Bài tập hệ phương trình đại số tuyến tính doc năm 2024

1. Toán kinh tế và Khoa học dữ liệu- Khoa Kinh tế phát triển Mobile: 0975740127 Email: [email protected], [email protected] TO¸N CAO CÊP ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ Giảng viên: TS. Lê Thị Huệ
2. phƯ¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh Hệ Cramer Hệ PTrTT tổng quát Hệ PTrTT thuần nhất (đọc thêm) Một số MHTT trong kinh tế 1 2 3 4
3. CRAMER I. Hệ Cramer và phương pháp ma trận nghịch đảo II. Quy tắc Cramer (phương pháp định thức)
4. và phương pháp ma trận nghịch đảo ĐN: Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính với số phương trình bằng số ẩn và ma trận hệ số có định thức khác 0. ... ... ... ... ... ... ... ...        11 1 12 2 1n n 1 21 1 22 2 2n n 2 n1 1 n2 2 nn n n a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b + + + = a x + a x + + a x = b   ij n×n A = a trong đó ma trận hệ số có định thức khác 0. ... ... ... ... ... ... ... ... ...                                     11 12 1n 1 1 21 22 2n 2 2 n1 n2 nn n n a a a x b a a a x b = a a a x b Giải: Viết lại hệ dưới dạng phương trình ma trận: A AX =B,  0  A    -1 -1 A AX = A B -1 X = A B  B X Cho hệ Cramer:
5. và phương pháp ma trận nghịch đảo Ví dụ 1: Giải hệ Cramer sau đây bằng phương pháp ma trận nghịch đảo.    2x + 5y = -4 -x + 3y = 7                2 5 x -4 = -1 3 y 7 Viết hệ dưới dạng phương trình ma trận:           3 -5 -4 1 X = 1 2 7 11       -1 3 -5 1 A = 1 2 11       -47 1 = 10 11       47 10 hay x = - ,y = 11 11 A X B Ta có det(A) = 11 ≠ 0 nên X = A-1B và
6. và phương pháp ma trận nghịch đảo Ví dụ 2: Giải hệ Cramer sau đây bằng phương pháp ma trận nghịch đảo.      -x + 3y + 2z = 4 3x - y - 7z = 2 5x + 8y + 2z = 3 Viết hệ dưới dạng phương trình ma trận:                          -1 3 2 x 4 3 -1 -7 y = 2 5 8 2 z 3 A X B           -1 54 10 -19 1 A = - -41 -12 -1 119 29 23 -8            -1 179 1 X = A B = - -191 119 138
7. Cramer (phương pháp định thức) Định lý Cramer : Hệ phương trình Cramer ... ... ... ... ... ... ... ...        11 1 12 2 1n n 1 21 1 22 2 2n n 2 n1 1 n2 2 nn n n a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b det(A ) ) ) )       1 2 i n 1 2 i n det(A det(A det(A x = ,x = ,...,x = ,...,x = det(A) det(A) det(A) det(A) có nghiệm duy nhất và được xác định như sau: Trong đó:  Ai là ma trận có được từ A bằng cách thay cột i bởi cột số hạng tự do. i = 1, 2,..., n
8. Cramer sau đây bằng quy tắc Cramer.    2x + 5y = -4 -x + 3y = 7 2 5 det(A) = -1 3 Giải: Trước hết ta tính các định thức: =11 1 5 det(A ) = 3 -4 7 = -47 det(A2 2 ) = -1 -4 7 =10 det(A ) )        1 2 det(A 47 10 x = = - ;y = = det(A) 11 det(A) 11 II. Quy tắc Cramer (phương pháp định thức)
9. Cramer sau đây bằng quy tắc Cramer.      -x + 3y + 2z = 4 3x - y - 7z = 2 5x + 8y + 2z = 3 Giải: Trước hết ta tính các định thức: -1 3 2 det(A) = 3 -1 -7 5 8 2 = -119 1 3 2 det(A ) = -1 -7 8 2 =179 4 2 3 2 -1 2 det(A ) = 3 -7 5 2 = -191 4 2 3 3 -1 3 det(A ) = 3 -1 5 8 =138 4 2 3 Nghiệm của hệ tính theo quy tắc Cramer là: ) ) )       3 1 2 det(A det(A det(A 179 -191 138 x = = ;y = = ,z = = det(A) -119 det(A) -119 det(A) -119 II. Quy tắc Cramer (phương pháp định thức)
10. Cramer (phương pháp định thức) VD 3: Giải hệ bằng quy tắc Cramer.      1 2 3 1 2 3 1 2 3 -x + 2x + 3x = -1 2x - 3x - 2x = 3 3x - 4x + 5x = k -1 2 3 det(A) = 2 -3 -2 3 -4 5 1 -1 2 3 det(A ) = 3 -3 -2 k -4 5 2 -1 -1 3 det(A ) = 2 3 -2 3 k 5 3 -1 2 -1 det(A ) = 2 -3 3 3 -4 k => Nghiệm của hệ tính theo quy tắc Cramer là: 3 2 ) ) )       1 1 2 3 det(A det(A det(A 5k - 43 4k - 26 -k +5 x = = ;x = = ,x = = det(A) -6 det(A) -6 det(A) -6 = 5k - 43 = -6 = 4k -26 = -k+5 Giải: Trước hết ta tính các định thức:
11. Cramer (phương pháp định thức) VD 4: Với giá trị nào của k thì hệ pt sau là hệ Cramer. Khi đó giải hệ bằng quy tắc Cramer.      -x + 2y + 3z = 2x - 3y - 2z = 3x - 4y + kz = Trước hết ta tính định thức det(A): -1 2 3 det(A) = 2 -3 -2 3 -4 k 1 2 3 det(A ) = -3 -2 -4 k 2 -1 3 det(A ) = 2 -2 3 k 3 -1 2 det(A ) = 2 -3 3 -4 => Nghiệm của hệ tính theo quy tắc Cramer là: 3 ) ) )       1 2 det(A det(A det(A 3k +18 2k +14 -3 x = = ;y = = ,z = = det(A) k +1 det(A) k +1 det(A) k +1 Hệ là hệ Cramer  det(A) ≠0– k – 1≠ 0  k ≠ –1. Khi đó ta có: = -3k -18 = -k -1 1 0 -2 = -2k -14 = 3 1 0 -2 1 0 -2 1 0 -2
12. tổng quát Hệ PTrTT thuần nhất Một số MHTT trong kinh tế 1 2 3 4 Hệ Cramer ChƯ¬ng 2. HÖ phƯ¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh
13. PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT I. Các dạng biểu diễn II. Điều kiện có nghiệm III. Giải hệ tổng quát bằng phương pháp Gauss
14. biểu diễn: 1. Dạng khai triển: Hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn x1, x2,…, xn, có thể biểu diễn dưới 3 dạng: ... ... ... ... ... ... ... ...        11 1 12 2 1n n 1 21 1 22 2 2n n 2 m1 1 m2 2 mn n m a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b 2. Dạng ma trận: AX = B Trong đó A là ma trận hệ số; X là ma trận cột các ẩn; B là ma trận cột số hạng tự do 3. Dạng vectơ: c c c 1 1 2 2 n n ...    x A x A x A =B NX: Hệ phương trình có nghiệm  vectơ B biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ cột của ma trận A. Khi đó nghiệm của hệ là các hệ số của sự biểu diễn tuyến tính đó
15. trình m phương trình, n ẩn x1, x2,…, xn. Hệ phương trình trên có 3 khả năng về nghiệm:  Hệ có vô số nghiệm (đưa được về dạng BẬC THANG)  Hệ vô nghiệm; (xuất hiện phương trình 0.x1+∙∙∙+ 0.xn = b ≠ 0)  Hệ có nghiệm duy nhất; (đưa được về dạng TAM GIÁC) II. Điều kiện có nghiệm: ... ... ... ... ... ... ... ...        11 1 12 2 1n n 1 21 1 22 2 2n n 2 m1 1 m2 2 mn n m a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b Định lý CRONECKER - CAPELLI Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số bằng hạng của ma trận mở rộng tức là    , A A B     r A =r A
16. hệ phương trình tuyến tính n ẩn có ma trận hệ số là A và ma trận mở rộng là Trước hết ta tính r(A) và 1. Nếu thì hệ VÔ NGHIỆM;            r A r A hay r A
17. khử Gauss. Bước 1: Viết ma trận mở rộng A A B     . Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa A về dạng ma trận bậc thang. Khi đó xảy ra 3 trường hợp: - Nếu     r A r A  thì kết luận hệ AX = B vô nghiệm. - Nếu     ( ) r A r A n S   èÈn thì hệ có 1 nghiệm, hệ đã cho tương đương với hệ tam giác: 1 1 A X B  => nghiệm X. - Nếu     ( ) r A r A r n S    è Èn thì hệ có vô số nghiệm, hệ đã cho tương đương với hệ bậc thang: ' ' A X B  => có r ẩn được tính theo n - r ẩn tùy ý.
18. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 2 4 4 2 5 7 2 8 3 x x x x x x x x x x x x                  Ma trận mở rộng của hệ là:   2 1 3 2 4 4 2 5 1 7 2 1 1 8 3 A A B                 2 1 3 2 4 4 2 5 1 7 2 1 1 8 3 A                 2 1 3 2 4 0 0 1 5 1 0 0 2 10 1                  2 1 3 2 4 0 0 1 5 1 0 0 0 0 1               Vì r(A) = 2 và   3 r A  nên hệ đã cho vô nghiệm.
19. 19 1 3 4 19 1 3 4 19 1 2 3 4 0 1 7 23 0 1 7 23 1 4 7 30 0 1 3 11 0 0 4 12 ( ) ( ) 3 A r A r A                                         => Hệ có một nghiệm duy nhất. Ví dụ 2: Giải hệ sau bằng phương pháp Gauss 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3x 4x 19 ( ) 2x + 3x 4 4x 7x 30 x I x x               Vậy nghiệm của hệ phương trình là 1 2 3 X          1 2 3 1 2 3 2 3 3 3x 4x 19 1 ( ) x + 7x 23 2 3 -4x -12 x x I x x                    
20. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 4 7 ( ) 2 3 9 2 11 x x x I x x x x x x               Vậy nghiệm của hệ phương trình là 3 3 3 3 13 2 , x X x x R x               1 2 2 1 3 3 2 2 3 3 1 2 3 1 3 2 3 2 3 1 3 4 7 1 3 4 7 [ | ] 1 2 3 9 0 1 1 2 1 1 2 11 0 2 2 4 1 3 4 7 0 1 1 2 ( ) ( ) 2 3. 0 0 0 0 3 4 7 13 ( ) 2 2 h h h h h h h h h A A B r A r A x x x x x I x x x x                                                                           
21. 4 1 2 3 4 1 2 3 4 -x + 2x - 2x + 3x = -2 2x - 4x - x - 2x = 3 3x - 6x - 4x - x = 4 Ví dụ 4: Giải hệ phương trình Lập ma trận mở rộng: 0 0 4 1 0 0 4 1 0 0 8 2 0 0 0 0 0                                    -1 2 -2 3 -2 -1 2 -2 3 -2 -1 2 -2 3 -2 A = 2 -4 -1 -2 3 -5 -5 3 -6 -4 -1 4 -10 Suy ra:     r A =r A = 2 => Hệ sẽ tương đương với hệ : 1 4 1 4 ) /10 x R R,x R                   1 2 3 4 2 4 1 2 3 4 3 4 3 4 3 4 -x +2x - 2x +3x = -2 x =(-8+5x -7x -x +2x - 2x +3x = -2 x =(4x +1) / 5 x =(4x +1) / 5 -5x + 4x = -1 x => Nghiệm tổng quát của hệ pt là: 1 4 4 1 4 1 4 x R,x R         -8+5x -7x 1+ 4x x , , , x 10 5
22. Giải và biện luận hệ phương trình Lời giải: Xét định thức của ma trận hệ số: 2 -1 m A = m 4 -2m m+2 3 -1 2 = m +7m-8 = (m-1)(m+8) Nếu à   m 1 v à m -8 thì hệ trên là hệ Cramer, nghiệm là: 3 1 2 | A | | A | | A | | A | | A | | A |       x = ,y = ,z =        2x - y + mz = m mx + 4y - 2mz = 0 m+2 x + 3y - z = 1
23. Giải và biện luận hệ phương trình 1 | A m -1 m |= 0 4 -2m 1 3 -1 2 | A 2 m m |= m 0 -2m m+2 1 -1 3 2 -1 m | A |= m 4 0 m+2 3 1 2 = 6m -6m = 6m(m-1)    3 2 = -2m -2m +4m = -2m m-1 m+2 2 = -m -7m+8 = (m-1)(-m-8)        6m -2m(m+2) x = ,y = ,z = -1 m+8 m+8        2x - y + mz = m mx + 4y - 2mz = 0 m+2 x + 3y - z = 1
24. Giải và biện luận hệ phương trình Nếu m = 1 khi đó hệ trên trở thành      2x - y + z = 1 x + 4y - 2z = 0 3x + 3y - z = 1 Hệ này có nghiệm do     r A = r A = 2 Giải hệ bằng cách đưa hệ về dạng bậc thang, ta được nghiệm: z        -2z +4 5z -1 x = ,y = ,z ; 9 9        2x - y + mz = m mx + 4y - 2mz = 0 m+2 x + 3y - z = 1
25. Giải và biện luận hệ phương trình Nếu m = -8 khi đó hệ trên trở thành     2 3    r A r A         2x - y + mz = m mx + 4y 2mz = 0 m+2 x + 3y - z = 1 8        2x - y 8z = -8x + 4y - 16z = 0 -6x + 3y - z = 1 Hệ này vô nghiệm do
26. tổng quát Hệ PTrTT thuần nhất (đọc thêm) Một số MHTT trong kinh tế 1 2 3 4 Hệ Cramer Hệ PTrTT tổng quát Chương 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
27. PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (đọc thêm) I. Điều kiện có nghiệm không tầm thường II. Cấu trúc tập hợp nghiệm, hệ nghiệm cơ bản
28. có nghiệm không tầm thường Xét hệ thuần nhất: ... ... ... ... ... ... ... ...        11 1 12 2 1n n 21 1 22 2 2n n m1 1 m2 2 mn n a x + a x + + a x = 0 a x + a x + + a x = 0 a x + a x + + a x = 0 Hệ luôn có ít nhất 1 nghiệm, là nghiệm tầm thường (0, 0,…, 0) HQ1: Hệ thuần nhất với số phương trình bằng số ẩn có nghiệm khác nghiệm tầm thường khi và chỉ khi ma trận hệ số là ma trận suy biến (có định thức bằng 0) . HQ2: Hệ thuần nhất với số phương trình nhỏ hơn số ẩn thì luôn có nghiệm khác nghiệm tầm thường (có vô số nghiệm)
29. có nghiệm khác nghiệm tầm thường Ví dụ: Tìm điều kiện của tham số m để hệ sau có nghiệm khác nghiệm tầm thường Xét ma trận hệ số Hệ trên có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi det(A) = 0           m -2 5 A = 3 1 2m-1 1 3 -m   2 det A = -7m -7m+42        mx - 2y + 5z = 0 3x + y + 2m-1 z = 0 x + 3y - mz = 0   2 = -7 m +m-6    = -7 m+3 m-2 m = -3 m = 2    
30. con nghiệm của hệ thuần nhất, hệ nghiệm cơ bản ... ... ... ... ... ... ... ...        11 1 12 2 1n n 21 1 22 2 2n n m1 1 m2 2 mn n a x + a x + + a x = 0 a x + a x + + a x = 0 a x + a x + + a x = 0 Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: ĐL: Tập hợp tất cả các nghiệm của hệ thuần nhất (1) là một không gian vectơ con của không gian vectơ Rn (không gian nghiệm) (1) ĐN: Cơ sở của không gian nghiệm của hệ thuần nhất được gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất.
31. con nghiệm của hệ thuần nhất, hệ nghiệm cơ bản Thuật toán tìm 1 hệ nghiệm cơ bản của một hệ thuần nhất :  Giải hệ thuần nhất để đưa ra nghiệm tổng quát (và tìm được r(A)) Trong công thức nghiệm có n – r(A) tham số là α1, α2, . . ., αn – r(A). (ứng với n – r(A) ẩn tự do)  n – r(A) nghiệm của hệ nghiệm cơ bản được tìm như sau:  Nghiệm thứ nhất: thay α1 = 1, α2 = 0, . . ., αn – r(A) = 0;  Nghiệm thứ hai : thay α1 = 0, α2 = 1, . . ., αn – r(A) = 0; ...  Nghiệm thứ n – r(A): thay α1 = 0, α2 = 0, . . ., αn – r(A) = 1; Chú ý: Ta có thể thay bộ n – r(A) giá trị đã gán cho các ẩn tự do (là E1, E2, . . ., En – r(A)) bởi một cơ sở bất kỳ của kgvt Rn – r(A)
32. con nghiệm của hệ thuần nhất, hệ nghiệm cơ bản Ví dụ 1: Tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình        1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 -x + x + 3x - x = 0 3x - 4x - 2x + 3x = 0 2x - 3x + x + 2x = 0 x - 2x + 4x + x = 0 Biến đổi ma trận hệ số:             -1 1 3 -1 3 -4 -2 3 A = 2 -3 1 2 1 -2 4 1              -1 1 3 -1 0 -1 7 0 0 -1 7 0 0 -1 7 0              -1 1 3 -1 0 -1 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 => Hạng của ma trận hệ số r(A) = 2
33. con nghiệm của hệ thuần nhất, hệ nghiệm cơ bản Ta được hệ phương trình Các ẩn x1, x2 là các ẩn chính; x3, x4 là các ẩn tự do. Gán x3 = α; x4 = β tùy ý, ta được được nghiệm tổng quát của hệ là:    1 2 3 4 x =10α -β,x =7α,x =α,x =β , α,β R Do r(A) = 2 nên hệ nghiệm cơ bản có 4 – 2 = 2 nghiệm: Thay α = 1, β = 0 ta được nghiệm riêng:   1 P = 10,7,1,0   2 P = -1,0,0,1 Thay α = 0, β = 1 ta được nghiệm riêng: Vậy hệ nghiệm cơ bản gồm 2 nghiệm là: {P1, P2}    1 2 3 4 2 3 -x + x +3x - x = 0 - x +7x = 0
34. con nghiệm của hệ thuần nhất, hệ nghiệm cơ bản Giải: Biến đổi ma trận hệ số:           -2 3 1 -4 A = 5 -4 -3 2 3 -1 -2 -2 Ví dụ 2: Tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có ma trận hệ số là: Ta được r(A) = 2 và hệ phương trình:           -2 3 1 -4 A = 5 -4 -3 2 3 -1 -2 -2                       -2 3 1 -4 -2 3 1 -4 0 7 -1 -16 0 7 -1 -16 0 7 -1 -16 0 0 0 0 Do r(A) = 2 nên hệ nghiệm cơ bản có 4 – 2 = 2 nghiệm:    1 2 3 4 2 3 4 -2x +3x + x - 4x = 0 7x - x -16x = 0 Các ẩn x1, x2 là các ẩn chính; x3, x4 là các ẩn tự do. Gán x3 = α; x4 = β tùy ý, ta được được nghiệm tổng quát của hệ là:        5α +10β α +16β x = ,y = ,z = α,t = β , α,β 7 7  ; 1 P = 5,1,7,0   2 P = 10,16,0,7
35. tổng quát Hệ PTrTT thuần nhất Một số MHTT trong kinh tế 1 2 3 4 Hệ Cramer Hệ PTrTT tổng quát Hệ PTrTT thuần nhất Chương 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
36. SỐ MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH TRONG KINH TẾ I. Mô hình cân bằng thị trường III. Mô hình IS – LM (đọc thêm) IV. Mô hình Input-Output của Leontief (đọc thêm) II. Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân
37. cân bằng thị trường Trong thị trường nhiều hàng hóa liên quan, giá của hàng hóa này có thể ảnh hưởng đến lượng cung và lượng cầu của các loại hàng hóa khác.   si i0 i1 1 i2 2 in n Q = a +a p +a p +...+a p i=1,2,...,n Xét thị trường gồm n hàng hóa liên quan, đánh số là 1, 2, 3,…, n Qsi là lượng cung hàng hóa i,Qdi là lượng cầu hàng hóa i,pi là giá hàng hóa i; i=1,2,..,n Với giả thiết các yếu tố khác không đổi, hàm cung và hàm cầu tuyến tính có dạng   di i0 i1 1 i2 2 in n Q =b +b p +b p +...+b p i =1,2,...,n Hàm cầu hàng hóa i: Hàm cung hàng hóa i: Mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa có dạng:        i i i i s i0 i1 1 i2 2 in n d i0 i1 1 i2 2 in n s d Q = a +a p +a p +...+a p Q = b +b p +b p +...+b p Q = Q i = 1,2,...,n Đưa hệ phương trình trên về hệ n phương trình tuyến tính với n ẩn số p1, p2,…, pn Giải hệ ta được các giá cân bằng, và thay vào hàm cung suy ra lượng cân bằng.
38. sử thị trường gồm 2 mặt hàng: hàng hóa 1 và hàng hóa 2, với hàm cung và hàm cầu như sau: Hàng hóa 1: Hàng hóa 2: 1 1 s 1 d 1 2 Q = -4+5p ; Q =10-3p +2p 2 2 s 2 d 1 2 Q = -7 + 8p ; Q = 23 + 2p - 6p Lập mô hình cân bằng thị trường với các ẩn là giá p1, p2, sau đó tìm giá cân bằng và lượng cân bằng của mỗi mặt hàng sử dụng pp ma trận nghịch đảo.      1 1 2 2 s d s d Q = Q Q = Q 1 1 2 2 1 2 -4+5p = 10-3p +2p -7+8p = 23+2p -6p        1 2 1 2 8p - 2p = 14 2p -14p = -30     1 2 1 2 4p -p = 7 -p +7p = 15     1 2 p = 64 / 27 p = 67 / 27    1 2 Q = 212 / 27 Q = 347 / 27 => lượng cân bằng là Giải: Mô hình cân bằng thị trường là: I. Mô hình cân bằng thị trường
39. sử thị trường gồm 3 mặt hàng: hàng hóa 1, 2 và 3 với hàm cung và hàm cầu như sau: Hàng hóa 1: Hàng hóa 2: 1 1 s 1 d 1 2 3 Q = -10+2p ; Q =100-5p +3p -p ; 2 2 s 2 d 1 2 3 Q = -20+5p ; Q =120+2p -8p -2p ; Hãy xác định giá cân bằng và lượng cân bằng của mỗi mặt hàng sử dụng phương pháp Cramer.      1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 -10+2p = 100-5p +3p -p -20+5p = 120+2p -8p -2p 13p = 300-10p -5p -p       1 2 3 p = 495 / 23 p = 320 / 23 p = 25 / 23       1 2 3 Q = 760 / 23 Q = 1140 / 23 Q = 325 / 23 Lượng cân bằng là Hàng hóa 3: 3 3 s 3 d 1 2 3 Q =13p ; Q = 300-10p -5p -p ;      1 2 3 1 2 3 1 2 3 7p - 3p + p = 110 2p - 13p - 2p = -140 10p + 5p + 14p = 300 Giải: Mô hình cân bằng thị trường là 3 3 d       1 1 2 2 s d s d s Q = Q Q = Q Q Q  
40. sử thị trường gồm 3 mặt hàng: hàng hóa 1, 2 và 3 với hàm cung và hàm cầu như sau: Hàng hóa 1: Hàng hóa 2: 1 1 s 1 d 1 2 3 Q = 3p ; Q =120-p +p +2p ; 2 2 s 2 d 1 2 3 Q = -10+2p ; Q =150+p -2p +p ; a. Thiết lập mô hình cân bằng thị trường b. Hãy xác định giá cân bằng và lượng cân bằng của mỗi mặt hàng sử dụng phương pháp Cramer. Hàng hóa 3: 3 3 s 3 d 1 2 3 Q = -20+5p ; Q = 250+2p +2p -3p ;
41. cân bằng kinh tế vĩ mô dạng đơn giản (đối với nền kinh tế đóng) Gọi Y là thu nhập quốc dân, E là tổng chi tiêu kế hoạch Trạng thái cân bằng được biểu diễn dưới dạng phương trình : Y = E    0 0 Y = C+I +G C = aY +b C: Tiêu dùng của các hộ gia đình; G: Chi tiêu của chính phủ; I: Chi tiêu cho đầu tư của các nhà sản xuất Tổng chi tiêu kế hoạch của toàn bộ nền kinh tế bao gồm các thành phần sau: Phương trình cân bằng trong trường hợp nền kinh tế đóng là: Y = C + G + I Giả sử I = I0, G = G0, C = aY + b (0 < a < 1, b > 0) Ta có hệ pt:     0 0 Y -C = I +G -aY +C = b II. Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô Giải hệ với các ẩn Y, C ta được mức thu nhập cân bằng và mức tiêu dùng cân bằng của nền kinh tế   0 0 0 0 b+a I +G b+I +G Y = ; C = 1-a 1-a
42. thu nhập thì khi đó hàm tiêu dùng là Trong đó Yd là thu nhập sau thuế: d C = aY +b d Y = Y - T (T là tổng thuế thu nhập) Gọi tỷ lệ thuế thu nhập là t, ta có:     d Y = Y - tY = 1- t Y, C = a 1- t Y +b Khi đó mô hình thu nhập quốc dân cân bằng là:        0 0 0 0 b+a 1- t I +G b+I +G Y = ; C = 1-a 1- t 1-a 1- t        0 0 0 0 Y -C=I +G Y = C+I +G C = a(1- t)Y +b -a(1- t)Y +C =b Giải hệ ta được thu nhập và tiêu dùng cân bằng là: II. Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô  Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô khi tính đến thuế thu nhập:
43. cân bằng kinh tế vĩ mô Ví dụ: Giả sử C = 200 + 0,75Y; I0 = 300; G0 = 400 (tính bằng triệu USD). Hãy tính mức thu nhập cân bằng và mức tiêu dùng cân bằng trong hai trường hợp: a. Không tính thuế b. Có tính thuế thu nhập là 20% (t=20%) Y = 2250 C =1550 Y = 3600 C = 2900 a.     0 0 Y = C+I +G C = aY +b b.     0 0 Y = C+I +G C = a(1- t)Y +b
44. – LM được sử dụng để phân tích trạng thái cân bằng của nền kinh tế trong hai thị trường: hàng hoá và tiền tệ.  Các ký hiệu:  Tổng cung: Y là tổng thu nhập của nền kinh tế;  Tổng cầu: E là tổng chi tiêu của nền kinh tế. Các thành phần của tổng cầu: C là tiêu dùng của các hộ gia đình; G là chi tiêu của chính phủ, I là chi tiêu cho đầu tư sản xuất; X là xuất khẩu, M là nhập khẩu.  E = C + I + G + X – M.  L là lượng cầu tiền, M0 là lượng cung tiền, (các biến trên đều tính bằng đơn vị tiền tệ) r là lãi suất (tính bằng %).  Các giả thiết của mô hình:  C = C(Y) = b + aY (đây là dạng tuyến tính của hàm tiêu dùng, trong đó: mức tiêu dùng tự định b thoả mãn b > 0; xu hướng tiêu dùng cận biên a thoả mãn 0 < a < 1 ).  I = I(r) = c – dr dạng tuyến tính của hàm đầu tư; c, d > 0.  G = G0 (chi tiêu của chính phủ theo kế hoạch là cố định). III. Mô hình IS-LM (đọc thêm)
45. X – M = 0 (nền kinh tế đóng hoặc cán cân thương mại cân bằng);  Lượng cung tiền M0 cố định  Lượng cầu tiền có quan hệ cùng chiều với thu nhập và ngược chiều với lãi suất: L = αY- βr; α, β > 0  Phương trình IS biểu diễn điều kiện cân bằng của thị trường hàng hoá, dịch vụ: Y=EY= C + I + G + X – M  Y = b + aY + c – dr + G0  (1-a)Y + dr = b + c + G0  Phương trình LM biểu diễn điều kiện cân bằng của thị trường tiền tệ: αY- βr = M0 Mô hình IS – LM quy về hệ 2 phương trình hai ẩn Y và r gồm phương trình IS và phương trình LM.     0 0 (1-a)Y +dr =b+c +G αY -βr =M III. Mô hình IS-LM (đọc thêm)
46. trình ta xác định được mức thu nhập cân bằng và lãi suất cân bằng: Nếu tính đến thuế thu nhập, hàm tiêu dùng được thay thế bằng :       0 0 0 0 dM +β b+c +G α b+c +G - 1-a M Y = ; r = αd+β(1-a) αd+β(1-a) d d b, Y Y T (1 t)Y      C = aY III. Mô hình IS-LM (đọc thêm) ĐS: a. IS: 0,32Y+5r=270; LM: 0,5Y-2r=400 b. Y=808,92 triệu USD; r=2,23%
47. IS-LM (đọc thêm)
48. của Leontief đề cập đến việc xác định tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành sản xuất trong nền kinh tế. Xét một nền kinh tế bao gồm n ngành sản xuất (1, 2,…, n), với các giả thiết sau: 1. Mỗi ngành sản xuất một loại sản phẩm hàng hóa thuần nhất; 2. Các sản phẩm đầu vào của sản xuất của mỗi ngành được sử dụng theo một tỷ lệ cố định. Tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành bao gồm:  Cầu trung gian: Từ phía các nhà SX sử dụng loại sản phẩm đó cho quá trình sx  Cầu cuối cùng: Từ phía những người sử dụng sản phẩm để tiêu dùng hoặc xk xi là tổng cầu (dạng giá trị ) đối với hàng hóa của ngành i; i =1,2,...,n xik là giá trị hàng hóa của ngành i mà ngành k cần SD cho việc SX (cầu trung gian) bi là giá trị hàng hóa của ngành i cần cho tiêu dùng & xuất khẩu (cầu cuối cùng) IV. Mô hình Input – Output của Leontief (Mô hình I/O) (đọc thêm) Tổng cầu đối với sản phẩm hàng hóa của ngành i: i i1 i2 in i x = x + x +...+ x +b ; i =1,2,...,n (1)
49. Input – Output của Leontief (đọc thêm) 1 2 n 1 2 n (1) x x x i1 i2 in i i x x x x = x + x +...+ x +b ; i =1,2,...,n Đặt: k a x ik ik x = ; i,k =1,2,...,n Ta có hệ phương trình: ... ... ... ... ... ... ... ... 1 11 1 12 2 1n n 1 2 21 1 22 2 2n n 2 n n1 1 n2 2 nn n n x = a x + a x + + a x + b x = a x + a x + + a x + b + + + x = a x + a x + + a x + b        Nếu đặt các ma trận: ... ... ... ... ... ... ...             11 12 1n 21 22 2n n1 n2 nn a a a a a a A = a a a Ma trận tổng cầu Ma trận hệ số kỹ thuật hay ma trận hệ số chi phí trực tiếp ...             1 2 n x x X = x ...             1 2 n b b B = b Ma trận cầu cuối cùng Đặt:
50.  ... ... ... ... ... ... ... ...        11 1 12 2 1n n 1 21 1 22 2 2n n 2 n1 1 n2 2 nn n n 1-a x - a x - - a x = b -a x + 1-a x - - a x = b - - - = -a x - a x - + 1-a x = b Các xi ; i =1,2,...,n; tìm được từ hệ phương trình: IV. Mô hình Input – Output của Leontief (đọc thêm) Hệ được viết dưới dạng ma trận: (E – A)X = B (E là ma trận đơn vị cấp n) Từ phương trình trên, suy ra ma trận tổng cầu là: X = (E – A)-1B Ma trận (E – A) được gọi là ma trận Leontief
51. ma trận hệ số kỹ thuật A)  Ý nghĩa mỗi phần tử aik : Để sản xuất ra 1 đơn vị giá trị hàng hóa của ngành k thì ngành k phải mua của ngành i số đơn vị giá trị hàng hóa là aik ; 0 ≤ aik < 1, mọi i,k = 1, 2,...,n.  Tổng tất cả các phần tử của cột k (0 < a1k + a2k +...+ ank < 1 ) là tổng chi phí mà ngành k phải trả cho việc mua hàng hóa của các ngành (kể cả ngành k) để làm ra 1 đơn vị giá trị hàng hóa của mình.  Tổng tất cả các phần tử của hàng k là tổng giá trị hàng hóa mà ngành k bán cho các ngành (kể cả ngành k) để làm hàng hóa trung gian. IV. Mô hình Input – Output của Leontief (đọc thêm)
52. Quan hệ trao đổi sản phẩm giữa ba ngành sản xuất và cầu hàng hóa được cho bởi bảng sau (đơn vị tính bằng triệu USD Hãy tính tổng cầu sản phẩm đối với mỗi ngành và lập ma trận hệ số kĩ thuật. IV. Mô hình Input – Output của Leontief (đọc thêm) Ngành cung ứng sản phẩm (Outputs) Ngành sử dụng sản phẩm (Inputs) Cầu cuối 1 2 3 1 20 60 10 50 2 50 10 80 10 3 40 30 20 40
53. Giả sử trong một nền kinh tế có 2 ngành sản xuất (ngành 1, 2) Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật:       0,1 0,2 A = 0,3 0,4 Cho biết lượng cầu cuối cùng đối với hàng hóa của các ngành 1, 2 lần lượt là: 17, 52 triệu USD. Hãy xác định mức tổng cầu đối với mỗi ngành. IV. Mô hình Input – Output của Leontief (đọc thêm) Giải Đặt: ma trận cầu cuối cùng, ma trận tổng cầu là 17 52       B = 1 2 x x       X = Từ hệ thức: (E – A)X = B (E là ma trận đơn vị cấp n) => X = (E – A)-1B 515 865 12 8   1 2 x = 42,92; x = 108,13 Vậy
54. Giả sử trong một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất (ngành 1, 2, 3). Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật:           0,2 0,3 0,2 A = 0,4 0,1 0,2 0,1 0,3 0,2 1. Giải thích ý nghĩa của con số 0,4 trong ma trận A; 2. Cho biết tỷ phần giá trị gia tăng (giá trị của hoạt động sản xuất) của ngành 2 trong tổng giá trị sản phẩm của ngành đó; 3. Cho biết lượng cầu cuối cùng đối với hàng hóa của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là: 10, 5, 6 triệu USD. Hãy xác định mức tổng cầu đối với mỗi ngành. 4. Xác định tổng chi phí cho nguyên liệu đầu vào của mỗi ngành. IV. Mô hình Input – Output của Leontief (đọc thêm)
55. của con số 0,4 trong ma trận A: Để ngành 1 sản xuất ra 1 đơn vị giá trị hàng hóa ( 1 đồng hay 1$ ) thì ngành 1 phải mua của ngành 2 số đơn vị giá trị hàng hóa là 0,4 (đồng hay $) 2. Tỷ phần giá trị gia tăng của ngành 2 trong tổng giá trị sản phẩm của ngành 2 là: 1 – (0,2 + 0,2 + 0,2) = 0,4 3. Gọi x1, x2, x3 lần lượt là tổng cầu của ngành 1, ngành 2 và ngành 3 thì x1, x2, x3 sẽ tìm được từ hệ phương trình: Giải hệ ta được    1 2 3 x 24,54; x 20,68; x 18,36      1 2 3 1 2 3 1 2 3 0,8x -0,3x -0,2x =10 -0,4x +0,9x -0,2x = 5 -0,1x -0,3x +0,8x = 6 4. Gọi c1, c2, c3 lần lượt là tổng chi phí cho nguyên liệu đầu vào của ngành 1, ngành 2 và ngành 3 thì ci, i = 1,2,3 sẽ tìm được từ công thức: ci = xi ( tổng cột i), i = 1,2, 3 IV. Mô hình Input – Output của Leontief (đọc thêm)

Bài tập hệ phương trình đại số tuyến tính doc năm 2024

Bài Viết Liên Quan

Quảng Cáo

Có thể bạn quan tâm

Toplist được quan tâm

Quảng cáo

Xem Nhiều

Quảng cáo

Chúng tôi

Điều khoản

Trợ giúp

Mạng xã hội