \]
Vì\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left[ {\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt x } \right] = 0,\] \[\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt x > 0\] khi \[x\to 0^+\].
LG b
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} x{{\sqrt {1 - x} } \over {2\sqrt {1 - x} + 1 - x}}\]
Phương pháp giải:
Phân tích mẫu thành nhân tử, rút gọn khử dạng vô định.
Lời giải chi tiết:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} x{{\sqrt {1 - x} } \over {2\sqrt {1 - x} + 1 - x}}\] \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x\sqrt {1 - x} }}{{\sqrt {1 - x} \left[ {2 + \sqrt {1 - x} } \right]}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {x \over {2 + \sqrt {1 - x} }} = {1 \over 2}\]
LG c
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} {{3 - x} \over {\sqrt {27 - {x^3}} }}\]
Phương pháp giải:
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử, rút gọn khử dạng vô định.
Lời giải chi tiết:
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} {{3 - x} \over {\sqrt {27 - {x^3}} }} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} {{{{\left[ {\sqrt {3 - x} } \right]}^2}} \over {\sqrt {\left[ {3 - x} \right]\left[ {{x^2} + 3x + 9} \right]} }} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} {{\sqrt {3 - x} } \over {\sqrt {{x^2} + 3x + 9} }} = 0 \cr} \]
LG d
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{\sqrt {{x^3} - 8} } \over {{x^2} - 2x}}\]
Phương pháp giải:
Phân tích tử vàu mẫu thành nhân tử, rút gọn khử dạng vô định.
Lời giải chi tiết:
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{\sqrt {{x^3} - 8} } \over {{x^2} - 2x}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{\sqrt {\left[ {x - 2} \right]\left[ {{x^2} + 2x + 4} \right]} } \over {x\left[ {x - 2} \right]}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 2x + 4} }}{{x\sqrt {x - 2} }}\cr &=+ \infty \cr} \]
Vì
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \sqrt {{x^2} + 2x + 4} = 2\sqrt 3 \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} x\sqrt {x - 2} = 0;\,x\sqrt {x - 2} > 0\cr &\forall x > 2 \cr} \]