Đề bài
Bằng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số nguyên \[n \ge 2\] và mọi số thực x thỏa mãn \[\left| x \right| < 1\]
\[{\left[ {1 - x} \right]^n} + {\left[ {1 + x} \right]^n} < {2^n}\]
Lời giải chi tiết
Khi \[n = 2,\] bất đẳng thức đúng vì
\[{\left[ {1 - x} \right]^2} + {\left[ {1 + x} \right]^2} = 2\left[ {1 - {x^2}} \right] < 2\,\,\,\left[ {do\,\,{x^2} < 1} \right]\]
Giả sử \[n \ge 2,\]ta có:
\[{\left[ {1 - x} \right]^n} + {\left[ {1 + x} \right]^n} < {2^n}\,,\left[ {\,\left| x \right| < 1} \right]\] [1]
Ta cần chứng minh
\[{\left[ {1 - x} \right]^{n + 1}} + {\left[ {1 + x} \right]^{n + 1}} < {2^{n + 1}},\left[ {\left| x \right| < 1} \right]\] [2]
Thật vậy, do \[\left| x \right| < 1\] nên \[0 < 1 - x < 2\] và \[0 < 1 + x < 2;\] Từ đó ta có
\[\eqalign{ & {\left[ {1 - x} \right]^{n + 1}} + {\left[ {1 + x} \right]^{n + 1}} = {\left[ {1 - x} \right]^n}\left[ {1 - x} \right] + {\left[ {1 + x} \right]^n}\left[ {1 + x} \right] \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, < 2\left[ {{{\left[ {1 - x} \right]}^n} + \left[ {1 + x} \right]} \right] < {2.2^n} = {2^{n + 1}} \cr} \]