- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Biết \[\tan a + \cot a = k.\]
LG a
Tìm \[\tan^2a + \cot^2a.\]
Lời giải chi tiết:
\[{\tan ^2}a + {\cot ^2}a\]
\[= {[\tan a + \cot a]^2} - 2\tan a\cot a = {k^2} - 2\]
LG b
Tìm \[\tan^4a + \cot^4a.\]
Lời giải chi tiết:
\[{\tan ^4}a + {\cot ^4}a \]
\[= {[{\tan ^2}a + {\cot ^2}a]^2} - 2{\tan ^2}a.{\cot ^2}a\]
\[= {[{k^2} - 2]^2} - 2 = {k^4} - 4{k^2} + 2.\]
LG c
Tìm \[\tan^6a + \cot^6a.\]
Lời giải chi tiết:
Ta có
\[\begin{array}{l}{\tan ^6}a + {\cot ^6}a \\= {[{\tan ^2}a + {\cot ^2}a]^3} - 3{\tan ^2}a.{\cot ^2}a[{\tan ^2}a + {\cot ^2}a]\\= {[{k^2} - 2]^3} - 3[{k^2} - 2]\\= [{k^2} - 2][{k^4} - 4{k^2} + 1].\end{array}\]
LG d
Chứng minh : \[|k|\,\, \ge 2\].
Lời giải chi tiết:
Thay \[\cot a = \dfrac{1}{{\tan a}}\] dẫn đến \[{\tan ^2}a - k\tan a + 1 = 0\]. Vậy \[\tan a\] là nghiệm của phương trình \[{x^2} - kx + 1 = 0\] nên \[\Delta = {k^2} - 4 \ge 0\] hay \[|k| \ge 2\].