Đề bài
Cho ba tia Ox, Oy, Oz. Trên các tia Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm A và A, B và B, C và C sao cho BC cắt BC tại M, CA cắt CA tại N và AB cắt AB tại I. Chứng minh ba điểm M, N, I thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
Trường hợp Ox, Oy, Oz không đồng phẳng
Dễ thấy M, N, I là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt [ABC] và [ABC] nên chúng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng đó. Vậy ba điểm M, N, I thẳng hàng.
Trường hợp Ox, Oy, Oz thuộc mặt phẳng [P].
Qua O ta dựng một đường thẳng \[\Delta \] không nằm trên mp[P]. Trên \[\Delta \] lấy các điểm \[{O_1},\,{O_2}.\] Gọi \[{A_1}\] là giao điểm của \[{O_1}A\] với \[{O_2}A',\,{B_1}\] là giao điểm của \[{O_1}B\] với \[{O_2}B'.\] Dễ chứng minh \[{A_1}{B_1},A'B',\,AB\] đồng quy tại I. Tương tự, ta dựng điểm \[{C_1}\] là giao điểm của \[{O_1}C\] với \[{O_2}C'.\] Hai tam giác \[{A_1}{B_1}{C_1}\] và ABC không nằm trong một mặt phẳng, nên theo câu a] ta được ba điểm M, N, I thẳng hàng.