Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
Cho hàm số: \[\displaystyle f[x] = {1 \over 3}{x^3} - {1 \over 2}{x^2} - 4x + 6\]
LG a
a] Giải phương trình \[\displaystyle f[\sin x] = 0\]
Phương pháp giải:
+] Tính đạo hàm \[f'[x]\] và \[f''[x].\]
+] Thay \[\sin x\] vào giải phương trình \[f'[\sin x] =0\].
Lời giải chi tiết:
\[\displaystyle f[x] = {1 \over 3}{x^3} - {1 \over 2}{x^2} - 4x + 6\]
\[\displaystyle \Rightarrow f[x] = x^2 x 4\]
\[\displaystyle \Rightarrow f[x] = 2x 1\]
a] Ta có:
\[\displaystyle \eqalign{
& f'[s{\rm{inx}}] = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in x}} - 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in x = }}{{1 \pm \sqrt {17} } \over 2}[1] \cr
& Do{{1 - \sqrt {17} } \over 2} < - 1,{{1 + \sqrt {17} } \over 2} > 1 \cr} \]
Suy ra [1] vô nghiệm.
Cách 2: Đặt \[t=\sin x\],\[ - 1 \le t \le 1\]
Ta có:
\[\displaystyle \eqalign{
& f'[t] = 0 \Leftrightarrow t^2 - t - 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow t= {{1 \pm \sqrt {17} } \over 2}[1] \cr
& Do{{1 - \sqrt {17} } \over 2} < - 1,{{1 + \sqrt {17} } \over 2} > 1 \cr} \]
Suy ra\[\displaystyle f[\sin x] = 0\] vô nghiệm.
LG b
b] Giải phương trình \[\displaystyle f[cos x] = 0\]
Phương pháp giải:
Thay \[\cos x\] vào giải phương trình \[f''[\cos x] =0\].
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\displaystyle \eqalign{
& f''[\cos x] = 0 \Leftrightarrow 2\cos x - 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos x = {1 \over 2} = \cos {\pi \over 3} \cr
& \Leftrightarrow x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi ,k \in\mathbb Z \cr} \]
LG c
c] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \[\displaystyle f[x] = 0\].
Phương pháp giải:
Giải phương trình \[f''[x]=0\] để tìm nghiệm \[x_0.\]
+] Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số theo công thức:\[y = f'\left[ {{x_0}} \right]\left[ {x - {x_0}} \right] + y\left[ {{x_0}} \right].\]
Lời giải chi tiết:
\[f''\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\]
Ta có:
\[\displaystyle \eqalign{
& f'[{1 \over 2}] = {1 \over 4} - {1 \over 2} - 4 = {{ - 17} \over 4} \cr
& f[{1 \over 2}] = {1 \over 3}.{1 \over 8} - {1 \over 2}.{1 \over 4} - 4.{1 \over 2} + 6 = {{47} \over {12}} \cr} \]
Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng:
\[\displaystyle y = {{ - 17} \over 4}[x - {1 \over 2}] + {{47} \over {12}} \] \[\displaystyle \Leftrightarrow y = - {{17} \over 4}x + {{145} \over {24}}\].