Bài tập về ước chung lớn nhất lớp 6

Bài viết gồm các bài tập kèm giải chi tiết về ước chung lớn nhất, giúp các em củng cố kiến thức trên lớp

 LUYỆN TẬP

ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT

Câu 1: Tìm ước chung lớn nhất của:

a, 40 và 60

b, 36,60 và 72

c, 13 và 20

d, 28,39 và 35

Lời giải:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{a,{\rm{ }}40{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^3}.5}\\{60{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}.3.5}\\{UCLN\left[ {40;60} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}.5{\rm{ }} = {\rm{ }}20}\\{b,{\rm{ }}36{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}{{.3}^2}}\\{60{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}.3.5}\\{72{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^3}{{.3}^2}}\\{UCLN\left[ {36;60;72} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}.3{\rm{ }} = {\rm{ }}12}\end{array}\]

c, 13 là số nguyên tố nên UCLN[13;20] = 1

\[\begin{array}{*{20}{l}}{d,{\rm{ }}28{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}.17}\\{39{\rm{ }} = {\rm{ }}{{3.1}^3}}\\{35{\rm{ }} = {\rm{ }}5.7}\\{UCLN\left[ {28;39;35} \right] = 1}\end{array}\]

Câu 2: Tìm ước chung lớn nhất rồi tìm các ước chung của 90 và 126

Lời giải:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{90{\rm{ }} = {\rm{ }}{{2.3}^2}.5}\\{126{\rm{ }} = {\rm{ }}{{2.3}^2}.7}\\{UCLN\left[ {90;126} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}{{2.3}^2} = {\rm{ }}18}\\{UC\left[ {90;126} \right]{\rm{ }} = \left\{ {1;2;3;6;9;18} \right\}}\end{array}\]

Câu 3: Tìm số tự nhiên a lớn nhất, biết rằng \[480 \vdots a\] và \[600 \vdots a\]

Lời giải:

Vì \[480 \vdots a\] và \[600 \vdots a\] nên \[a \in UC\left[ {480;{\rm{ }}600} \right]\]

Vì a là số tự nhiên lớn nhấy nên a là UCLN của 480 và 600

Ta có: \[480{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^5}.3.5\]

\[600{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^3}{.3.5^2}\]

\[UCLN\left[ {480;600} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^3}.3.5{\rm{ }} = {\rm{ }}120\]

Vậy a = 120

Câu 4: Hùng muốn cắt một tấm hình chữ nhật có kích thước 60cm và 96cm thành các mảnh nhỏ hình vuông bằng nhau sao cho tấm bìa được cắt hết. Tính độ dài lớn nhất của cạnh hình vuông [số đo của hình vuông nhỏ là một số tự nhiên với đơn vị là xen ti mét]

Lời giải:

Vì tấm bìa được cắt hết nên cạnh của hình vuông là ước chung của chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật. Khi đó độ dài cạnh hình vuông lớn nhất chính là UCLN của chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật. Ta có: \[60{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}.3.5;{\rm{ }}96{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^5}.3\]

\[UCLN\left[ {60;96} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}.3{\rm{ }} = {\rm{ }}12\]

Vậy cạnh hình vuông lớn nhất bằng 12 cm

Câu 5: Tìm số tự nhiên x biết rằng \[126 \vdots x;{\rm{ }}210 \vdots x,15{\rm{ }} < {\rm{ }}x{\rm{ }} < {\rm{ }}30\]

Lời giải:

Vì \[126 \vdots x\] và \[210 \vdots x{\rm{ }}\]nên \[x \in UC\left[ {126;{\rm{ }}210} \right]\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{126{\rm{ }} = {\rm{ }}2.32.7}\\{210{\rm{ }} = {\rm{ }}2.3.5.7}\\{UCLN\left[ {126;210} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}2.3.7{\rm{ }} = {\rm{ }}42}\\{UC\left[ {126;210} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}\left\{ {1;2;3;6;7;14;21;42} \right\}}\end{array}\]

Vì 15 < x < 30 nên x = 21

Câu 6: Ngọc và Minh mỗi người mua một số bút chì màu, trong mỗi hộp đều có từ hai bút trở lên và số bút ở các hộp đều bằng nhau. Tính ra Ngọc mua 20 bút, Minh mua 15 bút. Hỏi mỗi hộp bút chì màu có bao nhiêu chiếc?

Lời giải:

Vì số bút trong mỗi hộp bút bằng nhau và trong mỗi hộp có từ hai nút trở lên nên số bút trong mỗi hộp là ước chung của 20 và 15.

\[\begin{array}{*{20}{l}}{20{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}.5}\\{15{\rm{ }} = {\rm{ }}3.5}\\{UCLN\left[ {20;15} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}5}\\{UC\left[ {20;15} \right] = \left\{ {1;5} \right\}}\end{array}\]

Vì trong mỗi hộp có từ hai bút trở lên nên suy ra mỗi hộp có 5 bút

Câu 7: Một đội y tế có 24 bác sĩ và 108 y tá. Có thể chi đội y tế đó nhiều nhất thành mấy tổ để số bắc sĩ và số y tá được chia đều vào các tổ?

Lời giải:

Số tổ nhiều nhất chính là ước chung lớn nhất của số bác sĩ và y tá.

\[\begin{array}{*{20}{l}}{24{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^3}.3}\\{108{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}{{.3}^3}}\\{UCLN\left[ {24;108} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}.3{\rm{ }} = {\rm{ }}12}\end{array}\]

Vậy có thể chia được nhiều nhất là 12 tổ.

Câu 8: Trong các số sau, hai số nào là hai số nguyên tố cùng nhau?

12; 25; 30; 21

Lời giải:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{12{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}.3}\\{25{\rm{ }} = {\rm{ }}{5^2}}\\{30{\rm{ }} = {\rm{ }}2.3.5}\\{21{\rm{ }} = {\rm{ }}3.7}\end{array}\]

Suy ra: UCLN[12;25] = 1 và UCLN[25;21] =1

Câu 9: Tìm các ước chung của 108 và 180 mà lớn hơn 15.

Lời giải:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{108{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}{{.3}^3}}\\{180{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}{{.3}^2}.5}\\{UCLN\left[ {108;{\rm{ }}180} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}{{.3}^2}\; = {\rm{ }}36}\\{UC\left[ {108;{\rm{ }}180} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}\left\{ {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3;{\rm{ }}4;{\rm{ }}6;{\rm{ }}9;{\rm{ }}12;{\rm{ }}18;{\rm{ }}36} \right\}}\end{array}\]

Suy ra ước chung của 108 và 180 mà lớn hơn 15 là 18 và 36

Câu 10: Cho biết \[b \vdots a.\] Tìm UCLN[a,b], cho ví dụ

Lời giải:

Vì \[b \vdots a.\] nên UCLN [a,b] = a

Ví dụ: \[16 \vdots 9\]

UCLN[8;16] = 8

Câu 11: Trong một buổi liên hoan, ban tổ chức đã mua 96 cái kẹo, 36 cái bánh và chia đều ra các đĩa, mỗi đĩa gồ cả keo và bánh. Có thể chia được nhiều nhất thành bao nhiêu đĩa, mỗi đĩa bao nhiêu cái kẹo bao nhiêu cái bánh?

Lời giải:

Vì số kẹo và bánh được chi đều ra các đĩa nên số đĩa là ước chung của số kẹo và bánh

\[\begin{array}{*{20}{l}}{96{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^5}.3}\\{36{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}{{.3}^2}}\\{UCLN\left[ {96;36} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}12}\end{array}\]

Vậy có thể chia được nhiều nhất 12 đĩa

Số kẹo trong một đĩa là: 96 : 12 = 8 cái

Số bánh trong một đĩa là: 36 : 12 = 3 cái

Câu 12: Lớp 6A có 54 học sinh, lớp 6B có 42 học sinh, lớp 6C có 48 học sinh. Trong ngày khai giảng, ba lớp cùng xếp thành một số hàng dọc như nhau để diễu hành mà không lớp nào có người lẻ hàng. Tính số hàng dọc nhiều nhất đê có thể xếp được.

Lời giải:

Vì số học sinh xếp đủ nên số hàng dọc là ước chung của số học sinh 3 lớp

Số hàng dọc nhiều nhất cũng là ước chung lớn nhất của số học sinh ba lớp

Ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{54{\rm{ }} = {\rm{ }}{{2.3}^{3\;}};{\rm{ }}42{\rm{ }} = {\rm{ }}2.3.7;{\rm{ }}48{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^4}.3}\\{UCLN\left[ {54;{\rm{ }}42;{\rm{ }}48} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}2.3{\rm{ }} = {\rm{ }}6}\end{array}\]

Vậy số hàng dọc nhiều nhất xếp được là 6 hàng

Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách [Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều]. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

1. Bài tập về ƯCLN

1.1. Để tìm ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số, có thể áp dụng quy tắc gồm ba bước sau:

• Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
• Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
• Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN cần tìm.

Ngoài ra có thể sử dụng nhận xét sau để tính nhanh gọn hơn:

+ Nếu a chia hết cho b thì ƯCLN[a; b] = b.

+ Nếu a chia cho b dư r [tức là a = bq + r, r < b] thì ƯCLN[a; b] = ƯCLN[b; r] [thuật toán Ơclit]

Thật vậy nếu d là ƯC[a; b] thì a $\vdots $ d, b $\vdots $ d nên bq = r $\vdots $ d hay a $\vdots $ d.

Suy ra d là ƯC[b; r]

Ngược lại, nếu d là ƯC[b; r] thì r $\vdots $ d, b $\vdots $ d nên bq + r $\vdots $ d hay a $\vdots $ d

Suy ra d là ƯC[a; b].

Ví dụ ƯCLN [2010; 1990] = ƯCLN[1990; 20] = ƯCLN[20;10] = 10.

1.2. ƯC[a; b; c] luôn là ước số của ƯCLN[a; b; c]. Để tìm ƯC[a; b; c], ta nên:

• Tìm ƯCLN [a; b; c] = d
• Tìm Ư[d] = ƯC[a; b; c]

Ví dụ 1: Tìm ƯCLN của:

a] 32 và 80                         b] 16, 32 và 128                            c] 2009 và 3000

Hướng dẫn:

Cách 1: Ta sử dụng quy tắc ba bước để tìm ƯCLN

a] 32 = $2^{5}$, 80 = $2^{4}$.5 nên ƯCLN[32; 80] = $2^{4}$ = 16

b] 16 = $2^{4}$ ; 32 = $2^{5}$ ; 128 = $2^{7}$ nên ƯCLN[16 ; 32 ; 128] = $2^{4}$ = 16

c] 3000 = $2^{3}$.$5^{3}$.3; 2009 là số nguyên tố nên ƯCLN[3000 ; 2009] = 1

Cách 2: Vận dụng nhận xét ƯCLN[a; b] = ƯCLN[b ; r] với r là số dư khi chia a cho b

a] ƯCLN[32; 80] = ƯCLN[32; 16] = 16

b] ƯCLN [16; 32 ; 128] - ƯCLN [16; 0; 0] = 16

c] ƯCLN[2009; 3000] = ƯCLN[2009; 991] = ƯCLN[991; 27] = ƯCLN[27; 19] = 1

2. Bài tập về BC, BCNN

Phương pháp giải:

- Để chứng tỏ m $\in $ BC [a; b; c] cần chỉ ra m đều chia hết cho a , b , c.

- Để chứng tỏ m $\notin $ BC [a; b; c] cần chỉ ra có ít nhất một trong ba số a, b, c không là ước của m.

- Trong thực tế, bài toán về tính số học sinh, tính lịch trực nhật, số cây trồng đều liên quan đến tìm bội chung.

- BC [a ; b; c] là bội số của BCNN [a; b; c] 

Vậy để tìm BC [a; b; c] ta làm như sau:

• Tìm BCNN[a; b; c] = n
• BC[a; b; c] = {kn | k$\in $ N}

Ví dụ 2: 

a. Số 88 có là bội chung của 22 và 40 không? Vì sao?

b. Số 124 có là bội chung của 31, 62 và 4 không? Vì sao?

Hướng dẫn:

a. Do 88 không chia hết cho 40 nên 88 không là bội chung của 22 và 40

b. Do 124 = 4.31 = 2.62 nên 124 chia hết cho 4, 31, 62. Vậy 124 là bội chung của 31, 62 và 4.

3. Bài tập về quan hệ giữa ước chung, bội chung, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất.

Phương pháp giải:

Kí hiệu d $\in $ ƯC[a; b], e = ƯCLN[a; b], m $\in $ BC[a ; b], n = BCNN[a; b] thì 

$d\leq e\leq m\leq n$

$m \vdots n; n\vdots e; e \vdots d$

e.n = ƯCLN[a; b]. BCNN[a; b] = a.b               [1]

Đặc biệt, nếu ƯCLN[a; b] = 1 thì BCNN[a ; b] = a.b

Ví dụ 3: Tìm hai số tự nhiên a, b biết rằng : ƯCLN[a; b] = 3 và BCNN[a; b] = 90

Hướng dẫn: 

 ƯCLN[a; b] = 3 suy ra ƯCLN[$\frac{a}{3}; \frac{b}{3}$] = 1 và áp dụng công thức [1], ta được :

a.b = ƯCLN[a; b].BCNN[a; b] = 3.90 = 270, suy ra $\frac{a}{3}.\frac{b}{3}=30$

Viết 30 thành tích của hai số nguyên tố cùng nhau ta có:

30 = 1.30 = 2.15 = 3.10 = 5.6. Ta có bảng: