Bài tập chương giới hạn có lời giải năm 2024

+) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: limn→+∞un=0 hay un → 0 khi n → +∞.

+) Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là a (hay vn dần tới a) khi n → +∞ nếu limn→+∞vn−a=0

Kí hiệu: limn→+∞vn=a hay vn → a khi n → +∞.

Một vài giới hạn đặc biệt

1. limn→+∞1n=0,limn→+∞1nk=0 với k nguyên dương;

2. limn→+∞qn nếu |q| < 1;

3. Nếu un = c (c là hằng số) thì limn→+∞un=limn→+∞c=c.

Chú ý: Từ nay về sau thay cho limn→+∞un=a ta viết tắt là lim un = a.

ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

+) Định lí 1

1. Nếu lim un = a và lim vn = b thì

lim (un + vn) = a + b

lim (un – vn) = a – b

lim (un.vn) = a.b

limunvn=ab (nếu b≠0)

Nếu un≥0 với mọi n và limun­ = a thì:

limun=a và a≥0.

TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

S=u1+u2+u3+...+un+...

\=u11−qq<1

GIỚI HẠN VÔ CỰC

1. Định nghĩa

- Ta nói dãy số (un) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim un = +∞ hay un → +∞ khi n → +∞.

- Dãy số (un) có giới hạn là –∞ khi n → +∞, nếu lim (–un) = +∞.

Kí hiệu: lim un = –∞ hay un → –∞ khi n → +∞.

Nhận xét: un = +∞ ⇔ lim(–un) = –∞

2. Một vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau

1. lim nk = +∞ với k nguyên dương;

2. lim qn = +∞ nếu q > 1.

3. Định lí 2

1. Nếu lim un = a và lim vn = ±∞ thì limunvn=0

2. Nếu lim un = a > 0, lim vn = 0 và vn > 0, ∀ n > 0 thì limunvn=+∞

3. Nếu lim un = +∞ và lim vn = a > 0 thì limun.vn=+∞.

GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

1. Định nghĩa

Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K \ {x0}.

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn K \{x0} và xn → x0, ta có f(xn) → L.

Kí hiệu: limx→∞fx=L hay f(x) → L khi x → x0.

Nhận xét: limx→∞x=x0,limx→∞c=c với c là hằng số

2. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1

1. Giả sử limx→x0fx=L và limx→x0gx=M. Khi đó:

limx→x0fx+gx=L+M;limx→x0fx−gx=L−M;limx→x0fx.gx=L.M;limx→x0fxgx=LMM≠0;

2. Nếu fx≥0 và limx→x0fx=L thì L≥0 và limx→x0fx=L.

(Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn với x≠x0).

3. Giới hạn một bên

Định nghĩa 2

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (x0; b).

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → x0, ta có f(xn) → L.

Kí hiệu: limx→x0+fx=L.

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; x0).

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, a < xn < x0 và xn → x0, ta có f(xn) → L.

Kí hiệu: limx→x0−fx=L.

Định lí 2

limx→x0fx=L⇔limx→x0+f(x)=limx→x0−fx=L

GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC

Định nghĩa 3

1. Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → L.

Kí hiệu: limx→+∞fx=L

2. Cho hàm số y = f(x) xác định trên (–∞; a).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → –∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn < a và xn → –∞, ta có f(xn) → L.

Kí hiệu: limx→−∞fx=L

Chú ý:

1. Với c, k là hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:

limx→+∞c=c;limx→−∞c=c;limx→+∞cxk=0;limx→−∞cxk=0.

2. Định lí 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → x0 vẫn còn đúng khi xn → +∞ hoặc x → –∞

GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ

1. Giới hạn vô cực

Định nghĩa 4

Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là –∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → –∞

Kí hiệu: limx→∞fx=−∞

Nhận xét:

limx→+∞fx=+∞⇔limx→+∞−fx=−∞

2. Một vài giới hạn đặc biệt

1. limx→+∞xk=+∞ với k nguyên dương.

2. Nếu k chẵn thì limx→−∞xk=+∞;

Nếu k lẻ thì limx→−∞xk=−∞.

3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực

1. Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)

2. Quy tắc tìm giới hạn của thương fxgx

(Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với x≠x0)

Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp:

x→x0+,x→x0−;x→+∞;x→−∞.

1. Bài tập vận dụng

Bài 1. Chứng minh rằng phương trình x5 – 3x4 + 5x – 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng (-2; 5)

Lời giải

Đặt f(x) = x5 – 3x4 + 5x – 2

f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R.

Ta có:

f(0) = –2 < 0

f(1) = 1 > 0

f(2) = -8 < 0

f(3) = 13 > 0

f(0).f(1) < 0; f(1).f(2) < 0; f(2).f(3) < 0

Phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (0; 1); 1 nghiệm thuộc khoảng (1; 2); 1 nghiệm thuộc khoảng (2; 3)