Bài 9 trang 114 sgk toán hình 11 năm 2024

Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC \) có \(SH\) là đường cao. Chứng minh \(SA ⊥ BC\) và \(SB ⊥ AC\).

Giải

Chóp tam giác đều nên ta có \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\)

\(SH ⊥ (ABC) \Rightarrow SH ⊥ BC\) và \(AH ⊥ BC\) (vì \(H\) là trực tâm)

Suy ra \( BC ⊥ (SAH)\)

\(SA\subset (SAH)\Rightarrow BC ⊥ SA\).

Chứng minh tương tự, ta có \(SB ⊥ AC\).

Bài 10 trang 114 sgk Hình học 11

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng \(a\). Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \( ABCD\).

1. Tính độ dài đoạn thẳng \(SO\).

2. Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn \(SC\). Chứng minh hai mặt phẳng \((MBD)\) và \((SAC)\) vuông góc với nhau.

3. Tính độ dài đoạn \(OM\) và tính góc giữa hai mặt phẳng \((MBD)\) và \((ABCD)\).

Giải

1. Hình chóp tứ giác đều nên \(SO\bot (ABCD)\). Do đó \(SO\bot AC\)

Xét tam giác \(SOA\) vuông tại \(O\):

\(SO = \sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\)

2. \(BD\bot AC\) , \(BD\bot SO\) nên \(BD \bot (SAC)\),

Mà \(BD ⊂ (MBD)\) do đó \((MBD) ⊥ (SAC)\).

3. \(OM =\frac{SC}{2}=\frac{a}{2}\) (trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông thì bằng nửa cạnh ấy).

\( \Delta SDC = \Delta SBC(c.c.c)\) suy ra \(DM=BM\) suy ra tam giác \(BDM\) cân tại \(M\)

\(OM\) vừa là trung tuyến đồng thời là đường cao nên \(OM\bot BD\)

\(\left. \matrix{ (MBD) \cap (ABCD) = BD \hfill \cr OM \bot BD \hfill \cr OC \bot BD \hfill \cr} \right\} \Rightarrow \) góc giữa hai mặt phẳng \((MBD)\) và \((ABCD)\) là \(\widehat {MOC}\)

Ta có \(OM=\frac{SC}{2}=\frac{a}{2}\) hay \(OM=MC\) Tam giác \(OMC\) vuông cân tại \(M\)

\((\widehat{(MBD);(ABCD)})=(\widehat{MOC})=45^{0}.\)

Bài 11 trang 114 sgk Hình học 11

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là một hình thoi tâm \(I\) cạnh \(a\) và có góc \(A\) bằng \(60^{0},\) cạnh \(SC=\frac{a\sqrt{6}}{2}\) và \(SC\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\).

1. Chứng minh mặt phẳng \((SBD)\) vuông góc với mặt phẳng \((SAC)\).

2. Trong tam giác \(SCA\) kẻ \(IK\) vuông góc với mặt phẳng \((SAC)\). Hãy tính độ dài \(IK\)

3. Chứng minh \(\widehat{BKD}=90^{0}\) và từ đó suy ra mặt phẳng \((SAB)\) vuông góc với mặt phẳng \((SAD)\).

Giải

(H.3.50)

1. \(SC\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\) suy ra \(SC\bot BD\) (1)

\(ABCD\) là hình thoi nên \(AC\bot BD\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BD ⊥ (SAC)\)

\(BD\subset (SBD)\Rightarrow (SBD) ⊥ (SAC)\).

2. Xét tam giác vuông \(ABI\) có: \(AI=AB.\cos 30^0={{a\sqrt 3 } \over 2}\Rightarrow AC = 2AI = a\sqrt 3 \)

Xét tam giác vuông \(SAC\) có: \(SA=\sqrt {A{C^2} + S{C^2}} = \sqrt {3{a^2} + {{6{a^2}} \over 4}} =\frac{3a}{\sqrt{2}}.\)

Hai tam giác vuông \(SCA\) và \(IKA\) đồng dạng (g.g) nên \(\frac{IK}{SC}=\frac{AI}{AS}\Rightarrow IK=\frac{AI.SC}{AS}=\frac{a}{2}.\)

3. \(IK = IB = ID = \frac{a}{2}\) nên tam giác \(BKD\) vuông tại \(K\). Vậy \(\widehat{BKD}=90^{0}.\)

\(SA\) cùng vuông góc với \(BD\) và \(IK\) nên \(SA ⊥ (DKB)\); \(DK\) và \(BK\) cùng vuông góc với \(SA\). Vậy góc \(\widehat {BKD}\) là góc giữa \((SAD)\) và \((SAB)\) và \(\widehat{BKD}=90^{0}\) \(\Rightarrow (SAD) ⊥ (SAB)\).

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là một hình thoi tâm \(I\) cạnh \(a\) và có góc \(A\) bằng \(60^{0},\) cạnh \(SC=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\) và \(SC\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\).

1. Chứng minh mặt phẳng \((SBD)\) vuông góc với mặt phẳng \((SAC)\).

2. Trong tam giác \(SCA\) kẻ \(IK\) vuông góc với \(SA\) tại \(K\). Hãy tính độ dài \(IK\)

3. Chứng minh \(\widehat{BKD}=90^{0}\) và từ đó suy ra mặt phẳng \((SAB)\) vuông góc với mặt phẳng \((SAD)\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

1. Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

2. Chứng minh tam giác \(SCA\) và \(IKA\) đồng dạng, từ đó suy ra tỉ số các cạnh và tính \(IK\).

3. Chứng minh tam giác \(BKD\) có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy.

Xác định góc giữa hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SAD)\) và chứng minh góc đó bằng \(90^0\).

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

1. \(SC \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SC \bot BD\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(ABCD\) là hình thoi nên \(AC\bot BD\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(BD ⊥ (SAC)\).

Mà \(BD\subset (SBD)\Rightarrow (SBD) ⊥ (SAC)\).

2. Xét tam giác \(ABD\) có \(AB=AD\) và góc \(A=60^0\) nên là tam giác đều.

Do đó \(AI=\dfrac {a\sqrt 3 } 2\Rightarrow AC = 2AI = a\sqrt 3 \)

\(SC \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SC \bot CA\) nên tam giác \(SAC\) vuông tại \(C\).

Xét tam giác vuông \(SAC\) có: \(SA=\sqrt {A{C^2} + S{C^2}} = \sqrt {3{a^2} + \dfrac {6{a^2}} 4} \) \(=\dfrac{3a}{\sqrt{2}}.\)

Xét \(\Delta SCA\) và \(\Delta IKA\) có:

\(\left\{ \begin{array}{l} A\, \text {chung}\\ \widehat {SCA} = \widehat {IKA} = {90^0} \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) \(\Delta SCA \backsim \Delta IKA\,\,\left( {g.g} \right)\)

\(\Rightarrow \dfrac{IK}{SC}=\dfrac{AI}{AS}\) \(\Rightarrow IK=\dfrac{AI.SC}{AS}=\dfrac{a}{2}.\)

3. Dễ thấy \(\Delta ABD\) đều nên \(BD = a \) \(\Rightarrow IK = \dfrac{1}{2}BD\) nên \(\Delta BKD\) vuông tại \(K\).

Vậy \(\widehat{BKD}=90^{0}.\)

Ta có: \(BD \bot \left( {SAC} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow BD \bot SA\)

\(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot SA\\IK \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {BKD} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA \bot BK\\SA \bot DK\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\\ \left( {SAB} \right) \supset BK \bot SA\\ \left( {SAD} \right) \supset DK \bot SA \end{array} \right.\\ \end{array}\)

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SAD)\) bằng góc giữa hai đường thẳng \(BK\) và \(DK\) là góc \(\widehat{BKD}=90^{0}.\) (đpcm)

Loigiaihay.com

• Góc giữa hai mặt phẳng
• Bài 10 trang 114 SGK Hình học 11 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a...
• Bài 9 trang 114 SGK Hình học 11 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC...
• Bài 8 trang 114 SGK Hình học 11 Giải bài 8 trang 114 SGK Hình học 11. Tính độ dài đường chéo của một hình lập phương cạnh a. Bài 7 trang 114 SGK Hình học 11

Giải bài 7 trang 114 SGK Hình học 11. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, BC = b, CC' = c...