Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] có \[AB < AC.\] Tia phân giác của góc \[A\] cắt \[BC\] ở \[D.\] So sánh các độ dài \[BD, DC.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Trên cạnh \[AC\] lấy điểm \[E\] sao cho \[AE = AB\]
Sử dụng:
+] Tính chất hai tam giác bằng nhau
+] Trong một tam giác, góc ngoài tại một đỉnh lớn hơn góc trong tại đỉnh không kề với đỉnh đó.
+] Trong một tam giác, đối diện vớigóc lớn hơn là cạnh lớn hơn.
Lời giải chi tiết
Trên cạnh \[AC\] lấy điểm \[E\] sao cho \[AE = AB\]
Vì \[AB < AC\] nên \[AE < AC\]
Suy ra \[E\] nằm giữa \[A\] và \[C\]
Xét\[ABD\]và\[AED\] ta có:
+] \[AB = AE\][theo cách vẽ]
+] \[\widehat {BA{\rm{D}}} = \widehat {E{\rm{AD}}}\] [vì AD là phân giác góc BAC]
+] \[AD\]cạnh chung
Do đó:\[ABD = AED\][c.g.c]
Suy ra\[BD = DE\][2 cạnh tương ứng]
và \[ \widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {A{\rm{ED}}}\][2 góc tương ứng]
Mà: \[\widehat {AB{\rm{D}}} + \widehat {{B_1}} = 180^\circ \][2 góc kề bù]
\[\widehat {A{\rm{ED}}} + \widehat {{E_1}} = 180^\circ \][2 góc kề bù]
Suy ra: \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{E_1}}\]
Trong \[ABC\]ta có \[\widehat {{B_1}}\]là góc ngoài tại đỉnh\[B.\]
\[ \Rightarrow \widehat {{B_1}} > \widehat C\][góc ngoài tại một đỉnh của tam giác lớn hơn góc trong không kề với đỉnh đó]
Suy ra: \[\widehat {{E_1}} > \widehat C\]
Trong \[DEC\] ta có:\[\widehat {{E_1}} > \widehat C\]
\[ \Rightarrow DC > DE\] [cạnh đối diện góc lớn hơn là cạnh lớn hơn] mà \[DE=BD\] [chứng minh trên]
Suy ra:\[BD < DC.\]