Lý thuyết về đại cương về phương trình
I.Khái niệm phương trình
1. Phương trình một ẩn
+ Phương trình ẩn \[x\]là mệnh đề chứa biến có dạng:
\[f[x] = g[x]\] [1]
trong đó \[f[x], g[x]\] là các biểu thức của \[x\]. Ta gọi \[f[x]\] là vế trái, \[g[x]\] là vế phải của phương trình [1].
+Điều kiện xác địnhcủa phương trình là điều kiện của ẩn \[x\] để các biểu thức ở hai vế có nghĩa.
+ Nếu có số \[x_0\] thỏa mãn ĐKXĐ và \[f[x_0]= g[x_0]\] là mệnh đề đúng thì ta nói \[x_0\] lànghiệm đúngphương trình [1] hay \[x_0\]là một nghiệmcủa phương trình [1].
Nếu phương trình không có nghiệm, ta nói phương trình vô nghiệm hoặc tập nghiêm là rỗng.
+ Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó [nghĩa là tìm tập nghiệm]
2. Phương trình nhiều ẩn
Chẳng hạn:
\[3x + 2y = {x^2} - 2xy + 8\] [Phương trình hai ẩn \[x\] và \[y\]]
\[4{x^2} - xy + 2z = 3{z^2} + 2xz + {y^2}\][Phương trình ba ẩn \[x, y\] và \[z\]]
3. Phương trình chứa tham số
Chẳng hạn:\[[m + 1]x - 3 = 0\] [Phương trình ẩn \[x\] chứa tham số \[m\]]
II. Phương trình tương đương và Phương trình hệ quả
1. Phương trình trương đương
Hai phương trình
\[{f_1}\left[ x \right] = {g_1}\left[ x \right]\][1]
\[{f_2}\left[ x \right] = {g_2}\left[ x \right]\][2]
được gọi là tương đương, kí hiệu\[{f_1}\left[ x \right] = {g_1}\left[ x \right]{f_2}\left[ x \right] = {g_2}\left[ x \right]\]nếu các tập nghiệm của [1] và [2] bằng nhau.
Định lí:
a] Nếu \[h[x]\] là biểu thức thỏa mãn ĐKXĐ của phương trình \[f[x] = g[x]\] thì
\[f[x] + h[x] = g[x] + h[x] \]\[ f[x] = g[x]\].
b] Nếu \[h[x]\] thỏa mãn ĐKXĐ và khác \[0\] với mọi \[x\] thỏa mãn ĐKXĐ thì
\[f[x].h[x] = g[x].h[x] f[x] = g[x]\]
\[\dfrac{f[x]}{h[x]}=\dfrac{g[x]}{h[x]} f[x] = g[x]\].
2. Phương trình hệ quả
Phương trình \[{f_2}\left[ x \right] = {g_2}\left[ x \right]\]là phương trình hệ quả của phương trình\[{f_1}\left[ x \right] = {g_1}\left[ x \right]\],kí hiệu
\[{f_1}\left[ x \right] = {g_1}\left[ x \right]\]\[\Rightarrow \]\[{f_2}\left[ x \right] = {g_2}\left[ x \right]\]
nếu tập nghiệm của phương trình thứ nhất là tập con của tập nghiệm của phương trình thứ hai.
Ví dụ: \[2x = 3 - x \Rightarrow [x - 1][x + 2] = 0\].