Tiếp diện tại 2 điểm trong mặt cầu là gì năm 2024
|
Mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) nhận \(\overrightarrow {OA} = \left( {1, - 2,2} \right)\) làm vecto pháp tuyến nên có dạng Show \(x - 2y + 2z + m = 0\) Do \(d\left( {O,\left( {BCD} \right)} \right) = \left| {\dfrac{m}{3}} \right| = \dfrac{1}{3} \Rightarrow m = \pm 1\) Với \(m = 1 \Rightarrow \left( {BCD} \right):x - 2y + 2z + 1 = 0\) \( \Rightarrow d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = \dfrac{{10}}{3} \ne \dfrac{8}{3}\) nên suy ra \(m = - 1\) Ảnh đẹp,18,Bài giảng điện tử,10,Bạn đọc viết,225,Bất đẳng thức,75,Bđt Nesbitt,3,Bổ đề cơ bản,9,Bồi dưỡng học sinh giỏi,41,Cabri 3D,2,Các nhà Toán học,129,Câu đố Toán học,83,Câu đối,3,Cấu trúc đề thi,15,Chỉ số thông minh,4,Chuyên đề Toán,289,congthuctoan,9,Công thức Thể tích,11,Công thức Toán,112,Cười nghiêng ngả,31,Danh bạ website,1,Dạy con,8,Dạy học Toán,279,Dạy học trực tuyến,20,Dựng hình,5,Đánh giá năng lực,1,Đạo hàm,17,Đề cương ôn tập,39,Đề kiểm tra 1 tiết,29,Đề thi - đáp án,986,Đề thi Cao đẳng,15,Đề thi Cao học,7,Đề thi Đại học,159,Đề thi giữa kì,20,Đề thi học kì,134,Đề thi học sinh giỏi,128,Đề thi THỬ Đại học,401,Đề thi thử môn Toán,65,Đề thi Tốt nghiệp,46,Đề tuyển sinh lớp 10,100,Điểm sàn Đại học,5,Điểm thi - điểm chuẩn,221,Đọc báo giúp bạn,13,Epsilon,9,File word Toán,35,Giải bài tập SGK,16,Giải chi tiết,196,Giải Nobel,1,Giải thưởng FIELDS,24,Giải thưởng Lê Văn Thiêm,4,Giải thưởng Toán học,5,Giải tích,29,Giải trí Toán học,170,Giáo án điện tử,11,Giáo án Hóa học,2,Giáo án Toán,18,Giáo án Vật Lý,3,Giáo dục,363,Giáo trình - Sách,81,Giới hạn,20,GS Hoàng Tụy,8,GSP,6,Gương sáng,208,Hằng số Toán học,19,Hình gây ảo giác,9,Hình học không gian,108,Hình học phẳng,91,Học bổng - du học,12,IMO,13,Khái niệm Toán học,66,Khảo sát hàm số,36,Kí hiệu Toán học,13,LaTex,12,Lịch sử Toán học,81,Linh tinh,7,Logic,11,Luận văn,1,Luyện thi Đại học,231,Lượng giác,57,Lương giáo viên,3,Ma trận đề thi,7,MathType,7,McMix,2,McMix bản quyền,3,McMix Pro,3,McMix-Pro,3,Microsoft phỏng vấn,11,MTBT Casio,28,Mũ và Logarit,38,MYTS,8,Nghịch lí Toán học,11,Ngô Bảo Châu,49,Nhiều cách giải,36,Những câu chuyện về Toán,15,OLP-VTV,33,Olympiad,308,Ôn thi vào lớp 10,3,Perelman,8,Ph.D.Dong books,7,Phần mềm Toán,26,Phân phối chương trình,8,Phụ cấp thâm niên,3,Phương trình hàm,4,Sách giáo viên,15,Sách Giấy,11,Sai lầm ở đâu?,13,Sáng kiến kinh nghiệm,8,SGK Mới,24,Số học,57,Số phức,34,Sổ tay Toán học,4,Tạp chí Toán học,38,TestPro Font,1,Thiên tài,95,Thống kê,2,Thơ - nhạc,9,Thủ thuật BLOG,14,Thuật toán,3,Thư,2,Tích phân,79,Tính chất cơ bản,15,Toán 10,149,Toán 11,179,Toán 12,392,Toán 9,67,Toán Cao cấp,26,Toán học Tuổi trẻ,26,Toán học - thực tiễn,100,Toán học Việt Nam,29,Toán THCS,22,Toán Tiểu học,5,toanthcs,6,Tổ hợp,39,Trắc nghiệm Toán,222,TSTHO,5,TTT12O,1,Tuyển dụng,11,Tuyển sinh,272,Tuyển sinh lớp 6,8,Tỷ lệ chọi Đại học,6,Vật Lý,24,Vẻ đẹp Toán học,109,Vũ Hà Văn,2,Xác suất,28, Bài viết Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầuBài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack) A. Phương pháp giảiQuảng cáo Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu (S) tâm I(a’; b’; c’) bán kính R. Gọi d= d( I; d) thì: d > R thì d không cắt (S). d=R thì d tiếp xúc (S). Để tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và mặt cầu ( S) ta làm như sau: Thay x= x0+ at; y= y0 + bt; z= z0 + ct vào phương trình mặt cầu \=> t= .... => Tọa độ giao điểm. d < R thì d cắt ( S) tại hai điểm A và B. Để tìm được tọa độ giao điểm ta làm như trên. * Chú ý: đường thẳng d đí qua A và có vecto chỉ phương u ⃗. Khi đó; khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d là:
B. Ví dụ minh họaVí dụ: 1 Cho mặt cầu (S): x2+ y2 + z2- 2x + 4z+ 1= 0 và đường thẳng . Biết có hai giá trị thực của tham số m để d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A; B và các mặt phẳng tiếp diện của ( S) tại A và tại B luôn vuông góc với nhau . Tích của hai giá trị đó bằng
C.14
Lời giải: + Mặt cầu ( S) có tâm I( 1; 0; -2) và bán kính R= 2 Đường thẳng d qua M(- 1; 0; m) và vtcp +Đường thẳng d cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt A và B nên IA= IB = R= 2. Lại có các mặt phẳng tiếp diện của (S) tại A và B vuông góc với nhau nên IA vuông IB. \=> Tam giác IAB vuông cân tại I. Suy ra + Mà
Suy ra m= -2 hoặc m= - 6 và tích cần tìm là ( -2). ( - 6) = 12. Chọn B. Quảng cáo Ví dụ: 2 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và và mặt cầu ( S): x2+ y2 + z2 – 2x+ 4z + 1= 0. Số điểm chung của Δ và ( S) là A.0 B.1 C.2.
Lời giải: Đường thẳng đi qua M( 0; 1; 2) và có VTCP Mặt cầu (S) có tâm I (1; 0; -2) và bán kính R= 2. Ta có
Vì d(I,Δ)>R nên không cắt mặt cầu ( S) . Chọn A. Ví dụ: 3 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và mặt cầu ( S): (x-1)2+ ( y+ 3)2 + ( z- 2)2= 1. Giá trị của m để đường thẳng không cắt mặt cầu ( S) là: Lời giải: Giao điểm nếu có của đường thẳng Δ và mặt cầu (S) là nghiệm hệ phương trình :
Thay (1); ( 2) và (3) vào ( *) ta được: (2+t+1)2+(1+mt+3)2+(-2t-2)2=1 ⇔ ( t+ 1)2 + ( mt+ 4)2+ ( 2t+ 2)2 = 1 ⇔ t2 + 2t+ 1+ m2t2 + 8mt+ 16 + 4t2 + 8t+ 4- 1= 0 ⇔ (m2 + 5)t2 + 2( 5+ 4m)t+ 20 = 0 ( **) Để không cắt mặt cầu ( S) thì (**) vô nghiệm, hay (**) có Δ’<0 ⇔ ( 5+ 4m)2 – 20( m2 + 5) < 0 ⇔ 25+ 40m+ 16m2 – 20m2 – 100< 0 ⇔ - 4m2 + 40m – 75 < 0 . Chọn A. Ví dụ: 4 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S): ( x-1)2 + ( y+3)2 + ( z- 2)2 =1và đường thằng. Giá trị của m để đường thẳng Δ tiếp xúc mặt cầu (S) là:
Lời giải: Giao điểm nếu có của đường thẳng Δ và mặt cầu (S) là nghiệm hệ phương trình :
Thay (1); ( 2) và (3) vào ( *) ta được: (2+t-1)2 + (1 + mt + 3)2 + (-2t-2)2=1 ⇔ ( t+ 1)2 + ( mt+ 4)2+ ( 2t+ 2)2 = 1 ⇔ t2 + 2t+ 1+ m2t2 + 8mt+ 16 + 4t2 + 8t+ 4- 1= 0 ⇔ (m2 + 5)t2 + 2( 5+ 4m)t+ 20 = 0 ( **) Để Δ tiếp xúc mặt cầu ( S) thì (**) có nghiệm kép nên: . Chọn B. Quảng cáo Ví dụ: 5 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S): x2 +( y+1)2 + (z- 1)2 = 4 và đường thẳng . Giá trị của m để đường thẳng d cắt mặt cầu ( S) tại hai điểm phân biệt là:
Lời giải: Giao điểm nếu có của đường thẳng d và mặt cầu ( S) là nghiệm hệ phương trình :
Thay (1); (2) ; (3) vào (*) ta được: 22 + ( 1- t+ 1)2 + ( mt- 1)2 =4 ⇔ 4+ 4 – 4t+ t2+ t + m2t2 - 2mt+ 1- 4= 0 ⇔ ( m2+ 1)t2 – ( 3+ 2m)t+ 5=0 ( **) Để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ >0 ⇔ ( 3+ 2m)2 – 4. 5.( m2 +1) > 0 ⇔ 9+ 12m + 4m2 – 20m2 – 20> 0 ⇔ - 16m2 + 12m- 11> 0 ( vô lí - vì – 16m2 + 12m- 11 < 0 với mọi m) Chọn D. Ví dụ: 6 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y+ 6z – 67= 0. Số điểm chung của Δ và( S) là: A.3. B.0. C.1
Lời giải: Đường thẳng đi qua M(-2; 0; 3) và có VTCP Mặt cầu ( S) có tâm I( 1; 2; - 3) và bán kính R= 9. Ta có
Vì d( I;Δ) < R nên cắt mặt cầu ( S) tại hai điểm phân biệt. Chọn D. Ví dụ: 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và mặt cầu ( S): ( x-1)2 + ( y+ m)2+ z2 = 1. Tìm điều kiện của m để đường thẳng d và mặt cầu ( S) có điểm chung?
Lời giải: Giao điểm nếu có của đường thẳng d và mặt cầu ( S) là nghiệm hệ phương trình :
Thay (1); ( 2) và ( 3)vào ( *) ta được: ( 1- t – 1)2 + ( 1+ m)2 + t2 = 1 ⇔ t2+ 1+ 2m+ m2 + t2 – 1= 0 ⇔ 2t2 + 2m + m2 = 0 ⇔ t2 = - m- m2 ( **) Để đường thẳng d và mặt cầu ( S) có điểm chung khi và chỉ khi phương trình ( **) có nghiệm nên: - m – m2 ≥ 0 ⇔ - 1 ≤ m ≤ 0 . Chọn A. C. Bài tập vận dụngCâu 1: Cho mặt cầu (S): x2+ y2 + z2+ 2x – 4y+ 4z= 0 và đường thẳng . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đường thẳng d cắt mặt cầu ( S) tại hai điểm phân biệt A.2
C.4
Lời giải: + Mặt cầu ( S) có tâm I(- 1; 2; - 2) và bán kính R= 3 Đường thẳng d qua M( 2; 0; m) và vtcp
+ Để đường thẳng d cắt mặt cầu ( S) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi:
Mà m nguyên nên m= - 5; m= - 4 hoặc m = -3 Chọn B. Quảng cáo Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và và mặt cầu ( S): x2+ y2 + z2 – 2x- 2z + 1= 0. Số điểm chung của và ( S) là A.0 B.1 C.2.
Lời giải: Đường thẳng d đi qua M( 1; -2; 0) và có VTCP . Mặt cầu (S) có tâm I (1; 1; 0) và bán kính R= 1. Ta có:
Vì d( I; d)> 1 nên d không cắt mặt cầu ( S) . Chọn A. Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và mặt cầu ( S): x2+ ( y- 2)2 + ( z+ 2)2= 1. Giá trị của m để đường thẳng d không cắt mặt cầu ( S) là : Lời giải: Giao điểm nếu có của đường thẳng d và mặt cầu (S) là nghiệm hệ phương trình :
Thay (1); ( 2) và (3) vào ( *) ta được: x ( 1- t)2 + (mt- 2)2 + ( 2+ 2)2 = 1 ⇔ 1- 2t + t2 + m2t2 – 4mt + 4 + 16 – 1= 0 ⇔ ( m2+1) t2 - 2( 1+ 2m)t + 20= 0 ( **) Để d không cắt mặt cầu ( S) thì (**) vô nghiệm, hay (**) có Δ’<0 ⇔ (1+ 2m)2 – 20( m2 + 1) < 0 ⇔ 1+ 4m+ 4m2 – 20m2 – 20< 0 ⇔ - 16m2 + 4m – 19< 0 luông đúng với mọi m ( vì hệ số a= -16 < 0 và Δ’<0 với mọi m) Chọn D. Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S): x2 + ( y+3)2 + z2 = 4 và đường thẳng Giá trị của m để đường thẳng d tiếp xúc mặt cầu (S) là:
C.không có giá trị nào của m thỏa mãn D. Lời giải: Giao điểm nếu có của đường thẳng d và mặt cầu (S) là nghiệm hệ phương trình :
Thay (1); ( 2) và (3) vào ( *) ta được: ( - 1+ 2t)2 + (0+ 3)2 + ( - 1+ mt)2 = 4 ⇔ 1- 4t + 4t2+ 9+ 1- 2mt + m2t2 – 4= 0 ⇔ ( m2+ 4)t2 – 2( 2+ m) t+ 7= 0 Để d tiếp xúc mặt cầu ( S) thì (**) có nghiệm kép nên:
⇔ 4+ 4m+ m2 - 7m2 – 28 = 0 ⇔ - 6m2+ 4m- 24= 0 ( phương trình vô nghiệm vì Δ= 42-4.( -6).( -24)<0 Vậy không có giá trị nào của m để d tiếp xúc với mặt cầu Chọn C. Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S): (x- 2)2 +( y-1)2 + (z- 1)2 =1 và đường thẳng . Giá trị của m để đường thẳng d cắt mặt cầu ( S) tại hai điểm phân biệt là:
Lời giải: Giao điểm nếu có của đường thẳng d và mặt cầu ( S) là nghiệm hệ phương trình :
Thay (1); (2) ; (3) vào (*) ta được: ( t- 2)2 + ( - t- 1)2 + (mt- 1)2 = 1 ⇔ t2 – 4t + 4 + t2 + 2t +1+ m2 t2 - 2mt + 1- 1= 0 ⇔ ( m2 + 2)t2 – 2( 1+ m)t+ 5= 0 Để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ' >0 ⇔ (1+m)2 – 5( m2+ 2) > 0 ⇔ 1+ 2m+ m2 - 5m2 – 10> 0 ⇔ - 4m2 + 2m- 9 > 0 vô lí vì hệ số a= -4 < 0 và Δm= 4- 4( -4). (-9)< 0 nên - 4m2 + 2m- 9< 0 với mọi m. Chọn D Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và và mặt cầu (S): x2+ y2 + z2 – 2x + 4y - 2z – 3= 0. Số điểm chung của Δ và( S) là:
B.0. C.1
Lời giải: Đường thẳng d đi qua M(1; 1;0) và có VTCP Mặt cầu ( S) có tâm I(1; -2; 1) và bán kính R= 3. Ta có
Vì d( I;Δ)> R nên d không cắt mặt cầu ( S). Chọn B. Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và mặt cầu ( S): ( x+2)2 + ( y- m)2+ (z-1)2 = 4. Tìm điều kiện của m để đường thẳng d và mặt cầu ( S) có điểm chung?
Lời giải: Giao điểm nếu có của đường thẳng d và mặt cầu ( S) là nghiệm hệ phương trình :
Thay (1); ( 2) và ( 3)vào ( *) ta được: ( -t+2)2+ ( t- m)2 + ( 3-1)2 = 4 ⇔ t2 – 4t + 4 + t2 – 2mt + m2 + 4- 4= 0 ⇔ 2t2 – 2( 2+ m)t+ 4+ m2 = 0 ( **) Để đường thẳng d và mặt cầu ( S) có điểm chung khi và chỉ khi phương trình ( **) có nghiệm nên: Δ'≥0 ⇔ ( 2+ m)2 – 2( 4 +m2)≥0 ⇔ 4+ 4m+ m2 – 8 – 2m2 ≥0 ⇔ - m2+ 4m- 4≥0 ⇔ - (m-2)2≥0 ⇔ m= 2 Chọn B. D. Bài tập tự luyệnBài 1. Số giao điểm của đường thẳng và mặt cầu tối đa có thể có là:
Bài 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 = 9, điểm M(1;1;2) và mặt phẳng (P): x + y + z – 4 = 0. Gọi Δ là đường thẳng đi qua M, thuộc (P) và cắt (S) tại hai điểm A, B sao cho AB nhỏ nhất. Biết rằng Δ có một véctơ chỉ phương u→1;a;b. Tính T = a − b. Bài 3. Cho mặt cầu (S): (x + 2)2 + (y − 1)2 + (z + 5)2 = 109 và đường thẳng Δ: x=−5+3ty=−1+5tz=9−4t.
Bài 4. Cho mặt cầu có phương trình: x2 + y2 + z2 – 4x – 6y + 4z – 5 = 0. Mặt cầu cắt trục Ox tại A, B. Tính độ dài AB. Bài 5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4y + 1 = 0 và đường thẳng d: x=−2ty=1+yz=2−t. Tìm số điểm chung của đường thẳng d và mặt cầu (S)? Bài 6. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x+11=y2=z−1−1 và điểm I(2; 1 ;0). Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I và cắt d tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác IAB vuông. Bài 7. Trong không gian tọa độ Oxyz, lập phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; −1) cắt đường thẳng d: x=1+2ty=−5+tz=−15−2t tại A, B với AB = 16. Bài 8. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x−2−1=y−32=z−11 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 − 2x + 4y = 0. Viết phương trình đường thẳng Δ qua M(1; −1; 0) cắt đường thẳng d đồng thời cắt mặt cầu (S) tại A, B sao cho AB = 4. Bài 9. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x − 2y − 2z + 10 = 0 và 2 đường thẳng Δ1: x−21=y1=z−11 và Δ2: x−21=y1=z+34 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc Δ1 đồng thời tiếp xúc với Δ2 và (P). Bài 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(−2; −4; 5). Viết phương trình của mặt cầu có tâm là A và cắt trục Oz tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông. Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack) Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Săn shopee siêu SALE :
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official |
