Đề bài
Cho ba đa thức :
\[{x^2} - 4x,{x^2} + 4,{x^2} + 4x\]
. Hãy chọn đa thức thích hợp trong ba đa thức đó rồi điền vào chỗ trống trong đẳng thức dưới đây:
\[ \dfrac{...}{x^{2}- 16}= \dfrac{x}{x - 4}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng định nghĩa hai phân thức bằng nhau:Với hai phân thức\[ \dfrac{A}{B}\]và\[ \dfrac{C}{D}\]gọi là bằng nhau nếu: \[AD = BC.\]
Lời giải chi tiết
Theo định nghĩa hai phân thức bằng nhau ta phải có:
\[\left[ \ldots \right]\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right] = x[{x^2}-{\rm{ }}16]\] hay\[\left[ \ldots \right]\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right] ={x^3}-16x\]
Cách 1: Lần lượt điền ba đa thức đa cho vào chỗ trống của biểu thức\[\left[ \ldots \right]\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right] \] ở vế trái, ta được:
\[\eqalign{
& +]\,\left[ {{x^2} - 4x} \right]\left[ {x - 4} \right] \cr
&= {x^3} - 4{x^2} - 4{x^2} + 16x \cr
&= {x^3} - 8{x^2} + 16x; \cr
& +]\,\left[ {{x^2} + 4} \right]\left[ {x - 4} \right] \cr
&= {x^3} - 4{x^2} + 4x - 16; \cr
& +]\,\left[ {{x^2} + 4x} \right]\left[ {x - 4} \right] \cr
&= {x^3} + 4{x^2} - 4{x^2} - 16x \cr
&= {x^3} - 16x \cr
&= x\left[ {{x^2} - 16} \right] \cr} \]
Vậy phải điền đa thức \[x^2+4x\] vào chỗ trống trong đẳng thức đã cho.
Cách 2: Gọi \[A\] là đa thức cần chọn ta phải có:\[A\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right] \]\[= x[{x^2}-{\rm{ }}16]\]
Phân tích \[{x^2} - 16\] thành nhân tử, ta có:
\[A\left[ {x - 4} \right] = x[{x^2} - 16] \]\[= x\left[ {x + 4} \right]\left[ {x - 4} \right]\]
Vậy đa thức phải chọn là \[x[x+4]=x^2+4x.\]