Đề bài
Cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c. Gọi S là diện tích và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, chứng minh công thức \[S = \dfrac{{abc}}{{4R}}\] .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+]Đặt \[AB = c;\,\,AC = b;\,\,BC = a\]. Vẽ đường kính AD và \[AH \bot BC\,\,\left[ {H \in BC} \right]\].
+] Chứng minh , từ đó tính AH theo a, b, c, R.
+] Sử dụng công thức tính diện tích \[{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC\].
Lời giải chi tiết
Đặt \[AB = c;\,\,AC = b;\,\,BC = a\]. Vẽ đường kính AD và \[AH \bot BC\,\,\left[ {H \in BC} \right]\].
Ta có \[\widehat {ACD}\] là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \[ \Rightarrow \widehat {ACD} = {90^0}\].
Xét \[\Delta ABH\] và \[\Delta ADC\] có:
\[\widehat {AHB} = \widehat {ACD} = {90^0}\];
\[\widehat {ABH} = \widehat {ADC}\] [hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC];
\[ \Rightarrow \Delta ABH \sim \Delta ADC\,\,\left[ {g.g} \right] \]
\[\Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AC}} = \dfrac{{AB}}{{AD}}\]
\[\Rightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{AD}} = \dfrac{{bc}}{{2R}}\]
Khi đó ta có: \[{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}\dfrac{{bc}}{{2R}}.a = \dfrac{{abc}}{{4R}}\] [đpcm].