Phương trình chính tắc của elip là gì
|
1. Định nghĩa đường elip Định nghĩa : Trong mặt phẳng, cho hai điểm cố định \(F_1\) và \(F_2\) Elip là tập hợp các điểm \(M\) sao cho tổng \(F_1M +F_2M = 2a\) không đổi Các điểm \(F_1\) và \(F_2\) gọi là tiêu điểm của elip Khoảng cách \(F_1F_2= 2c\) gọi là tiêu cự của elip 2. Phương trình chính tắc của elip Cho elip có tiêu điểm \(F_1\) và \(F_2\) chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(F_1(-c ; 0)\) và \(F_2(c ; 0)\). Khi đó người ta chứng minh được \(M(x ; y) \in\) elip \(\Rightarrow\frac{x^{2}}{a^{2}}\) + \(\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\) (1) trong đó: \(b^2= a^2– c^2\) Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip  3. Hình dạng của elip Xét elip \((E)\) có phương trình (1): a) Nếu điểm \(M(x; y)\) thuộc \((E)\) thì các điểm \(M_1(-x ; y), M_2(x ;- y)\) và \(M_3(-x ; -y)\) cũng thuộc \((E)\). Vậy \((E)\) có các trục đối xứng là \(Ox, Oy\) và có tâm đối xứng là gốc \(O\). b) Thay \(y = 0\) vào (1) ta có \(x = ±a\) suy ra \((E)\) cắt \(Ox\) tại hai điểm \(A_1(-a ; 0), A_2(a ;0)\). Tương tự thay \(x = 0\) vào (1) ta được \(y = ±b\), vậy \((E)\) cắt \(Oy\) tại hai điểm \( B_1(0 ; -b), B_2(0 ;b)\). Các điểm \(A_1, A_2, B_1, B_2\) gọi là các đỉnh của elip. Đoạn thẳng \(A_1A_2\) gọi là trục lớn, đoạn thẳng \(B_1B_2\) gọi là trục nhỏ của elip. Loigiaihay.com
Phương trình đường elip A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ1. Trong mặt phảng Oxy cho hai điểm (-c ; 0), (c ; 0) và độ 2. Phương trình chính tắc của elip (E) là : 3. Các thành phần của elip (E) là :
– Bốn đỉnh : (- a ; 0), (a ; 0), – Độ dài trục lớn : = 2a ; – Độ dài trục nhỏ = 2b ; – Tiêu cự : = 2c (h.3.5). 4. Hình dạng của elip (E): – (E) có hai trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc toạ độ ; – Mọi điểm của elip (E) ngoại trừ bốn đỉnh đều nằm trong hình chữ nhật có kích thước 2a và 2b giới hạn bởi các đường thẳng x = ± a, y = ± b. Hình chữ nhật đó gọi là hình chữ nhật cơ sở của elip. B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN* VẤN ĐỀ 1Lập phương trình chính tắc của một elip khi biết các thành phần đủ để xác đinh elip đó 1. Phương pháp – Từ các thành phần đã biết, áp dụng công thức liên quan ta tìm được phương trình chính tắc của elip. – Ta có các hệ thức (h.3.6): • 0 < b < a • = – • = 2c (tiêu cự) • = 2a (độ dài trục lớn) • = 2b (độ dài trục nhỏ) • M ∈ (E) ⇔ M + M= 2a. – Ta có toạ độ các điểm đặc biệt của elip (E): 2. Các ví dụ Ví dụ 1. Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau a) Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6 ; b) Một tiêu điểm là điểm (- ; 0 ) và điểm ( 1; ) nằm trên elip GIẢI a) Ta có 2a = 10 suy ra a = 5, 2c = 6 ⇒ c = 3 Vì (E) có một tiêu điểm (- ; 0 ) nên c = . Ta có : Ví dụ 2. Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau a) Một đỉnh trên trục lớn là điểm (3 ; 0) và một tiêu điểm là điểm (-2 ; 0); b) (E) đi qua hai điểm M(0 ; 1) và N(1; ) GIẢI a) Ta có a = 3 ; c = 2. b) Phương trình chính tắc của (E) có dạng : * VẤN ĐỀ 2Xác định các thành phần của một elip khi biết phương trình chính tắc của elip đó 1. Phương pháp – Trục lớn của (E) nằm trên Ox, = 2a – Trục nhỏ của (E) nằm trên Oy, = 2b
– Bốn đỉnh : (- a ; 0), (a ; 0), (0 ; -b),(0 ; b); – Tỉ số c / a < 1 (e = c / a còn gọi là tâm sai của elip); – Phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là Thật vậy, ta có : = + = + Suy ra – = 4cx (1) Theo định nghĩa của elip ta có : M +M = 2a (2) Chia (1) cho (2) ta được : M – M = 2(c/a)x (3) Từ (2) và (3) ta tính được M và M. 2. Các ví dụ Ví dụ 1. Xác định độ dài các trục, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh và vẽ elip (E) có phương trình GIẢI c = = 4.
– Trục lớn : = 2a =10 ; – Trục nhỏ : = 2b = 6; – Hai tiêu điểm : (- 4 ; 0), (4 ; 0 ) – Bốn đỉnh : (- 5 ; 0), (5 ; 0), (0 ; – 3), (0 ; 3). Hình vẽ của (E) như hình 3.8. Ví dụ 2. Cho elip (E) có phương trình Hãy viết phương trình đường tròn (C) có đường kính là trong đó và là hai tiêu điểm của (E). GIẢI
Ta có = 100, = 36. Suy ra = – = 64 => c = 8. Đường tròn đường kính có tâm là gốc toạ độ và có bán kính R = c = 8. Vậy phương trình của (C) là : + = 64. * VẤN ĐỀ 3Chứng minh điểm M di động trên một elip 1. Phương pháp Để chứng tỏ điểm M di động trên một elip ta có hai cách (h.3.9): với a, b là hai hằng số thoả mãn 0 < b < a. 2. Các ví dụ
GIẢI
Vậy M di động trên elip có hai tiêu điểm là và và có trục lớn là 2a = + Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(x ; y) di động có tọa độ luôn thỏa mãn trong đó t là tham số thay đổi. Hãy chứng minh điểm M di động trên một elip. GIẢI C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP3.28. Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau : a) Độ dài trục nhỏ bằng 12 và tiêu cự bằng 16 ; b) Một tiêu điểm là (12 ; 0) và điểm (13 ; 0) nằm trên elip. ⇒ Xem đáp án tại đây. 3.29. Tìm toạ độ các tiêu điểm, các đỉnh, độ dài các trục của mỗi elip có phương trình sau: a) 4 + 9 = 36 ; b) + 4 = 4. ⇒ Xem đáp án tại đây. 3.30. Cho đường tròn C (; 2a) cố định và một điểm cố đinh nằm trong (). Xét đường tròn di động (C) có tâm M. Cho biết (C) luôn đi qua điểm và (C) luôn tiếp xúc với (). Hãy chứng tỏ M di động trên một elip. ⇒ Xem đáp án tại đây. 3.31. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm M(x; y) di động có toạ độ luôn thoả mãn trong đó t là tham số. Hãy chứng tỏ M di động trên một elip. ⇒ Xem đáp án tại đây. 3.32. Viết phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau : a) Độ dài trac lớn bằng 26 và tỉ số c/a bằng 5/13 ; b) Tiêu điểm (-6 ; 0) và tỉ số c/a bằng 2/3. ⇒ Xem đáp án tại đây. 3.33. Viết phương trình chính tắc của elip (E) có hai tiêu điểm là và biết và tam giác vuông tại M. ⇒ Xem đáp án tại đây. 3.34. Cho elip (E): 9 + 25 = 225. a) Tìm toạ độ hai tiêu điểm , và các đỉnh của (E). b) Tìm điểm M ∈ (E) sao cho M nhìn dưới một góc vuông. ⇒ Xem đáp án tại đây. 3.35. a) Trục lớn bằng ba lần trục nhỏ ; b) Đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông ; c) Khoảng cách giữa đỉnh trên trục nhỏ và đỉnh trên trục lớn bằng tiêu cự. ⇒ Xem đáp án tại đây. 3.36. Cho elip (E) : 4 + 9 = 36 và điểm M( 1 ; 1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt (E) tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB. ⇒ Xem đáp án tại đây. Related |
