Đề bài
M là một điểm thuộc cung nhỏ BC. Tiếp tuyến tại M cắt AB, AC lần lượt ở D và E. Gọi I và K lần lượt là giao điểm của OD, OE với BC. Chứng minh rằng tứ giác OBDK nội tiếp.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh tứ giác OBDK có 1 góc trong bằng 1 góc ngoài không kề với nó[\[ \widehat {DOE} = \widehat {ABC}\]]
Lời giải chi tiết
Dễ thấy tứ giác ABOC nội tiếp [ vì \[\widehat {ABO} = \widehat {ACO} = 90^\circ \] tính chất tiếp tuyến] \[ \Rightarrow \widehat {BAC} + \widehat {BOC} = 180^\circ \]. Do đó \[\widehat {BOC} = 180^\circ - \widehat A\].
Theo [tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có OD, OE lần lượt là phân giác của hai góc kề \[\widehat {BOM}\] và \[\widehat {MOC}\] nên \[\widehat {DOE} =\dfrac {{180^\circ - \widehat A}}{ 2}\] [1]
Mặt khác : ABC cân [ AB = AC] nên \[\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \dfrac{{180^\circ - \widehat A} }{ 2}\] [2]
Từ [1] và [2] \[ \Rightarrow \widehat {DOE} = \widehat {ABC}\] hay
Do đó bốn điểm O, B, K, D cùng nằm trên một đường tròn, hay tứ giác OBDK nội tiếp.