Bài 3.40 trang 133 sbt đại số và giải tích 11
\(\begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_2} = 2\\{u_3} = 2{u_2} - {u_1} + 1 = 2.2 - 1 + 1 = 4\\{u_4} = 2{u_3} - {u_2} + 1 = 2.4 - 2 + 1 = 7\\{u_5} = 2{u_4} - {u_3} + 1 = 2.7 - 4 + 1 = 11\end{array}\)
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Cho dãy số\(\left( {{u_n}} \right) :\) \({\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1,{u_2} = 2\\{u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 1{\rm{ voi n}} \ge {\rm{2}}{\rm{.}}\end{array} \right.\) LG a Viết năm số hạng đầu của dãy số Phương pháp giải: Thay các giá trị của \(n\) từ \(1\) đến \(5\) để tìm \(5\) số hạng đầu. Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l} Năm số hạng đầu là \(1,2,4,7,11.\) LG b Lập dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}.\) Chứng minh dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng Phương pháp giải: Từ công thức truy hồi của \(\left( {{u_n}} \right)\) suy ra công thức truy hồi của \(\left( {{v_n}} \right)\) và kết luận. Lời giải chi tiết: Từ công thức xác định dãy số ta có \({u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 1\) hay \({u_{n + 1}} - {u_n} = {u_n} - {u_{n - 1}} + 1.{\rm{ }}\left( 1 \right)\) Vì \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\) nên từ (1), ta có \({v_n} = {v_{n - 1}} + 1\) với \(n \ge 2.\left( 2 \right)\) Vậy \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng với \({v_1} = {u_2} - {u_1} = 1,\) công sai \(d = 1.\) hay \({v_n} = {v_1} + \left( {n - 1} \right)d \) \(= 1 + \left( {n - 1} \right).1 = n\) LG c Tìm công thức tính \({u_n}\) theo \(n\) Phương pháp giải: Tính \({v_1},{v_2},...,{v_{n - 1}}\) rồi cộng các kết quả, rút gọn suy ra \({u_n}\). Lời giải chi tiết: Để tính \({u_n},\) ta viết \(\begin{array}{l}{v_1} = 1\\{v_2} = {u_3} - {u_2}\\{v_3} = {u_4} - {u_3}\\...\\{v_{n - 2}} = {u_{n - 1}} - {u_{n - 2}}\\{v_{n - 1}} = {u_n} - {u_{n - 1}}\end{array}\) Cộng từng vế \(n - 1\) hệ thức trên và rút gọn, ta được \({v_1} + {v_2} + ... + {v_{n - 1}}\)\( = 1 - {u_2} + {u_n} = 1 - 2 + {u_n} = {u_{n}-1}\) Suy ra \({u_n} = 1 + {v_1} + {v_2} + ... + {v_{n - 1}}\) \(=1+S_{n-1}\) \( = 1 + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}.\)
|