Đề bài
Cho phương trình \[{x^2} - 2[m + 1]x + 2m + 1 = 0\]
a] Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m.
b] Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn \[{x_1}^2 + 2[m + 1]{x_2} + 2m - 3 = 0\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a]Để chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m ta chứng minh cho \[\Delta \left[ {\Delta '} \right] \ge 0,\forall m\]
b] Áp dụng hệ thức Viet \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\] vào ta tìm được m.
Lời giải chi tiết
a] Ta có:
\[\begin{array}{l}a = 1;b' = - \left[ {m + 1} \right];c = 2m + 1;\\\Delta ' = {\left[ {m + 1} \right]^2} - \left[ {2m + 1} \right] \\\;\;\;\;\;= {m^2} + 2m + 1 - 2m - 1\\\;\;\;\;\; = {m^2} \ge 0,\forall m\end{array}\]
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m.
b] Áp dụng hệ thức Viet cho phương trình bậc hai ta có: \[{x_1} + {x_2} = 2\left[ {m + 1} \right];{x_1}{x_2} = 2m + 1\]
Do x1; x2 là hai nghiệm của phương trình nên ta có:
\[{x_1}^2 - 2[m + 1]{x_1} + 2m + 1 = 0\]
\[\Rightarrow {x_1}^2 = 2\left[ {m + 1} \right]{x_1} - 2m - 1\]
Thay vào đề ta có:
\[\begin{array}{l}2\left[ {m + 1} \right]{x_1} - 2m - 1 + 2[m + 1]{x_2} + 2m - 3 = 0\\ \Leftrightarrow 2\left[ {m + 1} \right]\left[ {{x_1} + {x_2}} \right] - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {m + 1} \right]\left[ {{x_1} + {x_2}} \right] - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {m + 1} \right].2.\left[ {m + 1} \right] - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {m + 1} \right]^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = 1\\m + 1 = - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - 2\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy \[m = 0\] hoặc \[m = - 2\] thỏa mãn yêu cầu bài toán.