- LG a
- LG b
Cho \[n\] điểm \[A_1, A_2, ,A_n\]và \[n\] số \[k_1, k_2, ,k_n\]mà \[k_1+ k_2+ +k_n=k \ne 0\].
LG a
Chứng minh rằng có duy nhất một điểm \[G\] sao cho
\[{k_1}\overrightarrow {G{A_1}} + {k_2}\overrightarrow {G{A_2}} + ... + {k_n}\overrightarrow {G{A_n}} = \overrightarrow 0 \].
Điểm \[G\] như thế gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm \[A_i\], gắn với các hệ số \[k_i\]. Trong trường hợp các hệ số \[k_i\]bằng nhau [và do đó có thể xem các \[k_i\]đều bằng 1], thì \[G\] gọi là trọng tân của hệ điểm \[A_i\].
Lời giải chi tiết:
Ta lấy một điểm \[O\] nào đó thì
\[\begin{array}{l}{k_1}\overrightarrow {G{A_1}} + {k_2}\overrightarrow {G{A_2}} + ... + {k_n}\overrightarrow {G{A_n}} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \,\,{k_1}[\overrightarrow {O{A_1}} - \overrightarrow {OG} ] + {k_2}[\overrightarrow {O{A_2}} - \overrightarrow {OG} ] \\+ ... + {k_n}[\overrightarrow {O{A_n}} - \overrightarrow {OG} ] = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {OG} = \dfrac{1}{k}[{k_1}\overrightarrow {O{A_1}} + {k_2}\overrightarrow {O{A_2}} + ... + {k_n}\overrightarrow {O{A_n}} ].\end{array}\]
Vậy điểm \[G\] hoàn toàn xác định và duy nhất.
LG b
Chứng minh rằng nếu \[G\] là tâm tỉ cự nói ở câu a] thì với mọi điểm \[O\] bất kì, ta có
\[\overrightarrow {OG} = \dfrac{1}{k}\left[ {{k_1}\overrightarrow {O{A_1}} + {k_2}\overrightarrow {O{A_2}} + ... + {k_n}\overrightarrow {O{A_n}} } \right]\]
Lời giải chi tiết:
Từ câu a ta suy ra đpcm.