- LG a
- LG b
Chứng minh rằng:
LG a
Nếu x2+ y2= 1 thì \[|x + y|\,\, \le \sqrt 2 \]
Phương pháp giải:
Áp dụng bđt 2xy x2+ y2
Lời giải chi tiết:
Cách 1: Ta có: \[{\left[ {x - y} \right]^2} \ge 0 \] \[\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2xy \ge 0 \] \[\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy\]
Khi đó: [x + y]2= x2+ y2+ 2xy
x2+ y2+ x2+ y2= 2
\[|x + y|\,\, \le \sqrt 2 \]
Dấu = xảy ra khi
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = y\\
{x^2} + {y^2} = 1
\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = y\\
2{x^2} = 1
\end{array} \right.\] \[\Leftrightarrow x = y = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}\]
Cách 2:Áp dụng bất đẳng thức bu- nhi-a-cốp-xki cho hai bộ số [1; 1] và [x, y] ta được:
\[\eqalign{
& {[x + y]^2} = {[x.1 + y.1]^2} \cr &\le [{x^2} + {y^2}][{1^2} + {1^2}] = 2 \cr
& \Rightarrow |x + y| \le \sqrt 2 \cr} \]
LG b
Nếu 4x 3y = 15 thì x2+ y2 9
Phương pháp giải:
Áp dụng bđt Bunhia:
\[{\left[ {ax + by} \right]^2} \le \left[ {{a^2} + {b^2}} \right]\left[ {{x^2} + {y^2}} \right]\]
Lời giải chi tiết:
Áp dụng bất đẳng thức Bu- nhi-a cốp- xki cho bộ hai số [4; -3] và [ x; y] ta được:
\[\begin{array}{l}{\left[ {4x - 3y} \right]^2} \le \left[ {{4^2} + {{\left[ { - 3} \right]}^2}} \right]\left[ {{x^2} + {y^2}} \right]\\ \Leftrightarrow {15^2} \le 25\left[ {{x^2} + {y^2}} \right]\\ \Leftrightarrow 9 \le {x^2} + {y^2}\\ \Rightarrow {x^2} + {y^2} \ge 9\end{array}\]
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{x}{4} = \frac{y}{{ - 3}}\\
4x - 3y = 15
\end{array} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{12}}{5}\\y = - \frac{9}{5}\end{array} \right.\]
Cách khác:
Vì 4x 3y = 15 \[\Rightarrow y = {4 \over 3}x - 5\]
Do đó:
\[\eqalign{
& {x^2} + {y^2} = {x^2} + {[{4 \over 3}x - 5]^2} \cr&= {x^2} + {{16} \over 9}{x^2} - {{40} \over 3}x + 25 \cr
& ={{25} \over 9}{x^2} - {{40} \over 3}x + 25 \cr &= {[{5 \over 3}x - 4]^2} + 9 \ge 9 \cr} \]