Cách xác định hàm số liên tục trên R
Show
Hàm số liên tục là một trong những mảng kiến thức quan trọng của Giải tích, trong bài này chúng tôi xin giới thiệu tóm tắt lý thuyết về hàm số liên tục và các dạng toán liên quan. Xem thêm: 1. Tóm tắt lý thuyết hàm số liên tục1.1. Hàm số liên tục tại một điểmCho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng \((a;b)\) và \(x_0\) thuộc \( (a;b) \). Hàm số \(f(x)\) liên tục tại \( x_0 \) khi và chỉ khi $$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f({{x}_{0}})$$ Hàm số không liên tục tại \( x_0 \) còn có thể gọi là hàm số gián đoạn tại \( x_0 \). Giả sử các hàm số \( y = f(x), y = g(x) \) liên tục tại điểm \( x_0 \). Khi đó:
1.2. Hàm số liên tục trên một khoảng
1.3. Hàm số liên tục trên một đoạnHàm số \( y = f(x) \) liên tục trên đoạn \( [a;b] \) khi và chỉ khi nó liên tục trên khoảng \( (a;b) \) và 1.4. Các hàm số liên tục thường gặp
1.5. Ứng dụng của hàm số liên tục
2. Các ví dụ và dạng toán về hàm số liên tụcDạng 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm cụ thểĐể xét tính liên tục của hàm số \( y = f(x) \) tại điểm \( x_0 \) ta thực hiện các bước:
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số $$f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} – 3x + 2}}& &\text{nếu }x \ne 1\\ – 3& &\text{nếu }x = 1 \end{array} \right.$$ tại \( x = 1 \). Hướng dẫn.
Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số $$f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} – 3x + 2}} &\text{nếu }\,x \ne 1\\ 2x+5 &\text{nếu }x = 1 \end{array} \right.$$ tại \( x = 1 \). Hướng dẫn.
Ví dụ 3. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: $$f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} – 3x + 2}}& &\text{nếu }\,x > 1\,\,\,\,\,\,\\ 1& &\text{nếu }\,\,x \le 1 \end{array} \right.$$ tại điểm \( x = 1 \). Hướng dẫn. Khác với ví dụ trước, ở đây chúng ta cần đi tính giới hạn trái và giới hạn phải tại $x=1$.
Ta thấy \( \lim\limits_{x\to 1^+}f(x)\ne \lim\limits_{x\to 1^-}f(x) \) nên suy ra hàm số đã cho gián đoạn tại \(x=1\). Ví dụ 4. Xét tính liên tục của hàm số \[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2x + \frac{1}{4}}&{{\rm{khi }}\,\,x < 0}\\ 2&{{\rm{khi }}\,\,x = 0}\\ {\dfrac{{\sqrt {x + 4} – 2}}{x}}&{{\rm{khi }}\,\,x > 0} \end{array}} \right.\] tại điểm \( x = 0 \). Hướng dẫn. Chúng ta đi tính và so sánh giá trị, giới hạn trái, giới hạn phải của hàm số tại điểm \( x = 0\).
Chúng ta thấy, \( \lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}f(x) \) nhưng lại khác \(f(0)\) nên suy ra hàm số không liên tục tại điểm \( x = 0 \). Dạng 2. Xét tính liên tục, chứng minh hàm số liên tục trên một khoảng đoạn hoặc tập xác địnhVí dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số \[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{x^2} + 5x}}{x}}&{{\text{khi }}x \ne 0}\\ 5&{{\text{khi }}x = 0} \end{array}} \right.\] trên \(R\). Hướng dẫn. Rõ ràng khi \(x\ne0\) thì hàm số đã cho là hàm phân thức và hoàn toàn xác định nên nó liên tục trên từng khoảng \( (-\infty;0) \) và \( (0;+\infty) \).
Do đó, chúng ta chỉ cần xét tính liên tục của hàm số tại \(x=0\). Chúng ta có:
Ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = f(0)\) nên hàm số đã cho liên tục tại \(x=0\). Tóm lại, hàm số đã cho liên tục trên toàn bộ tập \(R\). Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số\[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x – 1}&{{\text{khi }}x < 0}\\ {\sqrt x }&{{\text{khi }}x \ge 0} \end{array}} \right.\] trên tập xác định. Hướng dẫn. Chúng ta có ngay tập xác định của hàm số là \(R\).
Do đó, chúng ta chỉ xét tính liên tục của hàm số tại điểm \( x=0 \) nữa là có thể kết luận. Tại \( x=0 \) thì \[\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt x = 0\\ f(0) = 0\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \left( {2x – 1} \right) = – 1 \end{array}\] Rõ ràng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = f(0) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f(x)\) nên hàm số gián đoạn tại \( x=0 \). Tóm lại, hàm số đã cho không liên tục trên tập xác định. Dạng 3. Tìm điều kiện để hàm số liên tục tại một điểmVí dụ 1. Tìm \( m \) để hàm số $$f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} – 3x + 2}}& &\text{nếu }x \ne 1\\ – 3mx – 1& &\text{nếu }x = 1 \end{array} \right.$$ liên tục tại điểm \( x = 1 \). Hướng dẫn.
Vậy giá trị m cần tìm của \( m \) là \( -3 \). Dạng 4. Tìm điều kiện để hàm số liên tục trên một khoảng đoạn hoặc tập xác định.Ví dụ. Tìm \( m \) để hàm số sau liên tục trên tập xác định của nó:
Tóm lại, giá trị cần tìm là \( m = – \frac{4}{3} \). Dạng 5. Ứng dụng hàm số liên tục chứng minh phương trình có nghiệmVí dụ 1. Chứng minh phương trình \( 3{x^3} + 2x – 2 = 0 \) có nghiệm trong khoảng \( \left( {0;1} \right) \). Hướng dẫn.
Suy ra tồn tại ít nhất một số \( c \) trong khoảng \( (0;1) \) sao cho \( f(c) = 0 \), nghĩa là phương trình \( f(x)=0 \) có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \( \left( {0;1} \right) \). Ví dụ 2. Chứng minh phương trình \( 2{x^3} – 6{x^2} + 5 = 0 \) có ba nghiệm trong khoảng \( \left( { – 1;3} \right) \). Hướng dẫn.
Kết luận, phương trìn có ba nghiệm trong khoảng \( \left( { – 1;3} \right) \). Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình \( a{x^2} + bx + c = 0 \) luôn có nghiệm trong đoạn \( \left[ {0;\frac{1}{3}} \right] \) với mọi \( a \ne 0 \) và \( 2a + 6b + 19c = 0 \). Hướng dẫn. Hàm số \( f(x) = a{x^2} + bx + c \) liên tục trên \( \mathbb{R} \) nên cũng liên tục trên đoạn \( \left[ {0;\frac{1}{3}} \right] \). Ta có $$ f(0) = c, f(\frac{1}{3}) = \frac{1}{9}(a + 3b + 9c) $$ Suy ra $f(0) + 18f(\frac{1}{3}) = 2a + 6b + 19c = 0 $ nên $$ f(0) =-18f(\frac{1}{3}) $$ Như vậy, chúng ta thấy
Tóm lại, phương trình đã cho luôn có nghiệm trong đoạn \( \left[ {0;\frac{1}{3}} \right] \) với mọi \( a \ne 0 \) và \( 2a + 6b + 19c = 0 \). 3. Bài tập hàm số liên tụcBài 1. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: a) $f(x)=\left\{ \begin{align} & \frac{x+3}{x-1}& \text{ khi }\,\,x\ne 1 \\ & -1& \text{ khi }\,\,x=1 \\ \end{align} \right.$ tại $x=-1$ b) $f(x)\,\,=\,\,\left\{ \begin{align} & \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}\,\,\,& \text{ khi }\,x\ne 1\,\,\,\,\,\, \\ & \frac{1}{4}& \text{ khi }\,\,x=1 \\ \end{align} \right.$ tại $x=1$ c) $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{2 – 7x + 5{x^2} – {x^3}}}{{{x^2} – 3x + 2}}}&{{\rm{khi }}{\mkern 1mu} x \ne 2{\mkern 1mu} }\\ 1&{{\text{khi }} x = 2} \end{array}} \right. $ tại $x=2$ d) $f(x)\,=\,\left\{ \begin{align} & \frac{x-5}{\sqrt{2x-1}-3}\,\,& \text{ khi }\,\,x>5 \\ & {{(x-5)}^{2}}+3\,\,\,\,\,& \text{ khi }\,x\le \,\,5 \\ \end{align} \right.$ tại $x=5$ e) $f(x)\,\,=\,\,\left\{ \begin{align} & 1-\cos x& \text{ khi }\,x\le 0 \\ & \sqrt{x+1}& \text{ khi }\,\,x>0 \\ \end{align} \right.$ tại $x=0$ f) $f(x)=\left\{ \begin{align} & \frac{x-1}{\sqrt{2-x}-1}& \text{ khi }\,\,x<1 \\ & -2x& \text{ khi }\,\,x\ge 1 \\ \end{align} \right.$ tại $x=1$ Bài 2. Tìm $m, n$ để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra: a) $f(x)=\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}& \text{ khi }\,\,x<1 \\ & 2mx-3& \text{ khi }\,\,x\ge 1 \\ \end{align} \right.$ tại $x=1$ b) $f(x)=\left\{ \begin{align} & \frac{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2x-2}{x-1}& \text{ khi }\,\,x\ne 1 \\ & 3x+m& \text{ khi }\,\,x=1 \\ \end{align} \right.$ tại $x=1$ c) $f(x)=\left\{ \begin{align} & m& \text{ khi }\,\,x=0 \\ & \frac{{{x}^{2}}-x-6}{x(x-3)}& \text{ khi }\,\,x\ne 0,x\ne 3 \\ & n& \text{ khi }\,\,x=3 \\ \end{align} \right.$ tại $x=0$ và $x=3$ d) $f(x)=\left\{ \begin{align} & \frac{{{x}^{2}}-x-2}{x-2}& \text{ khi }\,\,x\ne 2 \\ & m& \text{ khi }\,\,x=2 \\ \end{align} \right.$ tại $x=2$ Bài 3. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng: a) $f(x)\,\,=\,\,\left\{ \begin{align} & \frac{{{x}^{3}}+x+2}{{{x}^{3}}+1}& \text{ khi }\,\,x\ne -1 \\ & \frac{4}{3}& \text{ khi }\,\,x=-1 \\ \end{align} \right.$ b) $f(x)=\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}-3x+4& \text{ khi }\,\,x<2 \\ & 5& \text{ khi }\,\,x=2 \\ & 2x+1& \text{ khi }\,\,x>2 \\ \end{align} \right.$ c) $f(x)=\left\{ \begin{align} & \frac{{{x}^{2}}-4}{x+2}& \text{ khi }\,\,x\ne -2 \\ & -4& \text{ khi }\,\,x=-2 \\ \end{align} \right.$ d) $f(x)=\left\{ \begin{align} & \frac{{{x}^{2}}-2}{x-\sqrt{2}}& \text{ khi }\,\,x\ne \sqrt{2} \\ & 2\sqrt{2}& \text{ khi }\,\,x=\sqrt{2} \\ \end{align} \right.$ Bài 4. Tìm các giá trị của tham số \(m\) để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng: a) $f(x)=\left\{ \begin{align} & \frac{{{x}^{2}}-x-2}{x-2}& \text{ khi }\,\,x\ne 2 \\ & m& \text{ khi }\,\,x=2 \\ \end{align} \right.$ b) $f(x)=\left\{ \begin{align} &{{x}^{2}}+x& \text{ khi }\,\,x<1 \\ &2& \text{ khi }\,\,x=1 \\ &mx+1& \text{ khi }\,\,x>1 \\ \end{align} \right.$ c) $f(x)=\left\{ \begin{align} &\frac{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2x-2}{x-1}&\text{ khi }\,\,x\ne 1 \\ &3x+m & \text{ khi }\,\,x=1 \\ \end{align} \right.$ d) $f(x)=\left\{ \begin{align} &{{x}^{2}}& \text{ khi }\,\,x<1 \\ &2mx-3& \text{ khi }\,\,x\ge 1 \\ \end{align} \right.$ Bài 5. Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: a) ${{x}^{3}}-3x+1=0$ b) ${{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+9x+1=0$ c) $2x+6\sqrt[3]{1-x}=3$ Bài 6. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm: a) ${{x}^{5}}-3x+3=0$ b) ${{x}^{5}}+x-1=0$ c) ${{x}^{4}}+{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x+1=0$ Bài 7. Chứng minh rằng phương trình: ${{x}^{5}}-5{{x}^{3}}+4x-1=0$ có 5 nghiệm trên khoảng \( (-2; 2) \). Bài 8. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số: a) $m{{(x-1)}^{3}}(x-2)+2x-3=0$ b) ${{x}^{4}}+m{{x}^{2}}-2mx-2=0$ c) $a(x-b)(x-c)+b(x-c)(x-a)+c(x-a)(x-b)=0$ d) $(1-{{m}^{2}}){{(x+1)}^{3}}+{{x}^{2}}-x-3=0$ e) $\cos x+m\cos 2x=0$ f) $m(2\cos x-\sqrt{2})=2\sin 5x+1$ Bài 9. Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm: a) $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ với $2a + 3b + 6c = 0$ b) $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ với \( a + 2b + 5c = 0 \) c) ${{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c=0$ Bài 10. Chứng minh rằng phương trình: $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ luôn có nghiệm \( x \) thuộc $\left[ 0;\frac{1}{3} \right]$ với \( a \ne 0 \) và \( 2a + 6b + 19c = 0 \). |