Đề bài
Cho tam giác nhọn ABC. Trung tuyến AM và CN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MG.
a] Chứng minh BG song song với EC.
b] Gọi I là trung điểm của BE, AI cắt BG tại F. Chứng minh : AF = 2FI.
Lời giải chi tiết
a] Xét BMG và CME ta có
BM = MC [M là trung điểm của BC]
\[\widehat {BMG} = \widehat {CME}\] [hai góc đối đỉnh]
Và GM = ME [gt]
Do đó: BMG = CME [c.g.c] \[ \Rightarrow \widehat {BGM} = \widehat {CEM}\]
Mà \[\widehat {BGM}\] và \[\widehat {CEM}\] ở vị trí so le trong nên BG // EC.
b] ABC có hai đường trung tuyến AM và CN cắt nhau tại G [gt]
=> G là trọng tâm của ABC \[ \Rightarrow AG = {2 \over 3}AM\]
Mà AG + GM = AM. Do đó \[GM = {1 \over 3}AM.\] Nên AG = 2GM.
Mà MG = ME => AG = GE. Vậy G là trung điểm của AE.
ABE có: BG và AI cắt nhau tại F [gt]
AI là đường trung tuyến [I là trung điểm của BE]
Và BG là đường trung tuyến [G là trung điểm của AE]
Do đó F là trọng tâm của tam giác ABE \[ \Rightarrow AF = {2 \over 3}AI\]
Mà AF + FI = AI; \[FI = AI - {2 \over 3}AI = {1 \over 3}AI.\] Nên AF = 2FI.