Đề bài - bài 3.44 trang 162 sbt hình học 11

Đề bài

Hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều ABCcạnh 7a, có cạnh SC vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) và SC = 7a.

a) Tính góc giữa SA và BC.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BC.

Lời giải chi tiết

a) Gọi Hlà trung điểm của đoạn BC. Qua Avẽ ADsong song với BCvà bằng đoạn HC thì góc giữa BCvà SAlà góc \(\widehat {SA{\rm{D}}}\). Theo định lí ba đường vuông góc, ta có SDDA và khi đó:

\(\cos \widehat {SAD} = {{AD} \over {SA}} = {{HC} \over {SA}} = {{{{7a} \over 2}} \over {7a\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 4}\)

Vậy góc giữa BCvà SAđược xác định sao cho \(\cos \widehat {SAD} = {{\sqrt 2 } \over 4}\)

Vì \(BC\parallel A{\rm{D}}\)nên BC song song với mặt phẳng (SAD). Do đó khoảng cách giữa SA và BC chính là khoảng cách từ đường thẳng BC đến mặt phẳng (SAD).

Ta kẻ CKSD, suy ra CK(SAD), do đó CKchính là khoảng cách nói trên. Xét tam giác vuông SCDvới đường cao CKxuất phát từ đỉnh góc vuông Cta có hệ thức:

\({1 \over {C{K^2}}} = {1 \over {S{C^2}}} + {1 \over {C{D^2}}} \Rightarrow {1 \over {C{K^2}}} = {1 \over {{{\left( {7{\rm{a}}} \right)}^2}}} + {1 \over {{{\left( {{{7{\rm{a}}\sqrt 3 } \over 2}} \right)}^2}}}\)

(vì \(CD = AH = {{BC\sqrt 3 } \over 2} = {{7{\rm{a}}\sqrt 3 } \over 2}\))

Do đó \({1 \over {C{K^2}}} = {1 \over {49{{\rm{a}}^2}}} + {4 \over {3.49{{\rm{a}}^2}}} = {{3 + 4} \over {3.49{{\rm{a}}^2}}} = {1 \over {21{{\rm{a}}^2}}}\)

Vậy \(CK = a\sqrt {21} \)

Chú ý.Nếu kẻ \(KI\parallel A{\rm{D}}\)và kẻ \(IJ\parallel CK\)thì IJlà đoạn vuông góc chung của SAvà BC.