Giải SBT toán 9 Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

thuy an pham Ngày: 21-05-2022 Lớp 9

48

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 9 Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 9. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 9 Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Bài 26 trang 11 SBT Toán 9 tập 2: Giải các hệ phương trình sau:

Bài 27 trang 11 SBT Toán 9 tập 2: Giải các hệ phương trình: 

Bài 28 trang 11 SBT Toán 9 tập 2: Tìm hai số a và b sao cho 5a–4b=−5 và đường thẳng ax+by=−1 đi qua điểm A(−7;4).

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Đường thẳng ax+by=c đi qua điểm M(x0;y0) ⇔ax0+by0=c.

- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

+ Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

+ Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).

+ Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Lời giải:

Vì đường thẳng ax+by=−1 đi qua điểm A(−7;4) nên −7a+4b=−1.

Theo bài ra ta có hệ phương trình:

{−7a+4b=−15a−4b=−5⇔{−2a=−65a−4b=−5⇔{a=35.3−4b=−5⇔{a=3−4b=−20⇔{a=3b=5

Vậy a=3;b=5.

Bài 29 trang 11 SBT Toán 9 tập 2: Tìm giá trị của a và b để đường thẳng ax–by=4 đi qua hai điểm A(4;3);B(−6;−7).

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Đường thẳng ax+by=c đi qua điểm M(x0;y0) ⇔ax0+by0=c.

- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

+ Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

+ Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).

+ Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Lời giải:

Vì đường thẳng ax–by=4 đi qua A(4;3) nên 4a–3b=4

Vì đường thẳng ax–by=4 đi qua B(−6;−7) nên −6a+7b=4

Khi đó a và b là nghiệm của hệ phương trình:

{4a−3b=4−6a+7b=4⇔{12a−9b=12−12a+14b=8⇔{5b=204a−3b=4⇔{b=44a−3.4=4⇔{b=44a=16⇔{b=4a=4

Vậy  a=4;b=4.

Bài 30 trang 11 SBT Toán 9 tập 2: Giải các hệ phương trình sau theo hai cách (cách thứ nhất: đưa hệ phương trình về dạng

{ax+by=ca′x+b′y=c′;

cách thứ hai: đặt ẩn phụ, chẳng hạn 3x–2=s,3y+2=t)

a) {2(3x−2)−4=5(3y+2)4(3x−2)+7(3y+2)=−2

b) {3(x+y)+5(x−y)=12−5(x+y)+2(x−y)=11

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn số phụ

+Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa (nếu cần)

+Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ

+Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt (sử dụng phương pháp cộng đại số)

+Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ.

Lời giải:

a)

Cách 1:

{2(3x−2)−4=5(3y+2)4(3x−2)+7(3y+2)=−2⇔{6x−4−4=15y+1012x−8+21y+14=−2⇔{6x−15y=1812x+21y=−8⇔{12x−30y=3612x+21y=−8⇔{6x−15y=1851y=−44⇔{2x−5y=6y=−4451⇔{2x=6+5yy=−4451⇔{2x=6−22051y=−4451⇔{2x=8651y=−4451⇔{x=4351y=−4451

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (x;y)=(4351;−4451)

Cách 2:  Đặt 3x–2=s,3y+2=t

Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:

{2s−4=5t4s+7t=−2⇔{2s−5t=44s+7t=−2⇔{4s−10t=84s+7t=−2⇔{17t=−102s−5t=4⇔{t=−10172s−5t=4⇔{t=−10172s−5.(−1017)=4⇔{t=−10172s=4−5017⇔{t=−1017s=917

Suy ra:

{3x−2=9173y+2=−1017⇔{3x=2+9173y=−1017−2⇔{3x=43173y=−4417⇔{x=4351y=−4451

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (x;y)=(4351;−4451)

Bài 31 trang 12 SBT Toán 9 tập 2: Tìm giá trị của m để nghiệm của hệ phương trình

{x+13−y+24=2(x−y)5x−34−y−33=2y−x

cũng là nghiệm của phương trình 3mx–5y=2m+1.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Biến đổi hệ phương trình đã cho về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và giải hệ bằng phương pháp cộng đại số.

- Thay nghiệm của hệ phương trình vừa tìm được vào phương trình chứa tham số m để tìm m.

Lời giải:

Giải hệ phương trình:

(I){x+13−y+24=2(x−y)5x−34−y−33=2y−x⇔{20(x+1)−15(y+2)=12[2(x−y)]3(x−3)−4(y−3)=12(2y−x)⇔{20x+20−15y−30=24x−24y3x−9−4y+12=24y−12x⇔{4x−9y=−1015x−28y=−3⇔{60x−135y=−15060x−112y=−12⇔{−23y=−1384x−9y=−10⇔{y=64x−9.6=−10⇔{y=64x=44⇔{y=6x=11

Để (x;y)=(11;6) là nghiệm của phương trình 3mx–5y=2m+1 ta thay x=11;y=6 vào phương trình trên ta được:

33m−30=2m+1  ⇔31m=31⇔m=1

Vậy với m=1 thì nghiệm của hệ (I) cũng là nghiệm của phương trình: 3mx–5y=2m+1.

Bài 32 trang 12 SBT Toán 9 tập 2: Tìm giá trị của m để đường thẳng (d): y=(2m−5)x−5m đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d1):2x+3y=7 và (d2):3x+2y=13

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Hai đường thẳng (d1): ax+by=c và (d2): a′x+b′y=c′ cắt nhau tại điểm M  thì tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình: {ax+by=ca′x+b′y=c′

- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

+ Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

+ Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).

+ Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

-  Đường thẳng ax+by=c đi qua điểm M(x0;y0) ⇔ax0+by0=c.

Lời giải:

Tọa độ giao điểm M của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ phương trình:

{2x+3y=73x+2y=13⇔{4x+6y=149x+6y=39⇔{5x=253x+2y=13⇔{x=53.5+2y=13⇔{x=52y=−2⇔{x=5y=−1

Do đó M(5;−1).

Vì đường thẳng (d):y=(2m−5)x−5m đi qua M(5;−1) nên 

−1=(2m−5).5−5m⇔−1=10m−25−5m⇔5m=24⇔m=4,8

Vậy với m=4,8 thì đường thẳng (d) đi qua giao điểm của (d1) và (d2) .

Bài 33 trang 12 SBT Toán 9 tập 2: Tìm giá trị của m để ba đường thẳng sau đồng quy:

(d1):5x+11y=8(d2):10x−7y=74(d3):4mx+(2m−1)y=m+2

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Tìm tọa độ giao điểm A của (d1) và (d2)

- Để ba đường thẳng (d1),(d2),(d3) đồng quy thì đường thẳng (d3) phải đi qua giao điểm A của (d1) và (d2).

- Đường thẳng ax+by=c đi qua điểm A(x0;y0)  ⇔ax0+by0=c.

Lời giải:

Tọa độ giao điểm A của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ phương trình:

{5x+11y=810x−7y=74⇔{10x+22y=1610x−7y=74⇔{29y=−585x+11y=8⇔{y=−25x+11.(−2)=8⇔{y=−25x=30⇔{y=−2x=6

Do đó A(6;−2)

Để ba đường thẳng (d1),(d2),(d3) đồng quy thì đường thẳng (d3) phải đi qua giao điểm A(6;−2) của (d1) và (d2).

Khi đó ta thay x=6;y=−2 vào phương trình 4mx+(2m−1)y=m+2 ta được:

4m.6+(2m−1.)(−2)=m+2⇔24m−4m+2=m+2⇔19m=0⇔m=0

Vậy với m=0 thì ba đường thẳng (d1),(d2),(d3) đồng quy tại điểm A(6;−2).

Bài 34* trang 12 SBT Toán 9 tập 2: Nghiệm chung của ba phương trình đã cho được gọi là nghiệm của hệ gồm ba phương trình ấy. Giải hệ phương trình là tìm nghiệm chung của tất cả các phương trình trong hệ. Hãy giải các hệ phương trình sau:

Bài tập bổ sung (trang 12,13 SBT Toán 9)

Bài 4.1 trang 12 SBT Toán 9 tập 2: Giải các hệ phương trình:

a){3x+5y=−325x−2y=83

b){2x+y−1−4x−y+1=−1453x+y−1+2x−y+1=−135

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn số phụ:

+ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa

+ Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ

+ Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt (sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số)

+ Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ.

Lời giải:

a){3x+5y=−325x−2y=83

Điều kiện: x≠0;y≠0.

Đặt 1x=a;1y=b  (a≠0;b≠0)

Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: 

{3a+5b=−325a−2b=83⇔{6a+10b=−315a−6b=8⇔{30a+50b=−1530a−12b=16⇔{62b=−316a+10b=−3⇔{b=−126a+10.(−12)=−3⇔{b=−126a=2⇔{b=−12a=13(thoả mãn)

Suy ra:

{1x=131y=−12⇔{x=3y=−2(thoả mãn)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (x;y)=(3;−2).

b){2x+y−1−4x−y+1=−1453x+y−1+2x−y+1=−135

Điều kiện: x+y−1≠0;x−y+1≠0

Đặt 1x+y−1=a;1x−y+1=b 

(a≠0;b≠0)

Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:

{2a−4b=−1453a+2b=−135⇔{2a−4b=−1456a+4b=−265⇔{8a=−83a+2b=−135⇔{a=−13.(−1)+2b=−135⇔{a=−1b=15(thoả mãn)

Suy ra:

{1x+y−1=−11x−y+1=15⇔{x+y−1=−1x−y+1=5⇔{x+y=0x−y=4⇔{2x=4x−y=4⇔{x=22−y=4⇔{x=2y=−2(thoả mãn)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (x;y)=(2;−2).

Bài 4.2 trang 12 SBT Toán 9 tập 2: Hãy xác định hàm số bậc nhất thỏa mãn mỗi điều kiện sau:

a) Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm M(−3;1) và N(1;2)

b) Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm M(2;1) và N(3;32−1)

c) Đồ thị đi qua điểm M(−2;9) và cắt đường thẳng (d):3x–5y=1 tại điểm có hoành độ bằng 2.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y=ax+b, trong đó a,b là những số cho trước và a≠0.

- Đường thẳng ax+by=c đi qua điểm M(x0;y0) ⇔ax0+by0=c.

- Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Lời giải:

Hàm số bậc nhất có dạng y=ax+b (a≠0).

a) Đồ thị của hàm số y=ax+b đi qua điểm M(−3;1)  nên ta có 1=−3a+b

Đồ thị của hàm số y=ax+b đi qua điểm N(1;2) nên ta có 2=a+b

Khi đó a và b là nghiệm của hệ phương trình:

{−3a+b=1a+b=2⇔{4a=1a+b=2⇔{a=1414+b=2⇔{a=14b=74

Ta thấy a=14 thoả mãn điều kiện a≠0

Vậy hàm số cần tìm là y=14x+74.

b) Đồ thị của hàm số y=ax+b đi qua điểm M(2;1) nên ta có 1=a2+b

Đồ thị của hàm số y=ax+b đi qua điểm N(3;32−1) nên ta có 32−1=3a+b

Khi đó a và b là nghiệm của hệ phương trình:

{a2+b=13a+b=32−1⇔{(3−2)a=32−2a2+b=1⇔{(3−2)a=2(3−2)a2+b=1⇔{a=2(2)2+b=1⇔{a=22+b=1⇔{a=2b=−1

Ta thấy a=2 thoả mãn điều kiện  a≠0

Vậy hàm số cần tìm là y=2x−1

c) Do đồ thị của hàm số y=ax+b cắt đường thẳng (d):3x–5y=1 tại điểm N có hoành độ bằng 2 nên N(2;y).

Điểm N nằm trên đường thẳng (d):3x–5y=1 nên ta có 3.2−5y=1⇔−5y=−5⇔y=1

Suy ra N(2;1.)

Đồ thị của hàm số y=ax+b đi qua điểm M(−2;9)  nên ta có 9=−2a+b

Đồ thị của hàm số y=ax+b đi qua điểm N(2;1) nên ta có 1=2a+b

Khi đó a và b là nghiệm của hệ phương trình:

{−2a+b=92a+b=1⇔{2b=102a+b=1⇔{b=52a+5=1⇔{b=52a=−4⇔{b=5a=−2

Ta thấy a=−2 thoả mãn điều kiện  a≠0

Vậy hàm số cần tìm là y=−2x+5.

Bài 4.3 trang 13 SBT Toán 9 tập 2: Giải hệ phương trình:

{xyx+y=23yzy+z=65zxz+x=34

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn số phụ:

+ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa

+ Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ

+ Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt 

+ Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ. 

Lời giải:

Điều kiện: x≠−y;y≠−z;z≠−x

Từ hệ phương trình đã cho suy ra: x≠0;y≠0;z≠0

Do đó

{xyx+y=23yzy+z=65zxz+x=34⇔{x+yxy=32y+zyz=56z+xzx=43⇔{1x+1y=321y+1z=561z+1x=43

Đặt 1x=a;1y=b;1z=c (a,b,c≠0)

Khi đó hệ phương trình trên trở thành:

{a+b=32b+c=56c+a=43

Cộng từng vế của ba phương trình trong hệ ta được:

a+b+b+c+c+a=32+56+43⇔2(a+b+c)=96+56+86⇔a+b+c=116⇒a=(a+b+c)−(b+c)=116−56=1b=(a+b+c)−(c+a)=116−43=116−86=12c=(a+b+c)−(a+b)=116−32=116−96=13

Ta thấy a=1;b=12;c=13 thoả mãn điều kiện a,b,c≠0.

Do đó

{1x=11y=121z=13⇔{x=1y=2z=3(thoả mãn)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (x;y;z)=(1;2;3).