Đề bài
Tìm các giá trị của tham số m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất : |mx 2| = |x + 4| [*]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bình phương hai vế, biện luận phương trình bậc hai và kết luận.
Lời giải chi tiết
Ta có:
|mx 2| = |x + 4| [mx -2]2= [x + 4]2
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {m^2}{x^2} - 4mx + 4 = {x^2} + 8x + 16\\
\Leftrightarrow {m^2}{x^2} - {x^2} - 4mx - 8x + 4 - 16 = 0
\end{array}\]
[m2 1]x2 - 4[m + 2]x 12 = 0 [1]
+ Với m = 1 thì [1] trở thành : -12x 12 = 0 x = -1
+ Với m = -1 thì [1] trở thành: -4x 12 = 0 x = -3
+ Với m ± 1 thì [1] có nghiệm duy nhất:
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow\Delta ' = 4{[m + 2]^2} + 12[{m^2} - 1] = 0\cr& \Leftrightarrow 4{m^2} + 4m + 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {[2m + 1]^2} = 0 \Leftrightarrow m = - {1 \over 2} \cr} \]
Với \[m \in {\rm{\{ }} - 1; - {1 \over 2};1\}\]thì phương trình có nghiệm duy nhất.
Cách khác:
Ta có:
\[\begin{array}{l}\left| {mx - 2} \right| = \left| {x + 4} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}mx - 2 = x + 4\\mx - 2 = - x - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}mx - x = 4 + 2\\mx + x = - 4 + 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left[ {m - 1} \right]x = 6\\\left[ {m + 1} \right]x = - 2\end{array} \right.\,\,\left[ * \right]\end{array}\]
Nếu \[m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\] thì \[\left[ * \right] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0x = 6\left[ {VN} \right]\\2x = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 1\]
Nếu \[m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1\] thì \[\left[ * \right] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2x = 6\\0x = - 2\left[ {VN} \right]\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 3\]
Nếu \[m \ne \pm 1\] thì \[\left[ * \right] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{6}{{m - 1}}\\x = - \frac{2}{{m + 1}}\end{array} \right.\]
PT đã cho có nghiệm duy nhất
\[ \Leftrightarrow \frac{6}{{m - 1}} = - \frac{2}{{m + 1}}\]
6m + 6 = -2m + 2
8m = -4 m = -1/2
Tóm lại : m = 1 hoặc m = -1 , hoặc m = -1/2 thì pt đã cho có nghiệm duy nhất