Giải chi tiết:
ĐKXĐ: \[\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\{x^2} + {y^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\x,\,\,y \ne 0\end{array} \right.\].
Đặt \[{\log _3}\left[ {x + y} \right] = {\log _4}\left[ {{x^2} + {y^2}} \right] = t\].
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = {3^t}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left[ {x + y} \right]^2} = {9^t}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2xy = {9^t}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = \dfrac{{{9^t} - {4^t}}}{2}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\end{array}\]
Khi đó \[x,\,\,y\] là nghiệm của phương trình
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{X^2} - {3^t}.X + \dfrac{{{9^t} - {4^t}}}{2} = 0\\ \Leftrightarrow 2{X^2} - {2.3^t}.X + {9^t} - {4^t} = 0\,\,\,\left[ * \right]\end{array}\]
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình [*] phải có nghiệm, khi đó ta có \[\Delta {'_{\left[ * \right]}} \ge 0\].
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left[ {{3^t}} \right]^2} - 2.\left[ {{9^t} - {4^t}} \right] \ge 0\\ \Leftrightarrow {2.4^t} - {9^t} \ge 0\\ \Leftrightarrow 2{\left[ {\dfrac{4}{9}} \right]^t} - 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {\dfrac{4}{9}} \right]^t} \ge \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow t \le {\log _{\dfrac{4}{9}}}\dfrac{1}{2} \approx 0,85\end{array}\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = {3^t} \le {3^{{{\log }_{\dfrac{4}{9}}}\dfrac{1}{2}}}\,\,\,\,\left[ {{d_1}} \right]\\{x^2} + {y^2} = {4^t} \le {4^{{{\log }_{\dfrac{4}{9}}}\dfrac{1}{2}}}\,\,\left[ C \right]\end{array} \right.\,\,\,\left[ I \right]\].
Mà \[x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {0; \pm 1} \right\}\].
Tập hợp các cặp giá trị của \[\left[ {x;y} \right]\] thỏa mãn [I] là miền bôi đậm.
Mà \[x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {0;1} \right\}\].
Vậy có 2 giá trị của x thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn B.