Dạng toán viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Tiếp tuyến của đường tròn ((C) : (x-a)^{2} + (y-b)^{2Lambda } = R^{2}) tại điểm (M_{0}(x_{0},y_{0})) thuộc đường tròn (C) có phương trình:

((x – a)(x_{0}- a) + (y – b)(y_{0}- b) = R^{2})

Nếu phương trình đường tròn (C) được biểu diễn dưới dạng:

(x^{2}+y^{2}-2ax-2by+c=0) thì phương trình tiếp tuyến đường tròn (C) là:

(xx_{0}+yy_{0}-a(x+x_{0})-b(y+y_{0})+c=0)

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của của đường tròn (C) tại điểm M(3;4) biết đường tròn có phương trình là: ((x−1)^{2}+(y−2)^{2}=8)

Hướng dẫn:

Đường tròn (C) có tâm là điểm I(1;2) và bán kính (R=sqrt{8})

Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M(3;4) là: (3−1)(x−3)+(4−2)(y−4)=0

(Leftrightarrow) 2x+2y−14=0

Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn ((C) : x^{2} + y^{2} +2x – 4y – 4 = 0) tại điểm (M_{0}(-1;5))

Hướng dẫn:

Dễ thấy phương trình đường tròn (C) được biểu diễn thành:

(x^{2} + y^{2} – 2.(-1).x – 2.2.y = 0)

(Rightarrow) phương trình tiếp tuyến là:

(x.(-1) + y.5 – (-1).(x – 1) – 2.(y + 5) – 4 = 0)

(Leftrightarrow -x + 5y + x – 1 – 2y – 10 – 4 = 0)

(Leftrightarrow y = 5)

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi qua một điểm nằm ngoài đường tròn

Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và điểm (M(x_{0},y_{0})) nằm ngoài đường tròn (C). Đường thẳng (Delta) đi qua M là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi: (d(I,Delta ) = R)

Cách làm: Viết phương trình của đường (Delta) đi qua (M(x_{0},y_{0}))

(y – y_{0} = m(x – x_{0}) Leftrightarrow mx – y – mx_{0} + y_{0} = 0) (1)

Cho khoảng cách từ tâm I của đường tròn (C) tới (Delta) bằng R

(d(I,Delta )=R)

Ta tính được m, thay m vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến.

Bạn đang xem: Viết phương trình tiếp tuyến của Đường tròn và các dạng bài tập

Chú ý: Ta luôn luôn tìm được hai đường tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước nằm ngoài đường tròn.

Xem thêm: Hướng Dẫn Đổi Dấu Phẩy Thành Dấu Chấm Trong Excel, Cách Chuyển Dấu Phẩy Thành Dấu Chấm Trên Excel

Phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng có hệ số góc k

Cho đường tròn (C) viết tiếp tuyến (Delta) của (C) biết tiếp tuyến song song với một đường thẳng có hệ số góc k.

Cách làm: Phương trình của đường thẳng (Delta) có dạng:

y = kx + m (m chưa biết)

(Leftrightarrow kx – y + m = 0)

Cho khoảng cách từ tâm I đến (Delta) bằng R: (d(I,Delta )=R) ta tìm được m.

Thay m vừa tìm được vào phương trình y = kx + m ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Trên đây là tổng hợp cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn của danangmoment.com, nếu có thắc mắc hay băn khoăn các bạn bình luận bên dưới chúng mình sẽ giải đáp ạ! Cảm ơn các bạn, nếu thấy hay thì chia sẻ với bạn bè nhé!

Bài viết này mình sẽ giới thiệu với các bạn những dạng bài tập phương trình tiếp tuyến của đường tròn cơ bản nhất. Mình sẽ đưa ra phương pháp giải cho từng dạng cụ thể và áp dụng ngay vào bài tập

Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc đường tròn. Ta dùng công thức:

– Nếu phương trình đường tròn là: $(x – a)^2+(y – b)^2= R^2$ thì phương trình tiếp tuyến là:

$(x_0 – a)(x- x_0) + (y_0 – b)(y- y_0) = 0$ với tâm $I(a;b)$

Dạng 2: Tiếp tuyến vẽ từ một điểm $I(x_0, y_0)$  cho trước ở ngoài đường tròn.

Viết phương trình của đường thẳng d qua $I(x_0, y_0)$:

$y – y_0= m(x – x_0)\Leftrightarrow mx – y – mx_0+ y_0= 0$        (1)

Cho khoảng cách từ tâm I của đường tròn (C) tới đường thẳng d bằng R, ta tính được m; thay m vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến.

* Ghi chú: Ta luôn luôn tìm được hai đường tiếp tuyến.

Dạng 3: Tiếp tuyến d song song với một đường thẳng có hệ số góc k.

Phương trình của đường thẳng d có dạng:

$y = kx + m$ (m chưa biết) $\Leftrightarrow kx – y + m = 0$

Cho khoảng cách từ tâm I đến d bằng R, ta tìm được m.

Bài tập phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Bài tập 1: Viết phương trình tiếp tuyến của của đường tròn (C) tại điểm $M(3;4)$ biết đường tròn có phương trình là: $(x-1)^2+(y-2)^2=8$

Hướng dẫn:

Đường tròn (C) có tâm là điểm $I(1;2)$ và bán kính $R=\sqrt{8}$

Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm $M(3;4)$ là:

$(3-1)(x-3)+(4-2)(y-4)=0$

$\Leftrightarrow 2x+2y-14=0$

Tham khảo thêm bài giảng:

Bài tập 2: Cho đường tròn (C) có phương trình: $x^2+y^2-4x+8y+18=0$

a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua $A(1;-3)$

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua $B(1;1)$

c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng có phương trình $3x-4y+5=0$

Hướng dẫn:

Các bạn hoàn toàn xác định được tâm $I(2;-4)$ và bán kính $R=\sqrt{2}$

a. Với ý này trước tiên các bạn cần kiếm tra xem điểm $A(1;-3)$ có thuộc đường tròn (C) hay không? Nếu thuộc thì quy về bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại tiếp điểm, ngược lại ta thì ta có lời giải khác.

Các bạn thay tọa độ của điểm $A(1;-3)$ vào phương trình đường tròn (C) thấy thỏa mãn. Do đó điểm $A$ sẽ thuộc đường tròn (C).

Vậy phương trình tiếp tuyến đi qua $A$ có dạng là:

$1.x-3y-2(x+1)+4(y-3)+18=0$

$\Leftrightarrow x-y-4=0$

b. Các bạn thay tọa độ của điểm $B$ vào phương trình đường tròn (C) thì thấy không thỏa mãn. Do đó điểm B không thuộc đường tròn (C). Khi điểm $B$ không thuộc đường tròn (C) thì ta không sử dụng cách trên được. Vậy ta phải tiến hành ra sao? các bạn theo dõi tiếp.

Trước tiên các bạn gọi phương trình đường thẳng đi qua điểm $B(1;1)$ với hệ số góc $k$ là $\Delta$: $y=k(x-1)+1\Leftrightarrow kx-y-k+1=0$

Để đường thẳng $\Delta$ là tiếp tuyến của dường tròn (C) thì khoảng cách từ tâm $I$ tới đường thẳng $\Delta$ phải bằng bán kính $R$.

Ta có: $d_{(I,\Delta)}=R$

$\Leftrightarrow \frac{|2k+4-k+1|}{\sqrt{k^2+1}}=\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow |k+5|=\sqrt{2(k^2+1)}$

$\Leftrightarrow k^2+10k+25=2k^2+2$

$\Leftrightarrow k^2-10k-23=0$

$\Leftrightarrow k=5-4\sqrt{3}$ hoặc $k=5+4\sqrt{3}$

+. Với $ k=5-4\sqrt{3}$ ta có phương trình tiếp của (C) là: $y=(5-4\sqrt{3})x-5+4\sqrt{3}+1\Leftrightarrow y=(5-4\sqrt{3})x-4+4\sqrt{3}$

+. Với $ k=5+4\sqrt{3}$ ta có phương trình tiếp của (C) là: $y=(5+4\sqrt{3})x-5-4\sqrt{3}+1\Leftrightarrow y=(5-4\sqrt{3})x-4-4\sqrt{3}$

c. Ở ý này liên quan tới đường thẳng vuông góc, tiện đây mình sẽ nói luôn cả về đường thẳng song song liên quan tới hệ số góc.

Cho hai đường thẳng $d_1; d_2$ lần lượt có hệ số góc là: $k_1; k_2$

+. Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì hai hệ số góc bằng nhau, tức là: $k_1=k_2$

+. Nếu hai đường thẳng vuông góc với nhau thì tích hai hệ số góc bằng $-1$, tức là: $k_1.k_2=-1$

Quay trở lại và áp dụng vào bài toán này thì tiếp tuyến cần tìm vuông góc với đường thẳng $3x-4y+5=0$. Đường thẳng này có hệ số góc là $\frac{3}{4}$. Vậy phương trình tiếp tuyến sẽ có hệ số góc là $-\frac{4}{3}$

Gọi phương trình tiếp tuyến là $\Delta$ có dạng: $y=-\frac{4}{3}x+m\Leftrightarrow 4x+3y-3m=0$

Vì đường thẳng $\Delta$ là tiếp tuyến của đường tròn (C) nên ta có:

$d_{(I,\Delta)}=R$

$\Leftrightarrow \frac{|4.2+3(-4)-3m|}{\sqrt{25}}=\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow |-3m-4|=5\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow 9m^2+24m-34=0$

$\Leftrightarrow m=\frac{-4+5\sqrt{2}}{3}$ hoặc $m=\frac{-4-5\sqrt{2}}{3}$

Với $ m=\frac{-4+5\sqrt{2}}{3}$ thì phương trình tiếp tuyến là: $y=-\frac{4}{3}x+\frac{-4+5\sqrt{2}}{3}$

Với $m=\frac{-4-5\sqrt{2}}{3}$ thì phương trình tiếp tuyến là: $y=-\frac{4}{3}x+\frac{-4-5\sqrt{2}}{3}$

Trên đây là một số dạng bài tập phương trình tiếp tuyến các bạn có thể gặp. Nếu bạn thấy bài viết hay thì hãy chia sẻ tới bạn bè của mình, commnent trong khung bên dưới để bày tỏ ý kiến của bạn.

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.

Nội dung bài viết Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm. Viết phương trình tiếp tuyến (∆) của đường tròn (C) tâm I(a, b), tại điểm M(x0, y0) thuộc (C). Ta có IM = (x0 − a; y0 − b) là véc-tơ pháp tuyến của ∆. Do đó ∆ có phương trình là (x0 − a)(x − x0) + (y0 − b)(y − y0) = 0. BÀI TẬP DẠNG 3. Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x − 2)2 + (y + 3)2 = 5 tại điểm M(3; −1). Lời giải. Đường tròn (C) có tâm I(2; −3). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(3; −1) là: (3 − 2)(x − 3) + (−1 + 3)(y + 1) = 0 ⇔ x + 2y − 1 = 0. Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(3; −1) là x + 2y − 1 = 0. Ví dụ 2. Cho đường tròn (Cm): x2 + y2 + 2(m − 1)x − 2my − 4 = 0. Biết rằng khi m thay đổi, đường tròn (Cm) luôn đi qua điểm I cố định có hoành độ dương. Tìm giá trị của m sao cho tiếp tuyến của đường tròn (Cm) tại I song song với (d): x − 2y − 1 = 0. Lời giải. Giả sử đường tròn (Cm) luôn đi qua điểm I(x0; y0) cố định khi m thay đổi. Khi đó ta có x2 + y2 + 2(m − 1)x0 − 2my0 − 4 = 0 với mọi m ⇔ m(2×0 − 2y0) + x2 + y ⇔ x0 = y0 = −1, x0 = y0 = 2. Vậy ta có điểm I(2; 2). Đường tròn (Cm) có tâm J(1 − m; m). Véc-tơ pháp tuyến của tiếp tuyến của (Cm) tại I là IJ = (−m − 1; m − 2). Để tiếp tuyến tại I song song với (d): x − 2y − 1 = 0 thì tồn tại k sao cho: IJ = k(1; −2) ⇔ −m − 1 = k, m − 2 = −2k ⇔ m = −4, k = 3. Vậy m = −4 thỏa mãn yêu cầu đề bài. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyển của đường tròn (C): (x + 2)2 + (y − 3)2 = 5 tại điểm M(−1; 1). Lời giải. Đường tròn (C) có tâm I(−2; 3). Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M(−1; 1) là 1(x + 1) − 2(y − 1) = 0 hay x − 2y + 3 = 0. Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x2 + y2 − 2x = 0 tại điểm M(1; 1). Đường tròn (C) có tâm I(1; 0). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(1; 1) là y = 1. Bài 3. Cho đường tròn (C): x2 + y2 − 2x − 4y + 1 = 0 và đường thẳng (∆): y − x + 1 = 0. Gọi M, N là giao điểm của (C) và (∆). Tìm tọa độ giao điểm của tiếp tuyến của đường tròn (C) kẻ tại M, N. Tọa độ M, N là giao điểm của hệ phương trình sau y − x + 1 = 0, x2 + y2 − 2x − 4y + 1 = 0 ⇔ y = x − 2y2 − 4y = 0 ⇔ x = 1; y = 0, x = 3; y = 2. Không mất tổng quát, ta giả sử M(1; 0) và N(3; 2). Đường tròn (C) có tâm I(1; 2). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là y = 0. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại N là x = 3. Tọa độ giao điểm của hai tiếp tuyến là nghiệm của hệ phương trình y = 0, x = 3. Vậy tọa độ giao điểm của hai tiếp tuyến là A(3; 0).

Bài 4. Cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 + 2x − 2y − 3 = 0 và (C2): x2 + y2 − 4x − 14y + 33 = 0. a) Chứng minh rằng (C1) và (C2) tiếp xúc với nhau. b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại tiếp điểm. a) Đường tròn (C1) có tâm I(−1; 1) và bán kính R1 = √5. Đường tròn (C2) có tâm J(2; 7) và bán kính R2 = 2√5. Ta có IJ = (2 + 1)2 + (7 − 1)2 = 3√5 = R1 + R2. Do đó (C1) tiếp xúc ngoài với (C2). b) Gọi M là tiếp điểm của (C1) và (C2). Khi đó ta có IJ = 3 IM ⇒ OM = OJ + OI. Suy ra M (0; 3) ⇒ IM = (1; 2). Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại M là x + 2(y − 3) = 0 hay x + 2y − 6 = 0. Bài 5. Cho đường tròn (Cm): x2 + y2 − (m − 2)x + 2my − 1 = 0. a) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường tròn (Cm) luôn đi qua điểm cố định. b) Gọi I là điểm cố định ở câu trên sao cho I có hoành độ âm. Tìm m sao cho tiếp tuyến của đường tròn (Cm) tại I song song với đường thẳng (d): x + 2y = 0.