\[{{{a^4}} \over b} + {{{b^4}} \over c} + {{{c^4}} \over a} \ge 3\root 3 \of {{{{a^4}} \over b}.{{{b^4}} \over c}.{{{c^4}} \over a}} = 3abc\]
Đề bài
Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số dương thì: \[{{{a^4}} \over b} + {{{b^4}} \over c} + {{{c^4}} \over a} \ge 3abc\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \[a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\]
Lời giải chi tiết
Do a,b,c> 0 nên \[\frac{{{a^4}}}{b},\frac{{{b^4}}}{c},\frac{{{c^4}}}{a} > 0\].
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \[\frac{{{a^4}}}{b},\frac{{{b^4}}}{c},\frac{{{c^4}}}{a}\] ta có:
\[{{{a^4}} \over b} + {{{b^4}} \over c} + {{{c^4}} \over a} \ge 3\root 3 \of {{{{a^4}} \over b}.{{{b^4}} \over c}.{{{c^4}} \over a}} = 3abc\]
Dấu =xảy ra \[\Leftrightarrow {{{a^4}} \over b} = {{{b^4}} \over c} = {{{c^4}} \over a} \Leftrightarrow a = b = c\]