Đề bài
Cho phương trình bậc hai ẩn x với m là tham số: \[{x^2} - 2x + m = 0\] [1]
a] Tìm điều kiện của m để phương trình [1] có nghiệm.
b] Chứng minh rằng với mọi m phương trình [1] không thể có hai nghiệm cùng là số âm.
c] Tìm m để phương trình [1] có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 2x2 = 5.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a]Phương trình bậc hai \[a{x^2} + bx + c = 0\left[ {a \ne 0} \right];b = 2b';\] \[\Delta = {b^2} - 4ac;\Delta ' = {b^2} - ac;\] có nghiệm khi \[\Delta \left[ {\Delta '} \right] \ge 0\]
b] Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng âm :\[\left\{ \begin{array}{l}\Delta \ge 0\\{x_1} + {x_2} < 0\\{x_1}.{x_2} > 0\end{array} \right.\]. Sau đó không tìm được giá trị nào của m.
c] Kết hợp với hệ thức Viet để tìm m: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\]
Lời giải chi tiết
a] Phương trình có nghiệm khi \[\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow 1 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 1\]
b] Ta có: \[{x_1} + {x_2} = 2 > 0\] . Khi đó thì phương trình không thể có 2 nghiệm cùng là số âm được.
c] Áp dụng hệ thức Viet cho phương trình [1] ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\,\,\left[ 2 \right]\\{x_1}.{x_2} = m\,\,\,\,\,\left[ 3 \right]\end{array} \right.\]
Từ đề bài ta có: \[{x_1} = 5 + 2{x_2}\] thay vào [2] ta có: \[5 + 2{x_2} + {x_2} = 2 \Leftrightarrow {x_2} = - 1\] . Khi đó ta có \[{x_1} = 5 - 2 = 3\] . Thay x1, x2 vào [3] ta có :
\[3.\left[ { - 1} \right] = m \Leftrightarrow m = - 3\left[ {tm} \right]\]
Vậy \[m = - 3\] thì phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.