Ví dụ về số và chữ số

6. Các phương pháp nghiên cứu

2.3. Các biện pháp rèn luyện kỹ năng năng giải các bài toán về

2.3.3. Tổ chức phân dạng các bài toán về số và chữ số

Từ thực tiễn dạy học, chúng tôi nhận thấy rằng: Tổ chức cho học sinh phân dạng các bài toán về số và chữ số thành các dạng toán nhỏ là một việc làm quan trọng góp phần rèn luyện và phát triển cho học sinh kỹ năng giải các bài toán. Phân dạng các bài toán về số và chữ số thành các dạng toán nhỏ giúp cho học sinh dễ dàng hơn trong việc xác định cách giải, trình bày lời giải và tránh được sự nhầm lẫn trong kiến thức và kỹ năng giải toán.

Tổ chức cho học sinh phân dạng các bài toán về số và chữ số thành các dạng toán khác nhau là biện pháp tích cực góp phần không nhỏ trong việc hình thành cho học sinh các kỹ năng giải toán như: kỹ năng nhận dạng để, xác định và đưa các bài toán về các dạng toán đã biết cách giải; kỹ năng xác định bài toán thuộc dạng toán nào, kỹ năng vận dụng linh hoạt các phép tính, biết phân tích, tổng hợp trong quá trình tìm, xây dựng kế hoạch giải và thực hiện kế hoạch giải toán ;... Thực hiện tốt công việc phân dạng các bài toán thành những dạng nhỏ sẽ giúp cho học sinh xác định được các mức độ bài toán phù hợp với khả năng của mình, những mức độ bài toán cần phải cố gắng để có năng lực giải quyết. Các dạng toán cần được trình bày từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp sao cho phù hợp với trình độ của từng đối tượng học sinh,

mức độ khó nâng dần sẽ góp phần rèn luyện kỹ năng, nâng cao năng lực giải toán cho các em học sinh.

Các dạng toán:

Dạng 1. Các bài toán cơ bản về đọc, viết số tự nhiên

Việc giải các bài toán cơ bản về đọc, viết số tự nhiên nhằm củng cố các kiến thức cơ bản về cấu tạo số tự nhiên, cách đọc viết số, phân tích số theo hàng, giá trị của chữ số trong số cho học sinh dựa trên tương tự hóa:

Ví dụ 2.11. Nối mỗi ô ở cột trái với một ô ở cột phải để được khẳng định đúng:

Ví dụ 2.12. Đọc các số

7 512 836 ; 59 602 511 ; 351 400 307; 400 040 192

Ví dụ 2.13. Viết mỗi số sau thành tổng (theo mẫu): 1253; 8564; 20 472; Mẫu: 1253 = 1000 + 200 + 50 + 3

Ví dụ 2.14.

a. Viết số có ba chữ số mà tổng các chữ số của mỗi số đó bằng 3. Đọc các số vừa viết.

b. Viết số có năm chữ số mà tổng các chữ số của mỗi số đó bằng 3.

Bài giải a. 3 = 3 + 0 + 0 = 2 + 1 + 0 = 1 + 1 + 1 Các số đó là: 300; 210; 201; 120; 102; 111 b. 3 = 3 + 0 + 0 + 0 + 0 = 2 + 1 + 0 + 0 + 0 = 1 + 1 + 1 + 0 + 0 Các số đó là: 30000, 21000, 20100, 20010, 20001. 601601 100000 + 9000 + 100 + 9 810710 109109 150150 100000 + 50000 + 100 + 50 =n 600000 + 1000 + 600 + 1 800000 + 10000 + 700 + 10

Ví dụ2.15. Cho số 1350. Số này sẽ thay đổi thế nào nếu: a. Xóa bỏ chữ số 0

b. Viết thêm một chữ số 3 vào bên phải số đó. c. Đổi chỗ hai chữ số 3 và 5 cho nhau

Bài giải

a. 1350 : 10 = 135. Số đó giảm đi 10 lần

b. 13503 = 1350 × 10 + 3. Số đó sẽ tăng lên 10 lần và cộng thêm 3 đơn vị

c. Số đó sẽ tăng thêm 90 đơn vị (vì 1530 – 1350 = 180).

Ví dụ2.16. Cho số 3748. Số này sẽ thay đổi thế nào nếu: a. Xóa bỏ chữ số 8.

b. Viết thêm hai chữ số 4 vào bên trái số đó

Bài giải

a. 374 = (3748 – 8) : 10. Số đó sẽ bị bớt đi 8 đơn vị rồi giảm đi 10 lần. b. 443746 = 440000 + 3746. Số đó sẽ tăng thêm 440000 đơn vị.

Ví dụ 2.17. Phân tích số thành các chục và đơn vị

Ví dụ 2.18. Viết số thích hợp theo đường mũi tên

Số đơn vị Số chục

Số có hai chữ số

Ví dụ 2.19. Nối các số thích hợp với ô trống (theo mẫu):

Dạng 2.Viết một số tự nhiên từ những chữ số cho trước Bài 2.20. Cho 5 chữ số 0, 1, 2, 5 và 6

Viết được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau từ 5 chữ số đã cho?

Bài giải

Số cần viết có dạng abcde. Lần lượt chọn các chữ số chục nghìn, hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị.

Do a khác 0 nên có 4 cách chọn a (chọn 1 trong các chữ số 1, 2, 5, 6) Sau khi chọn a, chọn chữ số b có 4 cách chọn (chọn 1 trong 4 chữ số

còn lại)

Chọn chữ số hàng trăm có 3 cách (chọn 1 trong 3 chữ số còn lại) Chọn chữ số hàng chục có 2 cách chọn;

Chọn chữ số hàng đơn vị có 1 cách chọn;

Vậy từ các chữ số 0, 1, 2, 5 ,6 viết được số các số thỏa mãn bài ra là : 4 4 3 × 2 1 = 96 (số).

Ví dụ 2.21. Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 8 có thể viết được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 6 chữ số khác nhau?

Bài giải

Gọi số cần tìm là : abcdeg (a0,0a b c d e, , , , 10),

Có 3 cách chọn g (chọn 1 trong 3 chữ số 1, 3, 5 - do yêu cầu số lẻ) Có 5 cách chọn a, (vì đã chọn 1 chữ số ở hàng đơn vị )

Có 4 cách chọn b Có 3 cách chọn c Có 2 cách chọn d

Có 1 cách chọn e Do đó số các số thỏa mãn bài ra là: 3  5  4  3  2  1 = 360 (số) Ví dụ 2.22. Cho dãy số: 1, 2, 3,…, 195 a) Tính tổng các chữ số của dãy. b) Chữ số thứ 195 là chữ số nào? Bài giải

a) Viết lại dãy số: 1,….,9, 10,…, 99, 100, …,195

Trong dãy có 9 số gồm 1 chữ số, các số này cho 9 chữ số 90 số gồm 2 chữ số, các số này cho 2 × 90 = 180 chữ số 96 số gồm 3 chữ số, các số này cho 3 × 96 = 288 chữ số Số chữ số trong dãy là: 9 + 180 + 288 = 477 ( chữ số)

b) Vì 189 <195 < 477, nên chữ số thứ 195 là chữ số thuộc đoạn từ 100 đến 195 đó là chữ số 1.

Ví dụ 2.23. Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hãy lập tất cả các chữ số có 5 chữ số mà ở mỗi số có đủ 5 chữ số đã cho. Tính tổng.

Bài giải:

Chọn chữ số 1 ở hàng chục nghìn ta lập được 24 số.

Tương tự có thể chọn 2; 3 ;4 ;5 làm hàng chục nghìn nên ta lập được: 24 5 = 120 (số). Tổng là: (1 + 2 + 3 + 4 + 5) 10000 24 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) 1000 24 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) 100 24 + ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5) 10 24 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) 1 24 = = ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5) 24 11111 = 15 24 11111 = 3999960. Dạng 3. Tìm chữ số tận cùng Chữ số tận cùng của một tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số hàng đơn vị của các số hàng trong tổng ấy.

Chữ số tận cùng của một tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số hàng đơn vị của các thừa số trong tích ấy.

Tổng 1 + 2 + 3 + ... + 9 có chữ số tận cùng bằng 5. Tích 1 × 3 × 5 × 7 × 9 có chữ số tận cùng bằng 5. Tích a × a không thể có tận cùng bằng 2; 3; 7 hoặc 8.

Ví dụ 2.24. Không làm tính, hãy cho biết chữ số tận cùng của mỗi kết quả sau : a) (1991 + 1992 + ...+ 1999) – (11 + 12 + ...+ 19). b) (1981 + 1982 + ...+ 1989) × (1991 + 1992 +....+ 1999) c) 21 × 23 × 25 × 27 – 11 × 13 × 15 × 17 Bài giải a) Chữ số tận cùng của tổng: (1991 + 1992 + ...+ 1999) và (11 + 12 + ...+ 19) đều bằng chữ số tận cùng của tổng 1 + 2 + 3 + ... + 9 và bằng 5. Cho nên hiệu đó có tận cùng bằng 0.

b) Tương tự phần a, tích đó có tận cùng bằng 5.

c) Chữ số tận cùng của tích 21 × 23 × 25 × 27 và 11 × 13 × 15 × 17 đều bằng chữ số tận cùng của tích 1 × 3 × 5 × 7 và bằng 5. Cho nên hiệu trên có tận cùng bằng 0.

Ví dụ 2.25. Có thể thay a, b trong phép tính sau bởi chữ số thích hợp để được phép tính đúng hay không ? Tại sao ?

a) – = 0.

b) – = 0

c) 8643 = 0.

a) Kết quả – = 0 là sai.

Vì tận cùng là 0 hoặc 1, hoặc 4, hoặc 6 hoặc 9 Các bài b, c kết quả cũng không đúng.

Dạng 4. Viết thêm một số chữ số vào bên trái, bên phải hoặc xen giữa một số tự nhiên

- Khi viết thêm chữ số vào bên trái của một số tự nhiên thì số đó tăng thêm một số đơn vị là: Số cuối - Số ban đầu.

Với những bài toán viết thêm chữ số vào bên trái của một số tự nhiên, ta có thể giải bằng cách phân tích cấu tạo thập phân của số hoặc có thể biến đổi đưa về dạng toán điển hình: Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỷ số của hai số đó.

- Viết thêm chữ số vào bên phải của một số tự nhiên.

Khi thêm chữ số x (hoặc xy, xyz ,…) vào bên phải của một số tự nhiên thì được số mới, số mới này gấp 10 lần (hoặc 100, 1000 lần, …) số ban đầu.

- Khi ta thêm vào giữa các chữ số của một số tự nhiên thì số đó tăng thêm một số đơn vị là: Số mới - Số ban đầu.

Ví dụ 2.26. Khi viết thêm số 12 vào bên trái một số tự nhiên có hai chữ số thì số đó tăng gấp 26 lần . Bài giải Gọi số cần tìm là , ta có = 1200 + = = 1200 Thử lại: 124826 48 (đúng)

Ví dụ 2.27. Khi viết thêm chữ số 2 vào bên phải một số tự nhiên có ba chữ số thì số đó tăng thêm 4106 đơn vị . Tìm số có ba chữ số đó.

Bài giải

Gọi số cần tìm là , ta có =

Dạng 5. Xóa đi một số chữ số của một số tự nhiên

Nhận xét:

- Khi ta xóa đi chữ số ở bên trái của một số tự nhiên thì số đó giảm đi một số đơn vị là: Số ban đầu – Số mới.

- Khi ta xóa đi chữ số x (hoặc xy, xyz, …) ở bên trái của một số tự nhiên thì ta được một số mới, số mới bằng số ban đầu bớt đi x (hoặc xy, xyz, …) đơn vị rồi giảm đi 10 lần (hoặc 100 lần, 1000 lần, …)

- Khi ta xóa chữ số ở hàng bất kì của một số tự nhiên thì số tự nhiên đó giảm đi một số đơn vị là: Số ban đầu – Số mới.

Ví dụ 2.28. Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng nếu xóa chữ số hàng trăm đi thì được số mới giảm đi 7 lần so với số ban đầu.

Bài giải

Gọi số phải tìm là abc, ( 0  a, b, c < 10, a  0). Theo bài ra ta có: abc = 7 bc

a 100 = 6 bc 

a 50 = 3 bc  suy ra a là bội của 3 a = 3, bc = 50

Vậy số phải tìm là 350

Ví dụ 2.29. Tìm số có ba chữ số, biết rằng nếu xóa chữ số hàng trăm của số đó đi ta được số mới, lấy số đã cho chia cho số mới được thương là 3 và số dư là 8.

Bài giải

Với bài toán này, ta có thể giải bằng cách phân tích cấu tạo số sau đó xác định giá trị lớn nhất của một số để lập luận tìm ra giá trị thỏa mãn đề bài như sau:

Gọi số có ba chữ số là abc a( 0,0a b c, , 10) Xóa chữ số hàng trăm ta được số mới là : bc

Theo đề bài ta có: abc 3 bc8

00 3 8 a bc bc 00 2 8 a  bc bc lớn nhất là 99, a00 lớn nhất là 2 99 8  206 Do đó: a < 3. Vậy có thể a = 1 hoặc a = 2. + Nếu a = 1, ta có: bc46 + Nếu a = 2, ta có: bc96

Thử lại:

146  46 = 3 (dư 8) (đúng) 196  96 = 3 (dư 8) (đúng) Vậy số cần tìm là: 146 hoặc 196.

Ví dụ 2.30.

Tổng của hai số là 499. Biết rằng khi xóa bỏ chữ số 4 ở tận cùng bên phải của số lớn ta được số bé. Tìm hai số đó.

Bài giải

Sau khi diễn tả 2 số cần tìm qua các kí hiệu và diễn tả mối quan hệ trong bài toán bằng các đẳng thức toán. Ta có thể đưa về dạng toán điển hình hoặc tiếp tục phân tích cấu tạo số để tìm ra kết quả.

Nếu số lớn là số có bốn chữ số thì tổng hai số lớn hơn 499

Nếu số lớn là số có ba chữ số thì số bé có một chữ số, khi đó tổng hai số đó không thể là 499 được (vì cho dù 94 + 9 = 103 < 499)

Vậy số lớn phải là số có ba chữ số. Gọi số phải tìm là ab4(a0, 0a b, 10) Theo đề bài ta có: Theo bài ra : 4 499 0 495 11 495 495 :11 45 ab ab ab ab ab ab ab         Số lớn là 454 Thử lại: 45 + 454 = 499 (đúng) Vậy hai số cần tìm là: 45 và 454.

Dạng 6. Bài toán về mối quan hệ giữa số tự nhiên và các chữ số tạo thành số tự nhiên đó.

Bài toán về mối quan hệ giữa số tự nhiên và các chữ số tạo thành số tự nhiên đó thường có các trường hợp sau:

- Các bài toán về mối quan hệ giữa số tự nhiên và tổng các chữ số của nó. - Các bài toán về mối quan hệ giữa số tự nhiên và hiệu các chữ số của nó. - Các bài toán về mối quan hệ giữa số tự nhiên và tích các chữ số của nó. - Bài toán về mối quan hệ giữa các chữ số tạo thành số tự nhiên.

Với những bài này ta thường phân tích cấu tạo số sau đó vận dụng dấu hiệu chia hết, cách xác định giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một số hoặc biểu thức chứa chữ… để lập luận tìm ra các chữ số của số cần tìm.

Loại 1. Các bài toán về số tự nhiên và tổng các chữ số của nó

Ví dụ 2.31. Tìm một số có hai chữ số, biết rằng nếu ta đem số đó cộng với tổng các chữ số của nó thì được tổng là 83.

Bài giải

Gọi số phải tìm là ab ( điều kiện 0 a b, 10,a0) Theo bài ra ta có ab + a + b = 83

ab + a + b = a10bab

= a(10 1)b2 = 11ab2 = aa + b2

Do b 220, nên aa lớn hơn 63 nhỏ hơn 83

aa có hai chữ số giống nhau nên aa chỉ có thể là 66 hoặc 77 aa = 66 thì b nhân 2 là 17, b =17 : 2 (loại) aa = 77 : thỏa mãn, b =3 Số cần tìm là 73. Ví dụ 2.32. Tìm số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tổng các chữ số của nó. Bài giải

Gọi số cần tìm , theo bài ra ta có : = (a 0, 0a b, 10) . Vì số cần tìm chia hết cho 5 nên b = 0 hoặc b = 5.

Nếu b = 0 thì a × 10 = 5×a nên a = 0 (loại) Nếu b = 5 thì a × 10 + 5 = 5×a + 25 nên a = 4 Số 45 thỏa mãn bài ra.

Loại 2. Các bài toán về số tự nhiên và hiệu các chữ số của nó

Ví dụ 2.33. Tìm số có hai chữ số, biết rằng số đó chia cho hiệu các chữ số của nó được thương 28 bằng dư 1.

Bài giải

Gọi số cần tìm (a0, 0a b, 10), theo bài ra ta có: ab28C1.

C là hiệu hiệu hai chữ số. Ta thấy C lớn hơn hoặc bằng 1 nhỏ hơn hoặc bằng 3.

Nếu C = 1 thì ab28C 1 29.(loại)

Nếu C = 2 thì ab28C 1 57(thỏa mãn) Nếu C = 3 thì ab28C 1 85(thỏa mãn) Ví dụ 2.34.

Cho một số có ba chữ số. Số đó giảm đi 99 đơn vị nếu viết theo thứ tự ngược lại. Biết tổng ba chữ số của nó bằng 14 và chữ số hàng chục bằng tổng chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị. Tìm số đã cho.

Bài giải

Bài toán có sự thay đổi vị trí các chữ số tạo thành số tự nhiên và mối quan hệ giữa các chữ số đó. Để giải được bài toán này, ta cần xác lập đẳng thức sau đó đưa về bài toán điền chữ số hoặc dạng toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó như sau:

Gọi số cần tìm là abc (a > 0; a, b, c < 10). Số viết theo thứ tự ngược lại là: cba

Theo bài ra, ta có:

abc - cba = 99 và a + b + c = 14 ; b = c + a. Từ đó ta có: a + b + c = 14