Công thức khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng
|
Ở các lớp trước các em đã làm quen với khái niệm khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng trong không gian. Ở chương trình toán 12 với không gian tọa độ, việc tính toán khoảng cách được cho là khá dễ với nhiều em, tuy nhiên đừng vì thế mà các em chủ quan nhé. Đang xem: Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng trong không gian Bài viết dưới đây chúng ta cùng ôn lại cách tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng trong không gian tọa độ Oxyz. Đồng thời qua đó giải các bài tập vận dụng để các em dễ dàng ghi nhớ công thức hơn. I.Công thức cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong Oxyz Trong không gian Oxyz, để tính khoảng cáchtừ điểm M(xM, yM,zM)đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0, ta dùng công thức: II. Bài tập vận dụng tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng trong không gian tọa độ Oxyz * Bài 1(Bài 9 (trang 81 SGK Hình học 12):Tính khoảng cách từ điểm A(2; 4; -3) lần lượt đến các mặt phẳng sau: a) 2x y + 2z 9 = 0 (α) b) 12x 5z + 5 = 0 ( β) c) x = 0 ( γ;) * Lời giải: a) Ta có: Khoảng cách từ điểm A tới mp (α) là: b) Ta có: Khoảng cách từ điểm A tới mp (β) là: c) Ta có: khoảng cách từ điểm A tới mp (γ) là: * Bài 2:Cho hai điểm A(1;-1;2), B(3;4;1) và mặt phẳng (P) có phương trình: x + 2y + 2z 10 = 0. Tính khoảng cách từ A, B đến mặt phẳng (P). * Lời giải: Ta có: Tương tự: * Bài 3:Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) cho bởi phương trình sau đây : (P): x + 2y + 2z + 11 = 0. (Q): x + 2y + 2z + 2 = 0. * Lời giải: Ta lấy điểm M(0;0;-1) thuộc mặt phẳng (P), kí hiệu d<(P),(Q)> là khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), ta có: d<(P),(Q)> = 3. * Bài 4:Tìm trên trục Oz điểm M cách đều điểm A(2;3;4) và mặt phẳng (P): 2x + 3y + z 17 = 0. * Lời giải: Xét điểm M(0;0;z) Oz, ta có : Điểm M cách đều điểm A và mặt phẳng (P) là: Vậy điểm M(0;0;3) là điểm cần tìm. * Bài 5:Cho hai mặt phẳng (P1) và (P2) lần lượt có phương trình là (P1): Ax + By + Cz + D = 0 và (P2): Ax + By + Cz + D = 0 với D D. Xem thêm: Đồ Án Voip Và Ứng Dụng Đồ Án Chuyên Ngành Thiết Lập Tổng Đài Voip a) Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P1) và (P2). b) Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng (P1) và (P2). * Áp dụng cho trường hợp cụ thể với(P1): x + 2y + 2z + 3 = 0 và (P2): 2x + 4y + 4z + 1 = 0. * Lời giải: a) Ta thấy rằng (P1) và (P2) song song với nhau, lấy điểm M(x0; y0; z0) (P1), ta có: Ax0+ By0+ Cz0+ D = 0 (Ax0+ By0+ Cz0) = -D (1) Khi đó, khoảng cách giữa (P1) và (P2) là khoảng cách từ Mtới (P2): (theo (1)) b) Mặt phẳng (P) song song với hai mặt phẳng đã cho sẽ có dạng (P): Ax + By + Cz + E = 0. (2) Để (P) cách đều hai mặt phẳng (P1) và (P2) thì khoảng cách từ M1(x1; y1; z1) (P1) đến (P) bằng khoảng cách từ M2(x2; y2; z2) (P2) đến (P) nên ta có: (3) mà(Ax1+ By1+ Cz1) = -D ;(Ax2+ By2+ Cz2) = -D nên ta có: (3) vì ED, nên: Thế E vào (2) ta được phương trình mp(P): Ax + By + Cz +½(D+D) = 0 * Áp dụng cho trường hợp cụ thể với(P1): x + 2y + 2y + 3 = 0 và (P2): 2x + 4y + 4z + 1 = 0. a) Tính khoảng cách giữa (P1) và (P2): mp(P2) được viết lại:x + 2y + 2z +½ = 0 b) Ta có thể sử dụng 1 trong 3 cách sau: Cách 1:áp dụng kết quả tổng quát ở trên ta có ngay phương trình mp(P) là: Cách 2:(Sử dụng phương pháp qũy tích): Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm, điểm M(x; y; z) (P) khi: Cách 3:(Sử dụng tính chất): Mặt phẳng (P) song song với hai mặt phẳng đã cho sẽ có dạng: (P): x + 2y + 2z + D = 0. + Lấy các điểm (P1) và (P2), suy ra đoạn thẳng AB có trung điểm là +Mặt phẳng (P) cách đều (P1) và (P2) thì (P) phải đi qua M nên ta có: * Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1;4;-6) và mặt phẳng (α): x 2y + 2z + 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng(α). * Lời giải: Phương trình mặt cầu tâm I(xi; yi; zi) bán kính R có dạng: (x xi)2 + (y yi)2 + (z zi)2 = R2 Nên theo bài raI(1;4;-6) pt mặt cầu (S) có dạng: (x 1)2+ (y 4)2+ (z + 6)2= R2 Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng(α) nên khoảng cách từ tâm I của mặt cầu tới mặt phằng phải bằng R, nên có: Phương trình mặt cầu tâm I(1;4;-6) bán kính R=5 là: (x 1)2+ (y 4)2+ (z + 6)2=25 Như vậy, từ việc tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng trong không gian tọa độ, các em cũng sẽ dễ dàng tính được khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song trong Oxyz qua việc vận dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Xem thêm: Số Nghiệm Thực Của Phương Trình Là Gì, Nghiệm Thực Của Phương Trình Là Gì Vậy Các em có thể tham thêm bài viết các dạng toán về phương trình mặt phẳng trong Oxyz để có thể nắm bắt một cách tổng quát nhất về các phương pháp giải toán mặt phẳng, chúc các em học tốt.
Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình Mặt Cầu |
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 2y + 6z + 14 = 0\) và mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2(x + y + z) - 22 = 0\). Tính khoảng cách d từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P). A. d=1 B. d=2 C. d=3 D. d=4
Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1)
Vậy khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) là:
\(d(I,(P)) = \frac{{\left| {3.1 - 2.1 + 6.1 + 14} \right|}}{{\sqrt {{3^2}} }} = \frac{{21}}{7} = 3\)
Mặt cầu và mặt phẳng trong hình học Oxyz Tóm tắt lý thuyết vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng trong hình học Oxyz, bài tập trắc nghiệm có hướng dẫn giải chi tiết. Cho mặt cầu
Tâm
Cho mặt phẳng Để xét vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Chúng ta tính khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng và so sánh khoảng cách đó với bán kính
Trường hợp 1: Mặt phẳng cắt mặt cầu
Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là hình tròn có tâm H và bán kính r H là hình chiếu vuông góc của tâm I trên mặt phẳng (P) { Phương pháp tìm hình chiều vuôn góc của 1 điểm trên mặt phẳng }
Công thức liên hệ bán kính mặt cầu và đường tròn giao tuyến
Chú ý: Đường tròn giao tuyến lớn nhất : Mặt phẳng cắt đôi mặt cầu, tâm cầu I thuộc mặt phẳng (P) Đường tròn giao tuyến nhỏ nhất : Trường hợp 2: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu
Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S): Mặt phẳng (P) là tiếp diện của mặt cầu Điểm tiếp xúc H của mặt cầu và mặt phẳng là tọa độ hình chiếu của mặt cầu và mặt phẳng
Trường hợp 3: Mặt phẳng không cắt mặt cầu
Bài giảng phương trình mặt cầu và các dạng bài phương trình mặt cầu hay gặp Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng. Các dạng bài tập thường gặp Mặt cầu và đường thẳng, mặt cầu và 1 điểm trong hình học |
