Đề bài
Cho đường tròn tâm \[O\] bán kính \[R\] và điểm \[M\] ở ngoài đường tròn đó. Qua điểm \[M\] kẻ hai tiếp tuyến \[MA,\] \[MB\] và cát tuyến \[MCD\] với đường tròn \[[O],\] trong đó điểm \[C\] ở giữa hai điểm \[M, D.\] Đường thẳng qua điểm \[C\] và vuông góc với \[OA\] cắt \[AB\] tại \[H.\] Gọi \[I\] là trung điểm của dây \[CD.\] Chứng minh \[HI\] song song với \[AD.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
+] Trong một đường tròn, đường kính đi trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
+] Các đỉnh của một đa giác cùng nhìn một cạnh dưới một góc vuông thì đa giác đó nội tiếp.
+] Trong một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Xét đường tròn \[[O]\] có \[MA OA\] [tính chất tiếp tuyến]
\[ \Rightarrow \widehat {MAO} = 90^\circ \]
\[MB OB\] [tính chất tiếp tuyến]
\[ \Rightarrow \widehat {MBO} = 90^\circ \]
Lại có I là trung điểm dây CD [gt] nên \[IC = ID\]
\[ \Rightarrow OI CD\] [đường kính đi qua điểm chính giữa của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó]
\[ \Rightarrow \widehat {MIO} = 90^\circ \]
Từ đó: \[A, B, I\] nhìn \[MO\] cố định dưới một góc bằng \[90^\circ \] nên \[A, B, I\] nằm trên đường tròn bán kính \[MO.\]
\[ \Rightarrow \widehat {AMI} = \widehat {ABI}\] [Hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \[AOI\]]
Lại có \[ CH {AO}\]\[\;\; [gt]\] mà\[MA OA\] [chứng minh trên]
Suy ra: \[CH // MA\]
Do đó: \[\widehat {AMI} = \widehat {HCI}\] [hai góc đồng vị]
Suy ra: \[\widehat {HCI} = \widehat {ABI}\] \[[=\widehat {AMI}]\] hay \[\widehat {HCI} = \widehat {HBI}\]
Do đó \[B\] và \[C\] cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa đường \[HI\] tạo với \[HI\] một góc bằng nhau nên tứ giác \[BCHI\] nội tiếp.
\[ \Rightarrow \widehat {CBH} = \widehat {CIH}\] [hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \[\overparen{CH}\]] hay \[\widehat {CBA} = \widehat {CIH}\]\[\; [1]\]
Trong đường tròn \[[O]\] ta có:
\[\widehat {CBA} = \widehat {CDA}\] [\[2\] góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \[\overparen{AC}]\] \[[2]\]
Từ \[[1]\] và \[[2]\] suy ra: \[\widehat {CIH} = \widehat {CDA}\] nên \[HI // AD\] [vì có cặp góc ở vị trí đồng vị bằng nhau]
[Trường hợp cát tuyến đi qua tâm thì ngũ giác \[MAOIB\] suy biến thành tứ giác \[MAOB\] chứng minh tương tự ta có \[HO // AD\]].