Thể tích khối nón có bán kính đáy \[r\], độ dài đường sinh \[l\] là:
Thể tích khối nón có bán kính đáy \[r = 2cm\] và \[h = 3cm\] là:
Trong toán học, công thức tính diện tích xung quanh hình nón hay các công thức liên quan đến hình nón là những công thức cơ bản được sử dụng khá thường xuyên. Bài viết hôm nay, chúng tôi sẽ mang đến cho bạn đọc công thức tính diện tích xung quanh hình nón và các nội dung liên quan.
Hình nón là gì?
Trước khi tìm hiểu công thức tính diện tích xung quanh hình nón, chúng ta cùng tìm hiểu hình nón là gì nhé.
Trong Toán học, hình nón là hình hình học không gian ba chiều đặc biệt có bề mặt phẳng và bề mặt cong hướng về phía trên. Đầu nhọn của hình nón được gọi là đỉnh, bề mặt phẳng được gọi là đáy.
Trong thực tế, bạn có thể bắt gặp những vật dụng có dạng hình nón như là chiếc nón lá, cây kem, chiếc mũ sinh nhật,…
Hình nón có ba thuộc tính chính gồm:
+ Có một đỉnh hình tam giác.
+ Một mặt tròn gọi là đáy hình nón.
+ Đặc biệt nó không có bất kỳ cạnh nào.
+ Chiều cao [h] – Chiều cao là khoảng cách từ tâm của vòng tròn đến đỉnh của hình nón. Hình tạo bởi đường cao và bán kính trong hình nón là một tam giác vuông.
Ở trên chúng ta đã tìm hiểu về khái niệm hình nón. Vậy công thức tính diện tích xung quanh hình nón như thế nào?
Diện tích xung quanh hình nón chỉ bao gồm diện tích mặt xung quanh, bao quanh hình nón, không gồm diện tích đáy.
Công thức tính diện tích xung quanh hình nón được tính như sau:
Sxung quanh = π.r.l
Trong đó:
– Sxung quanh là diện tích xung quanh hình nón;
– r là bán kính đáy hình nón;
– l là độ dài đường sinh hình nón.
Được biểu diễn bằng lời như sau: Diện tích xung quanh hình nón bằng tích của Pi [π] nhân với bán kính đáy hình nón nhân với đường sinh hình nón.
Hoặc tính với công thức sau: “Công thức tính diện tích xung quanh bằng một nửa tích của chu vi đường tròn đáy và độ dài đường sinh”. Bởi lẽ, π.r chính là nửa chu vi đường tròn.
Như vậy, chúng ta đã biết được công thức tính diện tích xung quanh hình nón rồi. Hãy áp dụng thật chính xác tránh bị sai sót đáng tiếc nhé.
Công thức liên quan trong hình nón
Nội dung bài viết này, ngoài cung cấp công thức tính diện tích xung quanh hình nón, người viết sẽ cung cấp thêm công thức kiên quan trong hình nón như: Diện tích toàn phần, thể tích của hình nón để bạn đọc có thể làm được tất cả các dạng toán liên quan đến hình nón.
Diện tích hình nón thường được nhắc đến với hai khái niệm: diện tích xung quanh và diện tích toàn phần. Diện tích xung quanh chúng ta đã tìm hiểu ở phần trên nên phần này chúng ta chỉ tìm hiểu diện tích toàn phần.
Công thức tính diện tích toàn phần hình nón
Diện tích toàn phần của hình nón được tính là độ lớn của toàn bộ không gian hình chiếm giữ, bao gồm cả diện tích xung quanh và diện tích đáy tròn. Hay công thức tính diện tích toàn phần bằng diện tích xung quanh cộng với diện tích của đáy.
Cụ thể như sau:
Stoàn phần = Sxung quanh + Sđáy = π.r.l + π.r2
Thể tích hình nón
Thể tích hình nón là lượng không gian mà hình nón chiếm.
Công thức tính thể tích hình nón bằng diện tích của mặt đáy nhân với chiều cao.
Cụ thể như sau: Vhình nón = . π.r2.h
Trong đó:
V là thể tích hình nón;
π: là hằng số Pi = 3,14;
r: Bán kính đáy hình tròn;
h: Đường cao hạ từ đỉnh xuống đáy hình nón;
Cách xác định đường sinh, đường cao và bán kính đáy của hình nón
– Đường cao là khoảng cách từ tâm mặt đáy đến đỉnh của hình chóp.
– Đường sinh là khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ trên đường tròn đáy đến đỉnh của hình chóp.
Do hình nón được tạo thành khi quay một tam giác vuông quanh trục một cạnh góc vuông của nó một vòng, nên có thể coi đường cao và bán kính đáy là 2 cạnh góc vuông của tam giác, còn đường sinh là cạnh huyền.
Do đó, khi biết đường cao và bán kính đáy, ta có thể tính được đường sinh bằng công thức: l = r2 + h2
Biết bán kính và đường sinh, ta tính đường cao theo công thức: h = l2 – r2
Biết được đường cao và đường sinh, ta tính bán kính đáy theo công thức: r = l2 – h2
Như vậy, bạn có thể sử dụng các cách xác định trên để áp dụng được công thức tính diện tích xung quanh hình nón nhé.
Một số ví dụ sử dụng công thức tính diện tích xung quanh hình nón
Ví dụ 1: Một hình nón có bán kính 3cm và chiều cao 5cm, tìm diện tích xung quanh của hình nón.
Đề bài đã cho biết bán kính và chiều cao hình nón, tuy nhiên để tính được diện tích xung quanh hình nón ta cần tìm độ dài đường sinh.
Độ dài đường sinh bằng tổng bình phương độ dài đường cao cộng với bình phương bán kính. Hay nói cách khác ta áp dụng định lý pitago để tìm giá trị đường sinh trong hình nón bất kỳ. Ta sẽ tìm được l = 5.83 cm
Áp dụng công thức diện tích xung quanh hình nón đã đề cập ở trên ta có:
Sxung quanh = π.r.l = π.3.5,83 = 54,95 cm2
Ví dụ 2: Cho biết diện tích toàn phần hình nón là 375 cm. Nếu đường sinh của nó gấp bốn lần bán kính, thì đường kính cơ sở của hình nón là bao nhiêu? Sử dụng π = 3
Hướng dẫn giải như sau:
Theo đề bài: l = 4r và π = 3
Diện tích toàn phần hình nón là 375 cm2 nên ta có: 3 × r × 4 r + 3 × r2 = 375
12r2 + 3r2 = 375
15r2 = 375
=> r = 5
Vậy bán kính mặt đáy hình nón là 5 => Đường kính mặt nón là 5.2 = 10 cm.
Trên đây là công thức diện tích xung quanh hình nón và các công thức liên quan trong hình nón. Tùy vào dữ liệu bài toàn cho như thế nào mà các bạn sẽ tùy biến để tìm được kết quả chính xác.
1. Lý thuyết về mặt cầu ngoại tiếp hình nón
Một mặt cầu gọi là ngoại tiếp một hình nón nếu mặt cầu đó đi qua đỉnh của hình nón và đi qua đường tròn đáy của hình nón . Hình nón như vậy gọi là nội tiếp mặt cầu đó.
Lý thuyết:Xét mặt cắt qua trục, ta đưa về bài toán tam giác nội tiếp đường tròn
Bài toán:Gọi R, r, h lần lượt là bán kính mặt cầu, bán kính đáy và chiều cao hình nón
2. Ví dụ bài tập mặt cầu ngoại tiếp hình nón
Bài 1. Một mặt cầu gọi là ngoại tiếp một hình nón nếu mặt cầu đó đi qua đỉnh của hình nón và đi qua đường tròn đáy của hình nón. Hình nón như vậy gọi là nội tiếp mặt cầu đó.
a] Chứng minh rằng mọi hình nón đều có mặt cầu ngoại tiếp duy nhất.
b] Một hình nón có chiều caohvà bán kính đáy bằngr. Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó.
c] Cho hình nón nội tiếp mặt cầu bán kínhR. Nếu hình nón đó có chiều cao bằnghthì bán kính đáy của nó bằng bao nhiêu? Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.
Lời giải:
a]
Hình nón[N]có đỉnhSvà đường tròn đáy là[O;r]. Lấy điểmMtrên[O;r]thìΔSOMvuông tạiO.
SOlà trục của đường tròn[O;r]nênIlà tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình nón khi và chỉ khiIthuộcSOvà cách đều hai điểmS,M. VậyIlà giao điểm củaSOvới mặt phẳng trung trực củaSM. Mặt cầu tâmIbán kínhR=ISlà mặt cầu ngoại tiếp duy nhất.
b]
Kẻ đường kínhSS′của mặt cầu ngoại tiếp hình nón[SS′>h]
ΔMSS′vuông tạiMcó đường caoMO=r.
Ta có:
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón là
c] Nếu hình nón có chiều caoh, bán kính đáy làrnội tiếp mặt cầu bán kínhRthì theo câu b] ta có hệ thức
Bài 2: Cho hình nón [N] có bán kính đáy bằng 6, chiều cao bằng 8. Biết rằng có một mặt cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón, đồng thời tiếp xúc với mặt đáy của hình nón. Tìm bán kính của mặt cầu đó
A. 4 B. 2 C. 6 D. 3
Lời giải
Hình nón ngoại tiếp hình cầu⇒
Chọn D.
Bài 3: Cho khối cầu tâm O, bán kính R =2. Mặt phẳng [P] cách O một khoảng x cắt khối cầu theo một hình tròn [C]. Một khối nón [N] có đỉnh thuộc mặt cầu, đáy là hình tròn [C]. Biết khối nón [N] có thể tích lớn nhất, khi đó giá trị của x bằng bao nhiêu ?
Lời giải
Bài 4: Cho hình nón tròn xoay [N] có đỉnh là S, có đáy là đường tròn tâm O bán kính R. Đường cao SO = h. Tính chiều cao x của hình trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp hình nón đã cho ?
Lời giải