VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Viết phương trình đường tròn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.
Nội dung bài viết Viết phương trình đường tròn: Viết phương trình đường tròn. Phương pháp giải. Cách 1: Tìm toạ độ tâm I[a; b] của đường tròn [C]. Tìm bán kính R của đường tròn [C]. Viết phương trình của [C] theo dạng. Cách 2: Giả sử phương trình đường tròn [C]. Từ điều kiện của đề bài thành lập hệ phương trình với ba ẩn là a, b, c. Giải hệ để tìm a, b, c từ đó tìm được phương trình đường tròn [C]. [C] tiếp xúc với đường thẳng A tại IA = d[I] = R. [C] tiếp xúc với hai đường thẳng A và A. Các ví dụ. Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn trong môi trường hợp sau: a] Có tâm I[1; -5] và đi qua O[0; 0]. b] Nhận AB làm đường kính với A[1; 1], B[7; 5]. c] Đi qua ba điểm: M[-2, 4], P[6; -2]. Lời giải: a] Đường tròn cần tìm có bán kính là OI = 1 + 5 = V26 nên có phương trình là [x – 1] + [y + 5] = 26. b] Gọi I là trung điểm của đoạn AB suy ra [4; 3]. Đường tròn cần tìm có đường kính là AB suy ra nó nhận I[4; 3] làm tâm và bán kính R = AI = 13 nên có phương trình là [1 – 4] + [y – 3] = 13. c] Gọi phương trình đường tròn [C] có dạng do đường tròn đi qua ba điểm M, N, P nên ta có hệ phương trình. Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: a + 2 – 43 – 29 – 20 = 0. Nhận xét: Đối với ý c] ta có thể làm theo cách sau: Gọi I [c; g] và R là tâm và bán kính đường tròn cần tìm. Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn [C] trong các trường hợp sau: a] [C] có tâm I[-1; 2] và tiếp xúc với đường thẳng A: 1 – 2 + 7 = 0. b] [C] đi qua A[2; -1] và tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox và Og. c] [C] có tâm nằm trên đường thẳng d: 0 – 6g – 10 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng có phương trình d: 32 + 4y + 5 = 0 và d : 40 – 34 – 5 = 0. Lời giải: a] Bán kính đường tròn [C] chính là khoẳng cách từ 1 tới đường thẳng A nên phương trình đường tròn [C]. b] Vì điểm A nằm ở góc phần tư thứ tư và đường tròn tiếp xúc với hai trục toạ độ nên tâm của đường tròn có dạng I[R; -3] trong đó R là bán kính đường tròn [C]. Vậy có hai đường tròn thoả mãn đầu bài vì đường tròn cần tìm có tâm K nằm trên đường thẳng d nên gọi K. a] Mặt khác đường tròn tiếp xúc với d, nên khoảng cách từ tâm I đến hai đường thẳng này bằng nhau và bằng bán kính R suy ra. Vậy có hai đường tròn thỏa mãn có phương trình. Ví dụ 3: Cho hai điểm A[3; 0] và B[0; 6]. a] Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. b] Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB.
Lời giải: a] Ta có tam giác OAB vuông ở O nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền AB suy ra bán kính R = IA = [8 – 4] + [0 – 3] = 5. Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là 25. b] Ta có OA = 8; OB = 6; AB mặt khác vì cùng bằng diện tích tam giác ABC dễ thấy đường tròn cần tìm có tâm thuộc góc phần tư thứ nhất và tiếp xúc với hai trục tọa độ nên tâm của đường tròn có tọa độ là [2; 2]. Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là 4. Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d: V30 + y = 0, và d. Gọi [C] là đường tròn tiếp xúc d với d’ tại A, cắt d tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B. d. Viết phương trình của [C], biết tam giác ABC có diện tích bằng và điểm A có hoành độ dương.
Xét đường tròn tâm I[a, b] có bán kính R, ta có phương trình đường tròn là:
[x - a]² + [y - b]² = R²
Xét phương trình tổng quát của đường tròn tâm I[a, b] có bán kính R là:
x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 trong đó \[ R= \sqrt{a^2+b^2-c}\] [đk: a² + b² – c > 0]
II. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
Xét đường tròn tâm I[a, b], cho điểm \[ M_o[x_o; y_o]\] thuộc đường tròn [I], gọi ∆ là tiếp tuyến với [I] tại Mo, ta có phương trình tiếp tuyến ∆:
[∆]: \[ [x_o-a].[x-x_o]+[y_o-b].[y-y_o]=0\]
III. CÁCH DẠNG BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Dạng 1: Nhận dạng phương trình bậc 2 là phương trình đường tròn, xác định tâm và bán kính của đường tròn.
Cách 1:
Bước 1: Đưa phương trình bậc 2 đã cho về dạng: [C] [x - a]² + [y - b]² = m.
Bước 2: Xét m:
- Nếu m < 0 ⇒ [C] không phải là phương trình đường tròn.
- Nếu m > 0 ⇒ [C] là phương trình đường tròn tâm I[a, b] có bán kính \[ R= \sqrt{m}\].
Cách 2:
Bước 1: Đưa phương trình bậc 2 đã cho về dạng: [C] x² + y² – 2ax – 2by + c = 0.
Bước 2: Xét m = a² + b² - c:
- Nếu m ≤ 0 ⇒ [C] không phải là phương trình đường tròn.
- Nếu m > 0 ⇒ [C] là phương trình đường tròn tâm I[a, b] có bán kính \[ R= \sqrt{a^2+b^2-c}\].
Dạng 2: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm cho trước
Cách 1:
Bước 1: Tìm tọa độ tâm I[a; b] của đường tròn [C] đi qua 2 điểm A, B cho trước ⇔ IA² = IB² = R².
Bước 2: Dựa vào tọa độ tâm I tìm được bán kính R đường tròn [C]: IA² = IB² = R².
Bước 3: Viết phương trình [C] có dạng: [x – a]² + [y – b]² = R².
Cách 2:
Bước 1: Ta có phương trình tổng quát đường tròn [C] cần tìm là: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0.
Bước 2: Từ điều kiện của bài toán đã cho thiết lập hệ phương trình 3 ẩn a, b, c.
Bước 3: Giải hệ phương trình tìm a, b, c thay vào phương trình đường tròn [C]: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0.
Dạng 3:Viết phương trình đường tròn khi tiếp xúc với đường thẳng cho trước.
Dựa vào các tính chất của tiếp tuyến đường tròn:
- Đường tròn [C] tiếp xúc với đường thẳng [Δ] d[I,Δ] = R.
- Đường tròn [C] tiếp xúc với đường thẳng [Δ] tại điểm A ⇔ d [I,Δ] = IA = R.
- Đường tròn [C] tiếp xúc với 2 đường thẳng [Δ1] và [Δ2] ⇔ d [I,Δ1] = d [I,Δ2] = R.
Dạng 4: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn khi biết phương trình đường tròn cho trước.
Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến [∆] của đường tròn tại điểm \[ M_o[x_o; y_o]\] thuộc đường tròn [C] cho trước:
Bước 1: Tìm tọa độ tâm I[a; b] của đường tròn [C] cho trước.
Bước 2: Phương trình tiếp tuyến với [C] tại \[ M_o[x_o; y_o]\] có dạng: \[ [x_o-a].[x-x_o]+[y_o-b].[y-y_o]=0\]
Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến [∆] của đường tròn khi chưa biết tiếp điểm:
Dựa vào tính chất của tiếp tuyến đường tròn [C] tâm I, bán kính R ⇔ d [I, ∆] = R.
Dạng 4: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác
III. BÀI TẬP MINH HỌA VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC
Ví dụ: Phương trình đường tròn [C] đi qua 3 điểm A[4;-1], B[0;3], C[4;7]. Lập phương trình tiếp tuyến [∆] tại điểm A.
Lời giải tham khảo:
Ta có phương trình tổng quát đường tròn [C] có dạng: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0.
Vì [C] đi qua 3 điểm A, B, C nên thay lần lượt toạ độ A, B, C vào phương trình đường tròn [C] ta có hệ sau:
\[\left\{\begin{matrix} 4^2 + [-1]^2 – 2a.4 – 2b.[-1] + c = 0\\ 0^2 + 3^2 – 2a.0 – 2b.3 + c = 0\\ 4^2 + 7^2 – 2a.4 – 2b.7 + c = 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} -8a+2b+c=-17\\ -2b+c=-9\\ -8a-14b+c=-65 \end{matrix}\right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=4\\ b=3\\ c=-9 \end{matrix}\right.\]
⇒ Đường tròn [C] có tâm I[4;3].
Phương trình đường tròn [C] là: [x - 4]² + [y - 3]² = 16.
Đường tròn [C] có tâm I[4;3] có tiếp tuyến [∆] tại điểm A[4;-1]:
⇒ = [4 - 4].[x - 4] + [-1 - 3].[y +1] = 0 ⇔ y = -1
Phương trình tiếp tuyến [∆] tại điểm A: y = -1
Phương trình đường tròn là một phần kiến thức của chương trình hình học lớp 10. Nhìn chung, phần kiến thức này khá đơn giản, dễ hiểu, do vậy, bạn cần để tâm 1 chút là có thể nắm vững. Bài viết này, Boxthuthuat sẽ chia sẻ với các bạn phần lý thuyết, các công thức và cách giải các dạng bài tập về phương trình đường tròn một cách đầy đủ, ngắn gọn, chi tiết và dễ hiểu.
Phương trình đường tròn
Phương trình đường tròn tâm I[a; b], bán kính R là:
[x – a]2 – [y – b]2 = R2
Nếu a2 + b2 – c > 0 thì phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn tâm I[a;b], bán kính:
Nếu a2 + b2 – c = 0 thì chỉ có 1 điểm M[x; y] thoả mãn phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0
Nếu a2 + b2 – c < 0 thì không có điểm M[x; y] nào thoả mãn phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Cho điểm Mo[xo; yo] nằm trên đường tròn [C] tâm I[a; b]. Gọi ∆ là tiếp tuyến với [C] tại Mo có phương trình:
Các dạng bài tập và phương pháp giải
Dạng 1: Nhận dạng một phương trình bậc 2 là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn.
Dạng 2: Lập phương trình đường tròn
Cách 1:
- Tìm tọa độ tâm I[a; b] của đường tròn [C]
- Tìm bán kính R của [C]
- Viết phương trình [C] theo dạng: [x – a]2 + [y – b]2 = R2 [1]
Chú ý:
- [C] đi qua A, B ⇔ IA2 = IB2 = R2.
- [C] đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại A ⇔ IA = d[I, ∆].
- [C] tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 và ∆2
⇔ d[I, ∆1] = d[I, ∆2] = R
Cách 2:
- Gọi phương trình đường tròn [C] là x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 [2]
- Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ba ẩn số là: a, b, c
- Giải hệ phương trình tìm a, b, c để thay vào [2], ta được phương trình đường tròn [C]
Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn.
Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm Mo[xo;yo] thuộc đường tròn [C]
- Tìm tọa độ tâm I[a,b] của đường tròn [C]
- Phương trình tiếp tuyến với [C] tại Mo[xo;yo] có dạng:
Loại 2: Lập phương trình tiếp tuyến của ∆ với [C] khi chưa biết tiếp điểm: dùng điều kiện tiếp xúc với đường tròn [C] tâm I, bán kính R ⇔ d [I, ∆] = R
Trên đây là những kiến thức cơ bản của phương trình đường tròn. Nếu bạn có thắc mắc gì về các kiến thức này, hãy comment bên dưới bài viết này nhé!