Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
- LG e
- LG g
Giải các phương trình sau:
LG a
a] \[{3^{x + 4}} + {\rm{ }}{3.5^{x + 3}} = {\rm{ }}{5^{x + 4}} + {\rm{ }}{3^{x + 3}}\]
Phương pháp giải:
Chuyển vế, đặt nhân tử chung. Đưa về phương trình mũ cơ bản: \[a^x=b\].
Lời giải chi tiết:
\[{3^{x + 4}} + {3.5^{x + 3}} = {5^{x + 4}} + {3^{x + 3}}\] \[ \Leftrightarrow {3^{\left[ {x + 3} \right] + 1}} + {3.5^{x + 3}} - {5^{x + 4}} - {3^{x + 3}} = 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ {{{3.3}^{x + 3}} - {3^{x + 3}}} \right] + \left[ {{{3.5}^{x + 3}} - {5^{x + 4}}} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow {3^{x + 3}}\left[ {3 - 1} \right] + {5^{x + 3}}\left[ {3 - 5} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow {2.3^{x + 3}} - {2.5^{x + 3}} = 0\] \[ \Leftrightarrow {2.3^{x + 3}} = {2.5^{x + 3}}\] \[ \Leftrightarrow {3^{x + 3}} = {5^{x + 3}}\] \[ \Leftrightarrow \dfrac{{{3^{x + 3}}}}{{{5^{x + 3}}}} = 1\] \[\Leftrightarrow {\left[ {\dfrac{3}{5}} \right]^{x + 3}} = 1={\left[ {\dfrac{3}{5}} \right]^{0}}\] \[\Leftrightarrow x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 3\]
Vậy tập nghiệm của phương trình là\[S = \left\{ { - 3} \right\}\].
LG b
b] \[{25^x}-{\rm{ }}{6.5^x} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
Phương pháp giải:
Đặt ẩn phụ \[t=5^x\], đưa về phương trình bậc hai ẩn t.
Lời giải chi tiết:
\[{25^x}-{\rm{ }}{6.5^x} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\] \[\Leftrightarrow {[5^{x}]^2}-{6.5^x} + 5= 0\]
Đặt \[t = 5^x\] [\[t > 0\]].
Phương trình trở thành:
\[{t^2} - 6t + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 5\end{array} \right. \] \[\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}{5^x} = 1\\{5^x} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\]
Vậy tập nghiệm của phương trình là\[S = \left\{ {0;1} \right\}\].
LG c
c] \[{4.9^x} + {\rm{ }}{12^x}-{\rm{ }}{3.16^x} = {\rm{ }}0\]
Phương pháp giải:
Chia phương trình cho \[16^x\]và đặt \[t = {{\left[ \dfrac 3 4 \right]}^x}[t > 0] \].
Lời giải chi tiết:
\[{4.9^x} + {\rm{ }}{12^x}-{\rm{ }}{3.16^x} = {\rm{ }}0\]
Chia cả hai vế của phương trình cho \[16^x>0\] ta được:
\[ \Leftrightarrow 4.\dfrac{{{9^x}}}{{{{16}^x}}} + \dfrac{{{{12}^x}}}{{{{16}^x}}} - 3 = 0\]
\[\Leftrightarrow 4.{\left[ {\dfrac{9}{{16}}} \right]^x} + {\left[ {\dfrac{{12}}{{16}}} \right]^x} - 3 = 0 \]
\[\Leftrightarrow 4.{\left[ {\dfrac{3}{4}} \right]^{2x}} + {\left[ {\dfrac{3}{4}} \right]^x} - 3 = 0\]
Đặt \[t = {\left[ {\dfrac{3}{4}} \right]^x} [t > 0] \]ta được phương trình:
\[4{t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{3}{4}\,\,\,\text {[TM]}\\t = - 1\,\,\text {[Loại]}\end{array} \right. \]\[ \Rightarrow {\left[ {\dfrac{3}{4}} \right]^x} = \dfrac{3}{4} = {\left[ {\dfrac{3}{4}} \right]^1} \Leftrightarrow x = 1\]
Vậy tập nghiệm của phương trình là\[S = \left\{ { 1} \right\}\]
LG d
d] \[{\log_7}\left[ {x - 1} \right]{\log_7}x{\rm{ }} = {\rm{ }}{\log_7}x\]
Phương pháp giải:
Chuyển vế, đặt nhân tử chung.
Lời giải chi tiết:
\[{\log_7}\left[ {x - 1} \right]{\log_7}x{\rm{ }} = {\rm{ }}{\log_7}x\]
Điều kiện:
\[\left\{ \begin{array}{l}
x - 1 > 0\\
x > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 1\\
x > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1\]
\[\eqalign{
& {\log_7}\left[ {x - 1} \right]{\log_7}x = {\log_7}x \cr & \Leftrightarrow {\log_7}\left[ {x - 1} \right].{\log _7}x - {\log _7}x = 0\cr
& \Leftrightarrow {\log _7}x[{\log _7}[x - 1] - 1] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _7}x = 0 \hfill \cr
{\log _7}[x - 1] = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x - 1 = 7 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \,\text {[loại]} \hfill \cr
x = 8\,\text {[TM]} \hfill \cr} \right. \cr}\]
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \[x = 8\]
LG e
e] \[{\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6\]
Phương pháp giải:
Đưa các logarit về cùng cơ số 3, sử dụng công thức cộng các logarit có cùng cơ số:\[{\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}\left[ {xy} \right]\] [Giả sử các biểu thức là có nghĩa].
Lời giải chi tiết:
\[{\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6\]
Điều kiện : \[x > 0\]
Ta có:
\[\eqalign{
& {\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6 \cr}\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\log _3}x + {\log _{{3^{1/2}}}}x + {\log _{{3^{ - 1}}}}x = 6\\
\Leftrightarrow {\log _3}x + 2{\log _3}x - {\log _3}x = 6\\
\Leftrightarrow 2{\log _3}x = 6\\
\Leftrightarrow {\log _3}x = 3\\
\Leftrightarrow x = {3^3} = 27
\end{array}\]
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \[x = 27\]
LG g
g] \[\log {\dfrac {x + 8} {x - 1}} = \log x\]
Phương pháp giải:
Tìm ĐK.
\[\log f\left[ x \right] = \log g\left[ x \right] \Leftrightarrow f\left[ x \right] = g\left[ x \right]\]
Lời giải chi tiết:
\[\log \displaystyle{{x + 8} \over {x - 1}} = \log x\]
Điều kiện: \[\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\dfrac{{x + 8}}{{x - 1}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 8\end{array} \right.\end{array} \right. \] \[\Leftrightarrow x > 1\]
Khi đó \[\log \dfrac{{x + 8}}{{x - 1}} = \log x \Leftrightarrow \dfrac{{x + 8}}{{x - 1}} = x\] \[ \Rightarrow x + 8 = x\left[ {x - 1} \right]\] \[ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4 \,\text {[TM]}\\x = - 2 \,\text {[Loại]}\end{array} \right.\]
Vậy phương trình có nghiệm \[x = 4\].
Chú ý:
Phương trình \[{\log _a}f\left[ x \right] = {\log _a}g\left[ x \right]\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left[ x \right] = g\left[ x \right]\\f\left[ x \right] > 0\end{array} \right.\] hoặc \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left[ x \right] = g\left[ x \right]\\g\left[ x \right] > 0\end{array} \right.\]
Do đó các em chỉ cần giải phương trình \[f\left[ x \right] = g\left[ x \right]\] và giải một trong hai điều kiện \[f\left[ x \right] > 0\] hoặc \[g\left[ x \right] > 0\] [điều kiện nào đơn giản hơn thì ta giải].
Ta có thể trình bày lại câu d như sau:
Ta có:
\[\eqalign{
& \log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x \Leftrightarrow {{x + 8} \over {x - 1}} = x > 0 \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x > 0,x \ne 1 \hfill \cr
{x^2} - 2x - 8 = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow x = 4 \cr} \]
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \[x = 4\]