Giải toán hình học phẳng bằng phương pháp tọa độ

Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu Một số phương pháp giải bài toán hình học tọa độ phẳng Oxy của tác giả Bùi Thế Việt.

Phần 1 : Vecto, tích vô hướng và ứng dụng chứng minh tính chất hình học.

Vậy phương pháp chứng minh tính chất hình học của chúng ta là: 

Cố gắng đưa dữ kiện cần phải chứng minh dưới dạng vecto. Tách vecto thành tổng các vecto thành phần rồi sử dụng tích vô hướng hoặc các

tính chất của vecto để giải quyết bài toán.

Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (I): (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25. Điểm H(2; -5) và K(-1;-1) lần lượt là chân các đường cao hạ từ đỉnh B và C đến các cạnh tam giác. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C của tam giác biết A có hoành độ dương. (THPT Chuyên Sơn La – Sơn La – lần 3 – 2016)

Nhận xét : Qua hai cách làm, chúng ta thấy rằng : Chứng minh bằng kiến thức hình học THCS trông gọn và đẹp hơn nhiều so với cách 1 sử dụng vecto và tích vô hướng. Tuy nhiên, không phải ai cũng nghĩ tới việc kẻ thêm đường kẻ phụ Am như trên. Cái đó phụ thuộc vào tư duy hình học và cả kinh nghiệm làm bài. Cách giải bằng vecto và tích vô hướng tuy không tự nhiên bằng nhưng chắc chắn sau khi biến đổi, vấn đề của bài toán luôn được chứng minh mặc dù có thể lời giải không được đẹp cho lắm.

Tải tại đây.

THEO THUVIENTOAN.NET

A.ĐẶT VẤN ĐỀ Một trong các nhiệm vụ của dạy học hình học 10 chương trình THPT là dạycho học sinh biết sử dụng phương pháp toạ độ trong mặt phẳng vào giải toánhình học. Tuy nhiên, nếu chỉ dừng lại ở những bài toán thuần tuý chỉ dùng các biểuthức toạ độ, các biến đổi phương trình, các công thức tính toán thì việc họchình học như thế sẽ kém thú vị ! Ta biết rằng có rất nhiều bài toán hình học phải giải quyết rất phức tạp,trong khi hầu hết các bài toán dạng toạ độ học sinh đều có hướng giải. Nhưvậy nếu ta chuyển đổi bài toán hình học về bài toán toạ độ thì việc giải toánhình học trở nên đơn giản hơn. Bởi vậy sau khi trang bị cho học sinh các kiếnthức về toạ độ, phương trình chúng ta nên cho học sinh vận dụng linh hoạt,sáng tạo vào các hình qua các bài toán cụ thể. Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinhcó thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Việchướng dẫn học sinh biết cách chuyển đổi ngôn ngữ toán hoc là việc làm cầnthiết, thường xuyên của người thầy, có tác dụng phát triển tư duy cho họcsinh, đáp ứng yêu cầu của chương trình mới. Trong đề tài này chủ yếu được đề cập đến vấn đề: “Sử dụng phươngpháp toạ độ trong phẳng vào giải toán hình học” nhằm bồi dưỡng cho họcsinh cách thức nhìn nhận các bài toán theo nhiều góc độ khác nhau, tạo cơ hộicho học sinh củng cố các phương pháp khác nhau giải toán hình học, đồngthời thực hiện ý tưởng góp phần bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy biệnchứng, nhìn nhận vấn đề trong mối liên quan tương hỗ lẫn nhau. Vấn đề tôiđưa ra ở đây cũng là một cơ sở cho các em học sinh sau này lên lớp 12 tiếpcận một bài toán lớn: “sử dụng phương pháp toạ độ giải quyết các bài toánhình học không gian”.1B.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀI. Cơ sở lý luận của vấn đềMột trong những vấn đề cơ bản của đổi mới chương trình GDPT là đổimới phương pháp dạy học, trong đó có đổi mới phương pháp dạy học môntoán. Việc đổi mới phương pháp dạy học môn toán hiện nay là nhằm phát huytính tích cực của học sinh qua đó khai thác vận dụng những khả năng vốn cóvà phát huy trí lực của học sinh. Để tiếp cận vấn đề trong đề tài này yêu cầu học sinh phải có tính sáng tạo,tích cực, biết cách nhìn nhận bài toán theo các góc độ khác nhau: bài toánhình học thuần tuý và hình ảnh của nó khi gắn vào hệ trục toạ độ. Qua đó pháthuy tư duy tổng hợp, nhằm hướng tới mục tiêu giáo dục toàn diện cho họcsinh.II.Thực trạng của vấn đề1.Về phía học sinh a.Thuận lợi Năm học này tôi được nhà trường giao nhiệm vụ giảng dạy lớp 10A6 và10A4 là lớp học theo chương trình nâng cao các môn KHTN, vì thế mà đaphần học sinh cũng có được lượng kiến thức khá. Các em có khả năng tiếp thuvấn đề ở dạng tổng quát và nhiều góc độ. Học sinh có khả năng chuyển đổicác loại ngôn ngữ khác nhau của bài toán. b. Khó khăn Đa phần học sinh đều có cảm giác sợ khi đứng trước các bài toán hình họcngay cả với các em có học lực khá, giỏi. Các em gần như không có địnhhướng, không nghĩ ra phương pháp giải cho bài toán cụ thể.2. Về phía giáo viên Do chương trình SGK không đề cập đến vấn đề chuyển đổi các bài toánhình học thuần tuý sang bài toán sử dụng phương pháp toạ độ, nên đa phầngiáo viên không đưa vấn đề này vào việc bồi dưỡng thêm cho học sinh. 2 Bản thân tôi đã đứng lớp nhiều năm, nhận thấy việc giải quyết bài toán hìnhhọc bằng phương pháp toạ độ là cách giải quyết rất hiệu quả. Vấn đề là phảihướng dẫn cho học sinh kỹ năng chuyển đổi bài toán. Thực tế ta thấy vấn đềnày sẽ còn được sử dụng khá hiệu quả khi các em học lớp 12 trong phần hìnhhọc không gian. III. Giải pháp và tổ chức thưc hiện 1. Các giải pháp thực hiện- Giáo viên hướng dẫn học sinh tiếp cận “dấu hiệu” để chọn hệ trục toạ độ.- Giáo viên ra đề bài cụ thể và hướng dẫn các em suy nghĩ để phát hiện “điểmmấu chốt” của bài toán và chọn điểm trùng với gốc toạ độ. - Các bài toán được đưa ra với mức độ khó tăng dần. Ban đầu để các em tiếpcận với kỹ năng chọn hệ trục, sau đó yêu cầu được tăng dần đến việc phải suyluận để lựa chọn hệ trục phù hợp.2.Các biện pháp để tổ chức thực hiện- Đặt vấn đề cho cả lớp suy nghĩ.- Đại diện nhóm trình bày suy luận để tìm ra “điểm mấu chốt” của bài toán. - Có thể có nhiều hướng suy luận khác nhau, giáo viên sẽ phân tích cho họcsinh hiểu nên lựa chọn theo hướng nào thì thuận lợi cho bài toán. Sau khi phân tích cho học sinh nắm bắt được yêu cầu và hướng giải quyếtcủa bài toán, ta thực hiện theo các bước sau để giải quyết vấn đề: Bước 1: Thực hiện phép toạ độ hoá các điểm trong hình, chuyển bài toán đãcho về bài toán hình giải tích. Bước 2: Giải bài toán hình giải tích vừa thu được. Bước 3: Chuyển các kết luận của bài toán hình học giải tích sang các tínhchất hình học tương ứng.3.Kiến thức chuẩn bị a.Về kỹ năng- Tìm ra “hai đường thẳng cơ sở” có quan hệ vuông góc với nhau.3- Xác định được “ điểm mấu chốt” của bài toán là giao của hai đường vuônggóc nào đó.- Có thể bài toán có nhiều điểm là giao của hai đường vuông góc nhưng taphải phân tích để lựa chọn điểm phù hợp, sao cho việc tìm toạ độ của cácđiểm còn lại trong hình dễ dàng hơn, vấn đề cần giải quyết hiệu quả hơn.b.Kiến thức yêu cầu - Sử dụng kiến thức về toạ độ trong mặt phẳng.- Phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn, phương trình cácđường cônic trong mặt phẳng.c.Một số dạng toán sử dụng trong đề tàiDạng 1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có thể sử dụng một trong cáccách sau :Cách 1: Chứng minh hai véctơ cùng phương.Cách 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm, và chỉ ra điểm thứ bathuộc đường thẳng đó.Dạng 2: Chứng minh hai véctơ vuông góc ta chỉ ra tích vô hướng của haivéctơ đó bằng không.Dạng 3: Chứng minh các biểu thức về độ dài.Sử dụng công thức tính khoảng cách của hai điểm để tính độ dài đoạn thẳng,từ đó suy ra biểu thức chứng minh.Dạng 4: Tìm quỹ tích điểm. Để giải quyết yêu cầu này ta có thể tìm ra một phương trình đường mà toạđộ của điểm đó thoả mãn. Từ đó kết luận quỹ tích của điểm cần tìm.44. Nhận dạng một số hình đặc biệt khi gắn hệ trục toạ độ1. Tam giác cân Cho DABC cân tại A, đường cao AH = h và BC = a .Ta chọn hệ trục tọa độ Đề các Oxy sao cho:a aO H(0;0) , B( ;0) ,C( ;0) ,A(0;h)2 2º -2. Tam giác vuôngĐối với DABC vuông tại A có AB = a ; AC = b. Ta chọn hệ trục tọa độ Đề các Oxy sao cho:O A(0;0) , B(0;b) ,C(c;0)º3. Tam giác đềuĐối với DABC đều cạnh a, nhận thấy đây là trường hợp đặcbiệt của tam giác cân.Có thể lựa chọn hệ trục Đề các Oxy sao cho OH(0;0)º, H là trung điểm của BCa a a 3C( ;0),B( ;0),A(0; )2 2 2-4. Hình thang vuông5Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A, D có:AB = a, AD = b, DC = c.Ta chọn hệ trục tọa độ Đề các Oxy sao cho:O A(0;0) , B(a;0) ,D(0;b), C(c;b)º5. Hình chữ nhậtĐối với hình chữ nhật ABCD có các kích thước AB = a ; AD = b.Ta chọn hệ trục tọa độ Đề các Oxy sao cho:O A(0;0) , B(a;0) ,D(0;b), C(a;b)º 6. Hình thoi Đối với hình thoi ABCD có hai đường chéo AC = a ; BD = b. Ta chọn hệ trục tọa độ Đề các Oxy sao choa aO I(0;0) , A( ;0) , C( ;0) ,2 2b bB(0; ), D(0; )2 2º --6 7. Hình vuôngĐối với hình vuông ABCD có kích thước a.Ta chọn hệ trục tọa độ Đề các Oxy sao cho:O A(0;0) , B(a;0) ,D(0;a), C(a;a)º5. Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho hình thang ABCD vuông tại A và B. Đường cao AH = h, các cạnhđáy AD = a, BC = b. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB và ta có ·CID làgóc vuông. Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa các đại lượng a, b, h của hình thangđã cho. Hướng dẫn học sinh tiếp cận vấn đề: - Ta có qua A và B có hai đường thẳng vuông góc với nhau chứa hai cạnh của hình thang .- Ta thấy vai trò của hai điểm A và B như nhau nên có chọn gốc toạ độ trùng với một trong hai điểm này.- Theo dõi phần hình thang khi gắn hệ truc toạ độ.Giải : Chọn hệ trục toạ độ Đề các vuông góc Oxy sao choO B(0;0),C (b;0),A(0;h) D(a;h)≡ ≡ ⇒ với a, b, h > 0 ( Hình 1)I là trung điểm của OA nên hI(0; )2 Suy ra h hID (a; ),IC(b; )2 2= −uur uurGiả thiết ·CIDvuông nên . 0IC ID =uuuruur220 4 .4⇔ − = ⇔ =hab h abVậy biểu thức liên hệ của các đại lượng là : 2h 4ab.=Hình 1Bài 2: Cho 2 điểm A, B cố định và AB=a (a > 0) .Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA=2MB.7 Hướng dẫn học sinh phân tích đề bài: Vì A, B cố định và không bị ràng buộc bởi quan hệ cạnh nên có thể chọn một trong hai điểm A, B trùng với gốc toạ độ. Giải : Chọn hệ trục toạ độ Đề các vuônggóc Oxy sao cho )0;0(AO ≡, A, Bnằm trên trục Ox và B(a;0) ( Hình 2) Giả sử M(x;y), từ giả thiếtMA=2MB ta có : ( )22 2 22 2 22 22x y 4 x a y3x 3y 8ax 4a 04a 2ax y3 3 + = − + ⇔ + − + =   ⇔ − + = ÷  ÷    Vậy tập hợp điểm M là đường tròntâm 4aI ;03  ÷  và bán kính 2aR3=.Hình 2 Bài 3: Cho ∆ABC cân đỉnh A và đường cao AH. Gọi D là hình chiếuvuông góc của H trên AC, M là trung điểm của HD. Chứng minh rằng AM ⊥BD. Hướng dẫn: Trong bài này nhận thấy có hai điểm H và D là giao của hai đường thẳngvuông góc . Nhưng “điểm mấu chốt” của bài toán này là điểm nào ? Vì tam giác ABC cân tại A nên nếu chọn điểm H trùng với gốc toạ độ thì tacó thể suy ra được toạ độ các điểm còn lại . Nếu ta lựa chọn điểm gốc toạ độ trùng với điểm D thì việc suy ra toạ độ củacác điểm còn lại gặp khó khăn.Giải:8 Chọn hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxy, sao cho H(0;0), A(0;a), B(-b;0),C(b;0). (Hình 3)Hình 3Giả sử D(x,y) ta có:DH AC⊥uuur uuur và ADuuur cùng phương với ACuuur nên:22 222 2a bxDH.AC 0 bx ay 0a bax by ababAD k.ACya b== − = +⇔ ⇔  + ===+uuur uuuruuur uuur Vậy 2 22 2 2 2a b abD ;a b a b  ÷+ + . M là trung điểm của HD nên ( ) ( )2 22 2 2 2a b abM ;2 a b 2 a b  ÷ ÷+ + 4 2 2 4 4 2 2 42 2 2 22a b a b 2a b a bBD.AM 02(a b ) 2(a b )+ − −⇒ = + =+ +uuur uuuurVậy AM ⊥BD (đpcm).9 Bài 4: Cho ∆ABC. Gọi O, G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp,trọng tâm, trực tâm của tâm giác đó. Chứng minh rằng 3 điểm O, G, H thuộcmột đường thẳng (đường thẳng Ơle).Hướng dẫn học sinh tiếp cận vấn đề: Trước hết ta thấy đây là bài toán quen thuộc có thể giải bằng nhiều cách .Khi đưa bài toán về giải quyết bằng phương pháp toạ độ, ta cần chú ý đến “điểm mấu chốt” của bài toán chính là chân các đường cao của tam giác . Giải :Gọi K là chân đường cao AH.Chọn hệ trục Oxy sao cho K(0;0), B(b;0), C(c;0), A(0;a). ( hình 4) Hình 4Theo giả thiết, G là trọng tâm của ∆ABC nên b c aG ;3 3+  ÷ Do H AK∈ nên H(0; x).Mặt khác: bc bcBH.AC 0 ax bc 0 x H 0;a a = ⇔ + = ⇔ = − ⇒ − ÷ uuur uuurDo M là trung điểm của BC nên b cM ;02+  ÷ .10Theo giả thiết: OM ⊥ BC nên b cO ,y2+  ÷ . Tìm y bằng cách cho OB = OA.( )2 2222 2b c b cy y a2 2a bc b c a bcy O ,2a 2 2a− +   ⇔ + = + − ÷  ÷   + + + ⇒ = ⇒ ÷ Do đó: 2 2b c a bc b c a bcGO , ; GH ,6 6a 2 3a+ + − − − −   = = ÷  ÷   uuur uuur GH 2GO⇒ = − ⇒uuur uuur G, H, O thẳng hàng (đpcm). Chú ý : Tất nhiên ta có thể giải quyết bài toán này theo một hướng khác , đólà ta có thể lập phương trình GO rồi chỉ ra H thuộc đường thẳng GO. Bài 5: Cho tam giác ABC có đường cao CH. Gọi I, K lần lượt là trung điểmcủa các cạnh AB, CH. Một đường thẳng d di động luôn song song với cạnhAB cắt các cạnh AC, BC lần lượt ở M, N. Dựng hình chữ nhật MNPQ với haiđiểm P, Q nằm trên cạnh AB. Gọi J là tâm của hình chữ nhật MNPQ. Chứngminh ba điểm I, J, K thẳng hàng. Hướng dẫn: Mấu chốt để chọn hệ trục là dựa vào quan hệ vuông góc của đường cac CHvới cạnh đáy AB. Nếu biết toạ độ các điểm A, B, C thì ta có thể tìm được toạ độ của các điểmcòn lại dựa vào quan hệ vuông góc và song song. Đưa bài toán về dạng : chỉ ra ba điểm thẳng hàng bằng phương pháp toạ độ GiảiChọn hệ trục tọa độ Đề các vuông góc Oxy sao cho : O H(0;0),≡A(a;0), B(b;0), C(0;c). ( hình 5 )11 Hình 5 Khi đó đường thẳng d có phương trình dạng y = m (0 < m < c) . Phươngtrình đường thẳng AC có dạng : x y1 cx ay ac.a c+ = ⇔ + = Phương trình đường thẳng BC có dạng : x y1 cx by bc.b c+ = ⇔ + =Vì K là trung điểm của HC nên cK 0;2  ÷ ,I là trung điểm của AB nên a bI ;02+  ÷ . Phương trình đường thẳng IK có dạng :2x 2y1.a b c+ =+ N là giao điểm của đường thẳng d và đường thẳng BC nên toạ độ N lànghiệm của hệ phương trình :( )b c my mxb(c m)N ;mccx by bccy m−==− ⇔ ⇒  ÷+ = =.M là giao điểm của đường thẳng d và đường thẳng AC nên toạ độ của M lànghiệm của hệ:a(c m)y mxa(c m)M ;mccx ay accy m−==− ⇔ ⇒  ÷+ = =12Q là hình chiếu vuông góc của M trên Ox nên a(c m)Q ;0c−  ÷ .J là trung điểm của NQ nên : (a b)(c m) mJ ;2c 2+ −  ÷ Dễ thấy toạ độ của J thoả mãn phương trình IK : 2x 2y1a b c+ =+.Do đó ba điểm I, J, K thẳng hàng. Chú ý : Khi biết toạ độ ba điểm ta có thể chỉ ra IJ,IKuuruurcùng phương. Từ đósuy ra ba điểm I, J, K thẳng hàng. Bài 6: Cho tam giác ABC có µoC 60 ; D,E,F=là các điểm tương ứng nằmtrên các cạnh BC, AB, AC. Gọi M là giao điểm của AD và BF. Giả sử CDEFlà hình thoi .Chứng minh rằng : 2DF DM.DA= Hướng dẫn học sinh tiếp cận vấn đề: Vấn đề mấu chốt của bài toán là có µoC 60=. Có CDEF là hình thoi vì vậy nếu biết tọa độ hai điểm C, F hoặc C, D thì cóthể tìm được toạ độ của có thể tìm được toạ độ của các điểm còn lại.Giải Chọn hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxy sao cho O C(0;0),F(1;0),A(a;0)≡Theo bài ra ta có 1 3 3 3D ; ,E ;2 2 2 2    ÷  ÷    ( hình 6)Phương trình đường thẳng CD có dạng : y 3x=Phương trình đường thẳng AE có dạng : 3x (2a 3)y 3a+ − =Toạ dộ điểm E là nghiệm của hệ :13A( )( )( )ax2 a 1y 3x3a3x 2a 3 y 3ay2 a 1=−= ⇔ + − ==− Vậy ( ) ( )a 3aB ;2 a 1 2 a 1  ÷− − Lập luận tương tự như trên với M là giao điểm của DA và BF ta tìm được ( )( )( )( )2 2a a 1 3a a 1M ;2 1 a a 2 1 a a + − ÷ ÷− + − + Suy ra : DF = 1, 22 21 3DA a 1 a a2 4 = − + = − + ÷ ( )( )( )( )2 222 2 2a a 1 3a a 11 3 1DM2 1 a a 2 2 1 a a 2 1 a a   + −= − + − = ÷  ÷ ÷  ÷− + − + − +    Từ đó ta có được : 2DF DM.DA=. Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A. Giả sử M là trung điểm của BC và Plà điểm nằm trên đường thẳng AM sao cho PB AB⊥; Q là điểm tuỳ ý trêncạnh BC, không trùng với B và C ; E, F là hai điểm tương ứng nằm trên cácđường thẳng AB, AC sao cho E, Q, F là ba điểm phân biệt thẳng hàng. Chứngminh:PQ ⊥ EF khi và chỉ khi QE = QF. Gợi ý cho học sinh suy nghĩ : +) Do tam giác ABC cân tại A , M là trung điểm của BC ta có AM BC⊥ +) Như vậy ta có thể lựa chọn điểm M làm tâm của hệ trục. +) Dựa vào quan hệ vuông góc, tam giác đặc biệt có thể suy ra toạ độ củacác điểm còn lại. Áp dụng phần tam giác cân khi gắn hệ trục toạ độ.GiảiTam giác ABC cân tại A nên BCAM⊥ Chọn hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxy sao choO M(0;0), B( 1;0), C(1;0), A(0;a), Q(q;0)≡ −với -1 < q < 1 ( hình 7 )14 Hình 7Vì PB AB⊥ và P Oy∈ nên 1P 0;a  ÷ Phương trình đường thẳng AB : yx 1 ax y aa− + = ⇔ − + = Phương trình đường thẳng AC : yx 1 ax y aa+ = ⇔ + =Do E AB∈ nên ( )0 0E x ;a ax+. F AC∈ nên ( )1 1F x ;a ax−Suy ra ( ) ( )0 0 1 1QE x q;a ax ,QF x q;a ax= − + = − −uuur uuurĐể E, Q, F thẳng hàng thì QE,QFuuuruuur cùng phương . Điều kiện là : ( )0 1 0 1 0 1x x 2x x q x x 0− + + + = (1)Ta có ( )( )1 0 1 01PB q; , EF x x ; a x xa = = − − + ÷ uuur uurNếu PQ EF⊥ thì ( ) ( )1 0 1 0PB.EF 0 q x x x x 0= ⇔ − − + =uuur uur (2)Từ (1) và (2) ta được :( )( ) ( )0 1 0 1 0 1011 0 1 0x x 2x x q x x 0x q 1x q 1q x x x x 0− + + + == −⇔ = +− − + =Khi đó ta có : ( ) ( )QE 1;aq ,QF 1; aq= − −uuur uuurDo đó 2 2QE QF 1 a q= = +Ngược lại QE = QF thì Q là trung điểm của EF nên 0 10 122 0+ =− + =x x qax ax aGiải ra ta được: 01x q 1x q 1= −= +15Ta có PQ.EF 2q 2q 0= − =uuur uur. Vậy PQ EF⊥. Bài 8: Cho tam giác ABC và D là chân đường cao hạ từ A . Gọi E, F là cácđiểm nằm trên đường thẳng qua D sao cho CFAFBEAE ⊥⊥ , và E, F khôngtrùng D . Giả sử M, N là các trung điểm tương ứng của BC và EF . Chứngminh rằng NMAN⊥. Hướng dẫn tiếp cận vấn đề : +) Phát hiện điểm là giao của hai đường vuông góc+) Dựa vào quan hệ vuông góc, tính chất trung điểm để tìm toạ độ các điểmliên quan.Giải Hình 8 Chọn hệ trục toạ độ Đề các vuông góc Oxy sao cho( ) ( ) ( ) ( )O D 0;0 ,A 0;a ,B b;0 ,C c;0≡ ( Hình 8 ) Vì M là trung điểm của BC nên b cM ;02+  ÷ . Do E, F không trùng D nênđường thẳng EF qua D có phương trình dạng y = kx Toạ độ E, F có dạng ( ) ( )1 1 2 2E x ;kx ,F x ;kx với 1 2x x≠ và 1 2x ,x 0≠ Theo bài ra : CFAF ⊥ nên 22 2AF.CF 0 x c k x ka 0= ⇔ − + − =uuur uur( )22 2 2k c kac ka c kax F ;1 k 1 k 1 k+ + +⇔ = ⇒ ÷+ + + 16 Lại có : 21 1 12. 0 01+⊥ ⇔ = ⇔ − + − = ⇔ =+uuur uuurb kaAE BE AE BE x b k x ka xk Suy ra ( )2 2;1 1+ + ÷+ + k b kab kaEk k Vì N là trung điểm của EF nên ( )( )( )2 2k b c 2kab c 2kaN ;2 1 k 2 1 k + ++ + ÷ ÷+ +  ( ) ( )2 2b c 2ka ka kb 2aAN ;2 1 k 2 1 k + + + − ÷ ÷+ + uuur ( )( )( )2 2k b c 2kak(ka kb 2aMN ;2 1 k 2 1 k + +− + −= ÷ ÷+ + uuuur Ta có :( ) ( )( )( )( )( )2 2k b c 2ka kb kc 2ak b c 2ka kb kc 2aAN.MN 04 1 k 4 1 k+ + + −− + + + −= + =+ +uuur uuuur Vậy AN MN⊥. Để kết thúc đề tài tôi xin đưa ra một số bài toán để bạn đọc tham khảo . Bài 1 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I . Gọi D là trung điểmcủa cạnh AB, E là trọng tâm tam giác ADC. Chứng minh rằng AB = AC thìCDIE ⊥. Bài 2: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 2a. Tìm tập hợp các điểm Msao cho 22228aMCMBMA =++. Bài 3: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến và các đường phân giáckẻ từ A theo thứ tự cắt BC tại M và N.Từ N, kẻ đường vuông góc NA, đườngnày cắt MA và AB tương ứng tại P và Q. Từ P, kẻ đường vuông góc với AB,đường này cắt NA tại O. Chứng minh rằng QO BC⊥. Bài 4: Cho ∆ABC, đường phân giác trong và phân giác ngoài của góc C cắtđường thẳng AB ở L và M. Chứng minh rằng: nếu CL = CM thì AC2 + BC2 = 4R2 17 (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC) Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC, D là chân đường vuông góc hạ từ A xuốngBC, E là chân đường vuông góc hạ từ D xuống AC, F là điểm nằm trên đoạnthẳng DE. Chứng minh rằng DCBDFDFEBEAF =⇔⊥18C. KẾT LUẬNI. Kết quả nghiên cứu:Qua một số tiết dạy, mà mỗi bài toán hình học đưa ra được giải quyếttheo phương pháp toạ độ hoá, tôi thấy được ở một số học sinh đã có cách nhìnbài toán tổng quát và hiểu sâu hiểu kĩ hơn. Tôi nghĩ phương pháp này sẽ giúpcho các em phát triển năng lực tư duy biện chứng, nhìn nhận vấn đề trong mốiquan hệ tương hỗ, xác lập mối quan hệ giữa các chương mục khác nhau theomạch kiến thức. Tôi đã đưa ra bài kiểm tra kiến thức phần này cùng một đề cho 2 lớp cólực học tương đương là lớp 10A4 (lớp đối chứng) và lớp 10A6 (lớp thựcnghiệm) và kết quả thu được là khả quan.II.Kết quả thực hiện : Lớp đối chứng (Lớp 10A4) Lớp thực nghiệm ( Lớp 10A6)Sĩ số: 47 Số lượng(em)Tỉ lệ (%) Sĩ số: 47 Số lượng(em)Tỉ lệ (%)Giỏi 3 6,4 Giỏi 8 17Khá 16 34 Khá 25 53,2TB 24 51,1 TB 14 29,8Yếu 4 8,5 Yếu 0 0III. Kiến nghị, đề xuất- Do giới hạn của đề tài nên tôi chỉ trình bày được một số bài toán nhỏ. Nhưngtôi rất mong nó sẽ giúp cho bạn đọc thêm được một phần kiến thức bổ ích.- Tôi hy vọng các tác giả viết sách sẽ có sự đầu tư hơn ở những bài toán hìnhhọc được giải quyết bằng phương pháp toạ độ hoá. Tôi nghĩ rằng đây là vấnđề sẽ thu hút được sự chú ý của học sinh . 19XÁC NHẬN CỦATHỦ TRƯỞNGĐƠN VỊThanh Hoá, ngày 18 tháng 5 năm 2013 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác. Lê Thị Liên20TÀI LIỆU THAM KHẢO- Sách giáo khoa hình học 10 - Báo toán học tuổi trẻ . - Giải toán hình học 10 của LÊ HỒNG ĐỨC.- Một số đề thi học sinh giỏi và đại học.21