Ta có : \[\widehat {ABT} = \widehat {ATP}\] [ góc nội tiếp bằng góc giữa tiếp tuyến và một dây cùng chắn cung AT]
Đề bài
Cho đường tròn [O; R]. Từ điểm P ở bên ngoài đường tròn vẽ tiếp tuyến PT và cát tuyến PAB với [O].
Chứng minh rằng : \[PT^2= PA.PB = PO^2-R^2\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
+Góc nội tiếp bằng góc giữa tiếp tuyến và một dây cùng chắn 1 cung
+Tam giác đồng dạng
+Định lý Py-ta-go
Lời giải chi tiết
Ta có : \[\widehat {ABT} = \widehat {ATP}\] [ góc nội tiếp bằng góc giữa tiếp tuyến và một dây cùng chắn cung AT]
Do đóPAT và PTB đồng dạng [g.g]
\[\Rightarrow \dfrac{{PA}}{{PT}} = \dfrac{{PT}}{{PB}} \Rightarrow P{T^2} = PA.PB\]
PTO vuông [PT là tiếp tuyến của [O]]
Theo định lí Py-ta-go:\[P{T^2} = P{O^2}-O{T^2} = P{O^2} - {R^2}\].