Đề bài
Cho phương trình bậc hai với m là tham số \[{x^2} + 2x + m = 0\]
a] Tìm m để phương trình có nghiệm
b] Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm.
c] Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 2x2 = 5.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Phương trình có nghiệm khi \[\Delta \ge 0\left[ {\Delta ' \ge 0} \right]\]
b] Phương trình có hai nghiệm cùng âm khi \[\left\{ \begin{array}{l}\Delta \ge 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.\]
c] Áp dụng hệ thức Viet cho phương trình bậc hai \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\] sau đó kết hợp với yêu cầu bài toán để tìm ra m.
Lời giải chi tiết
\[{x^2} + 2x + m = 0\]
a] Phương trình có nghiệm khi \[\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow 1 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 1\]
b] Với \[m \le 1\] thì phương trình có 2 nghiệm
Phương trình có 2 nghiệm cùng âm khi \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} < 0\\{x_1}.{x_2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 < 0\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0\]
Kết hợp với điều kiện phương trình có 2 nghiệm ta được: \[0 < m \le 1\]
c]
Áp dụng hệ thức Viet cho phương trình bậc hai \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\,\,\,\left[ 2 \right]\\{x_1}{x_2} = m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 3 \right]\end{array} \right.\]
Kết hợp \[{x_1} - 2{x_2} = 5 \Leftrightarrow {x_1} = 5 + 2{x_2}\]
Thay vào [2] ta được:
\[5 + 2{x_2} + {x_2} = - 2\]
\[\Leftrightarrow 3{x_2} = - 7\]
\[\Leftrightarrow {x_2} = - \dfrac{7}{3}\]
\[\Rightarrow {x_1} = 5 + 2.\left[ { - \dfrac{7}{3}} \right] = \dfrac{1}{3}\]
Thay x1, x2 vào [3] ta được: \[\dfrac{1}{3}.\left[ { - \dfrac{7}{3}} \right] = m \Leftrightarrow m = \dfrac{{ - 7}}{9}\]