Tập nghiệm của bất phương trình 2x 1 3 x 6 nhỏ hơn hoặc bằng 0
|
§2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ
HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT Ẩn
A. KIẾN THỨC CĂN BẢN
Bất phương trình một ẩn
Bất phương trình ẩn X là mệnh đề chứa biến có dạng f(x)
Tập nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 7x + 6 < 0\\\left| {2x - 1} \right| < 3\end{array} \right.\) là
A. \(\left( {1;2} \right).\) B. \(\left[ {1;2} \right].\) C. \(\left( { - 1;6} \right).\) D. \(\left( {1;6} \right).\)
Sách Giải Sách Bài Tập Toán 8 Bài 4: Bất phương trình bạc nhất một ẩn giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 8 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác: a. x – 2 > 4 b. x + 5 < 7 c. x – 4 < -8 d. x + 3 > – 6 Lời giải: a. Ta có: x – 2 > 4 ⇔ x > 4 + 2 ⇔ x > 6 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x > 6} b. Ta có: x + 5 < 7 ⇔ x < 7 – 5 ⇔ x < 2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x < 2} c. Ta có: x – 4 < -8 ⇔ x < -8 + 4 ⇔ x < -4 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x < -4} d. Ta có: x + 3 > -6 ⇔ x > -6 – 3 ⇔ x > -9 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x > -9} a. 3x < 2x + 5 b. 2x + 1 < x + 4 c. -2x > -3x + 3 d. -4x – 2 > -5x + 6 Lời giải: a. Ta có: 3x < 2x + 5 ⇔ 3x – 2x < 5 ⇔ x < 5 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x < 5} b. Ta có: 2x + 1 < x + 4 ⇔ 2x – x < 4 – 1 ⇔ x < 3 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x < 3} c. Ta có: -2x > -3x + 3 ⇔ -2x + 3x > 3 ⇔ x > 3 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x > 3} d. Ta có: -4x – 2 > -5x + 6 ⇔ -4x + 5x > 6 + 2 ⇔ x > 8 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x > 8} a. 1/2 x > 3 b. -1/3 < -2 c. 2/3 x > -4 d. – 3/5 x > 6 Lời giải: a. Ta có: 1/2 x > 3 ⇔ 1/2 x.2 > 3.2 ⇔ x > 6 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x > 6} b. Ta có: -1/3 < -2 ⇔ -1/3 x.(-3) > (-2).(-3) ⇔ x > 6 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x > 6} c. Ta có: 2/3 x > -4 ⇔ 2/3 x. 3/2 > -4. 3/2 ⇔ x > -6 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x > -6} d. Ta có: -3/5 x > 6 ⇔ -3/5 x.(-5/3 ) < 6.(-5/3 ) ⇔ x < -10 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x < -10} a. 3x < 18 b. -2x > -6 c. 0,2x > 8 d. -0,3x < 12 Lời giải: a. Ta có: 3x < 18 ⇔ 3x. 13 < 18. 13 ⇔ x < 6 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x < 6} b. Ta có: -2x > -6 ⇔ -2x.(- 12 ) < -6.(- 12 ) ⇔ x < 3 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x < 3} c. Ta có: 0,2x > 8 ⇔ 0,2x.5 > 8.5 ⇔ x > 40 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x > 40} d. Ta có: -0,3x < 12 ⇔ – 310 x.(- 103 ) > 12.(- 103 ) ⇔ x > -40 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x > -40} a. 2x < 3 ⇔ 3x < 4,5 b. x – 5 < 12 ⇔ x + 5 < 22 c. -3x < 9 ⇔ 6x > -18 Lời giải: a. Nhân hai vế của bất phương trình 2x < 3 với 1,5. b. Cộng hai vế của bất phương trình x – 5 < 12 với 10. c. Nhân hai vế của bất phương trình -3x < 9 với -2.  Bạn An cho rằng, hình vẽ đó biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình 2x ≤ 16, còn bạn Bình lại khẳng định hình vẽ đó biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x + 2 ≤ 10. Theo em bạn nào đúng? Lời giải: Ta có: 2x ≤ 16 ⇔ x ≤ 8 x + 2 ≤ 10 ⇔ x ≤ 8 Như vậy cả hai bạn đều phát biểu đúng. a. 2x – 4 < 0 b. 3x + 9 > 0 c. –x + 3 < 0 d. -3x + 12 > 0 Lời giải: a. Ta có: 2x – 4 < 0 ⇔ 2x < 4 ⇔ x < 2 b. Ta có: 3x + 9 > 0 ⇔ 3x > -9 ⇔ x > -3 c. Ta có: -x + 3 < 0 ⇔ -x < -3 ⇔ x > 3
d. Ta có: -3x + 12 > 0 ⇔ -3x > -12 ⇔ x < 4 a. 3x + 2 > 8 b. 4x – 5 < 7 c. -2x + 1 < 7 d. 13 – 2x > -2 Lời giải: a. Ta có: 3x + 2 > 8 ⇔ 3x > 8 – 2 ⇔ 3x > 6 ⇔ x > 2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x > 2} b. Ta có: 4x – 5 < 7 ⇔ 4x < 7 + 5 ⇔ 4x < 12 ⇔ x < 3 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x < 2} c. Ta có: -2x + 1 < 7 ⇔ -2x < 7 – 1 ⇔ -2x < 6 ⇔ x > -3 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x > -3} d. Ta có: 13 – 2x > -2 ⇔ -3x > -2 – 13 ⇔ -3x > -15 ⇔ x < 5 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x < 5} a. 3/2 x < -9 b. 5 + 2/3 x > 3 c. 2x + 4/5 > 9/5 d. 6 – 3/5 x < 4 Lời giải: a. Ta có: 32 x < -9 ⇔ 3/2 x. 2/3 < -9.(2/3 ) ⇔ x < -6 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x < -6} b. Ta có: 5 + 2/3 x > 3 ⇔ 2/3 x > 3 – 5 ⇔ 2/3 x. 3/2 > -2. 3/2 ⇔ x > -3 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x > -3} c. Ta có: 2x + 4/5 > 95 ⇔ 2x > 9/5 – 4/5 ⇔ 2x > 1 ⇔ x > 1/2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x > 1/2 } d. Ta có: 6 – 3/5 x < 4 ⇔ -3/5 x < 4 – 6 ⇔ -3/5 x.(-5/3 ) > -2.(-5/3 ) ⇔ x > 10/3 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x > 10/3 } a. 7x – 2,2 < 0,6 b. 1,5 > 2,3 – 4x Lời giải: a. Ta có: 7x – 2,2 < 0,6 ⇔ 7x < 0,6 + 2,2 ⇔ 7x < 2,8 ⇔ x < 0,4 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x < 0,4} b. Ta có: 1,5 > 2,3 – 4x ⇔ 4x > 2,3 – 1,5 ⇔ 4x > 0,8 ⇔ x > 0,2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x > 0,2} Lời giải: a. Bất phương trình bậc nhất một ẩn có tập nghiệm biểu diễn bởi hình vẽ là: 2x – 8 ≥ 0 b. Bất phương trình bậc nhất một ẩn có tập nghiệm biểu diễn bởi hình vẽ là: 3x – 15 < 0
Lời giải: a. Ta có: ⇔ 3x – 1 > 8 ⇔ 3x > 8 + 1 ⇔ 3x > 9 ⇔ x > 3 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x > 3} b. Ta có: ⇔ 2x + 4 < 9 ⇔ 2x < 9 – 4 ⇔ 2x < 5 ⇔ x < 2,5 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x < 2,5} c. Ta có:
⇔ 1 – 2x > 12 ⇔ -2x > 12 – 1 ⇔ -2x > 11 ⇔ x < -5,5 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x < -5,5} d. Ta có: ⇔ 6 – 4x < 5 ⇔ -4x < 5 – 6 ⇔ -4x < -1 ⇔ x > 1/4 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x > 1/4 } a. (x – 1)2 < x(x – 3) b. (x – 2)(x + 2) > x(x – 4) c. 2x + 3 < 6 – (3 – 4x) d. -2 – 7x > (3 + 2x) – (5 – 6x) Lời giải: a. Ta có: (x – 1)2 < x(x – 3) ⇔ x2 – 2x + 1 < x2 – 3x ⇔ x2 – 2x + 1 – x2 + 3x < 0 ⇔ x + 1 < 0 ⇔ x < -1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x < -1} b. Ta có: (x – 2)(x + 2) > x(x – 4) ⇔ x2 – 4 > x2 – 4x ⇔ x2 – 4 – x2 + 4x > 0 ⇔ 4x – 4 > 0 ⇔ x > 1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x > 1} c. Ta có: 2x + 3 < 6 – (3 – 4x) ⇔ 2x + 3 < 6 – 3 + 4x ⇔ 2x – 4x < 3 – 3 ⇔ -2x < 0 ⇔ x > 0 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x > 0} d. Ta có: -2 – 7x > (3 + 2x) – (5 – 6x) ⇔ -2 – 7x > 3 + 2x – 5 + 6x ⇔ -7x – 2x – 6x < 3 – 5 + 2 ⇔ -15x > 0 ⇔ x < 0 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x < 0} a. Giá trị phân thức (5 – 2x)/6 lớn hơn giá trị phân thức (5x – 2)/3 b. Giá trị phân thức (1,5 – x)/5 nhỏ hơn giá trị phân thức (4x + 5)/2 Lời giải: ⇔ 5 – 2x > 10x – 4 ⇔ -2x – 10x > -4 – 5⇔ -12x > -9⇔ x < 3/4 Vậy với x < 3/4 thì giá trị phân thức (5 – 2x)/6 lớn hơn giá trị phân thức (5x – 2)/3
⇔ 3 – 2x < 20x + 25⇔ -2x – 20x < 25 – 3 ⇔ -22x < 22⇔ x > -1 Vậy với x > -1 thì giá trị phân thức (1,5 – x)/5 nhỏ hơn giá trị phân thức 4x + 5)/2 . Lời giải: Ta có: 5 – 3x < (4 + 2x) – 1 ⇔ 5 – 3x < 4 + 2x – 1 ⇔ -3x – 2x < 4 – 1 – 5 ⇔ -5x < -2 ⇔ x > 2/5 Vậy chỉ có giá trị 2/3 > 2/5 nên trong các số đã cho thì số 2/3 là nghiệm của bất phương trình. Lời giải: Ta có, quy tắc chuyển vế của phương trình giống quy tắc chuyển vế của bất phương trình, nhưng quy tắc nhân hai vế của phương trình với cùng một số khác 0 không thể chuyển thành quy tắc nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, bởi vì bất phường trình sẽ đổi chiều khi ta nhân hai vế của nó với một số âm. a. Chứng tỏ các giá trị -5; 0; -8 đều không phải là nghiệm của nó. b. Bất phương trình này có thể nhận giá trị nào của x là nghiệm? Lời giải: a. Thay giá trị của x vào từng vế của bất phương trình: x = -5 vế trái: 2.(-5) + 1 = -10 + 1 = -9 vế phải: 2.[(-5) + 1] = 2.(-4) = -8 Vì -9 < -8 nên x = -5 không phải là nghiệm của bất phương trình. x = 0 vế trái: 2.0 + 1 = 1 vế phải: 2.(0 + 1) = 2 Vì 1 < 2 nên x = 0 không phải là nghiệm của bất phương trình. x = -8 vế trái: 2.(-8) + 1 = -16 + 1 = -15 vế phải: 2.[(-8) + 1] = 2.(-7) = -14 Vì -15 < -14 nên x = -8 không là nghiệm của bất phương trình. b. Ta có: 2x + 1 > 2(x + 2) ⇔ 2x + 1 > 2x + 2 ⇔ 0x > 1 Vậy bất phương trình vô nghiệm. Lời giải: Ta có: 5 + 5x < 5(x + 2) ⇔ 5 + 5x < 5x + 10 ⇔ 5x – 5x < 10 – 5 ⇔ 0x < 5 Bất kì giá trị nào của x cũng thỏa mãn vế trái nhỏ hơn vế phải. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là tập số thực R. a. x < 5 ⇔ (a – b)x < 5(a – b) b. x > 2 ⇔ (a – b)x < 2(a – b) Lời giải: a. Ta có: x < 5 ⇔ (a – b)x < 5(a – b) ⇒ a – b > 0 ⇔ a > b b. Ta có: x > 2 ⇔ (a – b)x < 2(a – b) ⇒ a – b < 0 ⇔ a < b a. 5,2 + 0,3x < – 0,5 b. 1,2 – (2,1 – 0,2x) < 4,4 Lời giải: a. Ta có: 5,2 + 0,3x < – 0,5 ⇔ 0,3x < – 0,5 – 5,2 ⇔ 0,3x < – 5,7 ⇔ x < -19 Vậy số nguyên lớn nhất cần tìm là -20 b. Ta có: 1,2 – (2,1 – 0,2x) < 4,4 ⇔ 1,2 -2,1 + 0,2x < 4,4 ⇔ 0,2x < 4,4 – 1,2 + 2,1 ⇔ 0,2x < 5,3 ⇔ x < 53/2 Vậy số nguyên lớn nhất thỏa mãn điều kiện là số 26. a. 0,2x + 3,2 > 1,5 b. 4,2 – (3 – 0,4x) > 0,1x + 0,5 Lời giải: a. Ta có: 0,2x + 3,2 > 1,5 ⇔ 0,2x > 1,5 – 3,2 ⇔ 0,2x > – 1,7 ⇔ x > – 17/2 Vậy số nguyên bé nhất cần tìm là – 8. b. Ta có: 4,2 – (3 – 0,4x) > 0,1x + 0,5 ⇔ 4,2 – 3 + 0,4x > 0,1x + 0,5 ⇔ 0,4x – 0,1x > 0,5 – 1,2 ⇔ 0,3x > – 0,7 ⇔ x > – 7/3 Vậy số nguyên bé nhất cần tìm là -2. a. x – 3 = 2m + 4 có nghiệm dương? b. 2x – 5 = m + 8 có nghiệm số âm? Lời giải: a. Ta có x – 3 = 2m + 4 ⇔ x = 2m + 4 + 3 ⇔ x = 2m + 7 Phương trình có nghiệm số dương khi 2m + 7 > 0 ⇔ m > – 7/2 b. Ta có: 2x – 5 = m + 8 ⇔ 2x = m + 8 + 5 ⇔ 2x = m + 13 ⇔ x = -(m + 13)/2 Phương trình có nghiệm số âm khi -(m + 13)/2 < 0 ⇔ m + 13 < 0 ⇔ m < -13 a. (x + 2)2 < 2x(x + 2) + 4 b. (x + 2)(x + 4) > (x – 2)(x + 8) + 26 Lời giải: a. Ta có: (x + 2)2 < 2x(x + 2) + 4 ⇔ x2 + 4x + 4 < 2x2 + 4x + 4 ⇔ x2 + 4x – 2x2 – 4x < 4 – 4 ⇔ -x2 < 0 ⇔ x2 > 0 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x ≠ 0} b. Ta có: (x + 2)(x + 4) > (x – 2)(x + 8) + 26 ⇔ x2 + 4x + 2x + 8 > x2 + 8x – 2x – 16 + 26 ⇔ x2 + 6x – x2 < 10 – 8 ⇔ 0x > 2 Vậy bất phương trình vô nghiệm. Lời giải: ⇔ 2 – 4x – 16 < 1 – 5x ⇔ -4x + 5x < 1 – 2 + 16 ⇔ x < 15 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x < 15}
⇔ 3x – 3 – 12 > 4x + 4 + 96 ⇔ 3x – 4x > 4 + 96 + 3 + 12 ⇔ -x > 115 ⇔ x < -115 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x < -115} a. 3(5 – 4n) + (27 + 2n) > 0 b. (n + 2)2 – (n – 3)(n + 3) ≤ 40 Lời giải: a. Ta có: 3(5 – 4n) + (27 + 2n) > 0 ⇔ 15 – 12n + 27 + 2n > 0 ⇔ -10n + 42 > 0 ⇔ -10n > -42 ⇔ n < 4,2 Vậy các số tự nhiên cần tìm là 0; 1; 2; 3; 4. b. Ta có: (n + 2)2 – (n – 3)(n + 3) ≤ 40 ⇔ n2 + 4n + 4 – n2 + 9 ≤ 40 ⇔ 4n < 40 – 13 ⇔ n < 27/4 Vậy các số tự nhiên cần tìm là 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Bất phương trình x – 2 < 1 tương đương với bất phương trình sau: A. x > 3 B. x ≤ 3 C. x−1 >2 D. x – 1 < 2 Lời giải: Chọn D Bất phương trình bậc nhất 2x – 1 > 1 có tập nghiệm biểu diễn bởi hình vẽ sau: Lời giải: Chọn B a. x – 2 = 3m + 4 có nghiệm lớn hơn 3 b. 3 – 2x = m – 5 có nghiệm nhỏ hơn -2 Lời giải: a. x – 2 = 3m + 4 ⇔x = 3m + 6 Phương trình x – 2 = 3m + 4 có nghiệm lớn hơn 3 khi và chỉ khi: 3m + 6 > 3. Giải: 3m + 6 > 3 có m > -1 Vậy với m > -1 thì phương trình ẩn x là x – 2 = 3m + 4 có nghiệm lớn hơn 3. b. Với m > 12 thì phương trình ẩn x là 3 – 2x = m – 5 có nghiệm nhỏ hơn -2 a. 2x + 1 > 3 và |x| > 1 b. 3x – 9 < 0 và x2 < 9 Lời giải: a. Giải bất phương trình 2x + 1 > 3 ta tìm được tập nghiệm là x > 1 Ta kiểm tra được x = -2 là nghiệm của bất phương trình nhưng không là nghiệm của 2x + 1 > 3 (không thuộc tập nghiệm x > 1) Vậy hai bất phương trình 2x + 1 > 3 và |x| > 1 không tương đương. b. Kiểm tra được giá trị x = -4 là nghiệm của 3x – 9 < 0 nhưng không là nghiệm của x2 < 9. |
