Phương pháp chứng minh đẳng thức
phương pháp quy nạp toán học Show
Phương pháp quy nạp toán học là một phương pháp chứng minh toán học dùng để chứng minh một mệnh đề về bất kỳ tập hợp nào được xếp theo thứ tự. Thông thường nó được dùng để chứng minh mệnh đề áp dụng cho tập hợp tất cả các số tự nhiên. Xem thêm chi tiết tại đây Ví dụ 1. Chứng minh đẳng thức sau bằng phương pháp quy nạpVới mọi số tự nhiên n ta luôn có : 13 + 23 + 33 +…+ n3 = (1 + 2 + 3 +…+ n)2 Giải: Với n=1. Ta có: 13 = 12 Vậy đẳng thức trên đúng với n = 1 Với n = 2 ta có 13 + 23 = (1 + 2)2 Vậy đẳng thức trên đúng với n = 2 Giả sử đẳng thức đúng với n = k Tức 13 + 23 + 33 +…+ k3 = (1 + 2 + 3 +…+ k)2 (*) Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng với n = k+1 Tức là ta sẽ chứng minh 13 + 23 + 33 +…+ k3 + (k + 1)3 = (1 + 2 + 3 +…+ k + k+1)2 (**) Thật vậy: Từ (*) và (**) ta có: 13 + 23 + 33 +…+ k3 + (k + 1)3 = (1 + 2 + 3 +…+ k + k+1)2 ⇔ (1 + 2 + 3 +…+ k)2 + (k + 1)3 = (1 + 2 + 3 +…+ k + k+1)2 (***) Mặt khác ta có công thức tính tổng sau: 1 + 2 + 3 + 4 + … + k = \[ \frac{k(k + 1)}{2}\]. (Công thức này cũng được chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học, nhưng đơn giản hơn nhiều. Anh em qua bài này hãy tự chứng minh nhé). Vậy (***) ⇔ \[ [\frac{k(k + 1)}{2}]^2\] + (k+1)3 = \[ [\frac{(k + 1)(k + 2)}{2}]^2\]. Ta chỉ cần chứng minh đẳng thức này đúng. Ta có: A = \[ [\frac{k(k + 1)}{2}]^2\] + (k+1)3 = \[ [\frac{k(k + 1)}{2}]^2\] + \[ \frac{4(k + 1)^3}{4}\] = \[ {[\frac{(k + 1)}{2}]^2}[k^2 + 4(k + 1)]\] A = \[ {[\frac{(k + 1)}{2}]^2}(k + 2)^2\] = \[ {[\frac{(k + 1)(k + 2)}{2}]^2}\] Vậy ta đã chứng minh đẳng thức (**) là đúng, có nghĩa là đẳng thức đã cho đúng với n = k + 1. Theo nguyên lý quy nạp toán học ta có điều phải chứng minh. Nhựt Hoàng sinh năm 1995 tại Nam Định trong một gia đình giáo viên nên được truyền thụ tình yêu với toán từ khi còn bé. Tự nhận thấy bản thân có một chút năng khiếu về toán nên mình quyết định xem toán học là niềm đam mê và theo đuổi lâu dài. Mình lập website này mong muốn chia sẻ tới mọi người niềm đam mê, tình yêu toán học, một trong những môn khoa học vĩ đại nhất từ xưa tới nay.
Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu Các bài toán chứng minh đẳng thức hình học. Tài liệu bao gồm các nội dung sau: LÝ THUYẾT CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC A. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU Phương pháp 1: Hai tam giác bằng nhau Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của các hình đặc biệt Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của các đường đặc biệt, điểm đặc biệt. Phương pháp 4: Sử dụng các tính chất liên quan đến đường tròn Phương pháp 5: Sử dụng tỉ số, đoạn thẳng trung gian B. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ 1. Tính chất trung điểm của đoạn thẳng 3. Đường trung bình 4. Định lý Talet 5. Tính chất đường phân giác của tam giác 6. Các trường hợp đồng dạng của tam giác 7. Hệ thức lượng trong tam giác vuông 8. Tỉ số lượng giác của góc nhọn PHẦN BÀI TẬP Trong bài hình học trong đề thi tuyển sinh vào 10, sẽ có những yêu cầu chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau hoặc các đoạn thẳng tỷ lệ mà ta gọi chung là đẳng thức hình học. Chủ đề dưới đây sẽ hệ thống một số biện pháp chứng minh đẳng thức hình học. Hãy nắm vững kiến thức đã học trong những năn học Toán THCS để phục vụ cho lời giải nhé! Chúc các em đạt kết quả cao trong học tập! Tài liệu Like fanpage của thuvientoan.net để cập nhật những tài liệu mới nhất: https://bit.ly/3g8i4Dt. THEO THUVIENTOAN.NET
Chú ý: Do tài liệu trên web đều là sưu tầm từ nhiều nhiều nguồn khác nhau nên không tránh khỏi việc đăng tải nhiều tài liệu mà tác giả không muốn chia sẻ nhưng mình không biết, những ai có tài liệu trên web như vậy thì liên hệ với mình để mình gỡ xuống nhé! Thầy cô nào có tài liệu tự làm muốn có thêm chút thu nhập nhỏ và chia sẻ tài liệu mình đến mọi người thì liên hệ mình để đưa tài liệu lên tài liệu tính phí, thầy cô nào có thể làm các khóa học về môn toán thì liên hệ với mình để làm các khóa học đưa lên web ạ! Điện thoại: 039.373.2038 (zalo web cũng số này, các bạn có thể kết bạn, mình sẽ giúp đỡ) Kênh Youtube: https://bitly.com.vn/7tq8dm Email: Group Tài liệu toán đặc sắc: https://bit.ly/2MtVGKW Page Tài liệu toán học: https://bit.ly/2VbEOwC Website: http://tailieumontoan.com Cách chứng minh đẳng thức véctơ – Toán lớp 10Trung tâm Gia sư Hà Nội chia sẻ cho các em cách chứng minh đẳng thức véctơ, một dạng Toán thuộc chương 1, Hình học 10, Toán lớp 10.Để làm được dạng bài tập này đòi hỏi các em phải nắm được lý thuyết, các quy tắc. Biết sử dụng các phép toán cộng, trừ, nhân véctơ với một số, tích vô hướng. Và sử dụng các quy tắc trung điểm, trọng tâm tam giác, trọng tâm tứ diện, quy tắc hình bình hành, hình hộp, … Phương pháp chứng minh đẳng thức vectơ1) Sử dụng: + Quy tắc 3 điểm: $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{B C}$ với mọi $A, B, C$. + Quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A C}$ với $ABCD$ là hình bình hành. + Quy tắc trung điểm: $\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}=2 \overrightarrow{M I}$ với $I$ là trung điểm của $A B$. + Quy tắc trọng tâm: $\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}=\overrightarrow{0}$ với $G$ là trong tâm tam giác $A B C$. + Các tính chất của các phép toán. 2) Thực hiện các phép biến đổi theo một trong các hướng sau: + Biến đổi vế này thành vế kia của đẳng thức (thông thường là xuất phát từ vế phức tạp biến đổi rút gọn để đưa về vế đơn giản hơn). + Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về tương đương với một đẳng thức luôn đúng. + Xuất phát từ một đẳng thức luôn đúng để biến đổi về đẳng thức cần chứng minh. – Chú ý: $\Delta A B C$ và $\Delta A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có cùng trong tâm khi và chi $\mathrm{khi} \overline{A A^{\prime}}+\overline{B B^{\prime}}+\overline{C C^{\prime}}=\overrightarrow{0}$ Bài tập chứng minh đẳng thức véctơ có lời giải:Bài toán 1: Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng: a) $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}$ b) $\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{B D}$ Cách 1: Biến đổi vế trái (VT) ta có: Nhận xét Sử dụng cách giải này, ta cần chú ý khi bién đổi các số hạng của một vế cần quan tâm phân tích làm xuất hiện các số hạng có ở vế bên kia. Chẳng hạn số hạng ở vế trái là $\overrightarrow{A B}$ nhưng vế phải có chứa $\overrightarrow{A D}$ nên ta viết $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D B}$ Cách 2: Ta có: $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}(1) \Leftrightarrow \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{C B}-\overrightarrow{C D} \Leftrightarrow \overrightarrow{D B}=\overrightarrow{D B}(2)$ Ta có (2) luôn đúng vậy (1) được chứng minh. Cách 3: Ta có: $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D A}=\overrightarrow{0}$ Suy ra $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=-\overrightarrow{D A}-\overrightarrow{B C}$ Do đó: $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}$ b) Ta có: $VT=\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{C D}=(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C B})-(\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{B D})=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{C B}-\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{B D}=VP$ Tương tự ta cũng có các cách chứng minh khác cho câu b. Bài toán 2 : Cho tam giác $A B C$ và $G$ là trong tâm tam giác $A B C$. Bài tập chứng minh đẳng thức véctơ tự giải:Bài 1. Cho tứ diện $ ABCD$. Gọi $ M$ và $ N$ lần lượt là trung điểm $ AB$ và $ CD.$ Chứng minh: a) $ \displaystyle 2\overrightarrow{{MN}}=\overrightarrow{{AD}}+\overrightarrow{{BC}}=\overrightarrow{{AC}}+\overrightarrow{{BD}}$ b) Điểm $ G$ là trọng tâm của tứ diện $ ABCD$ khi và chỉ khi $ \displaystyle \overrightarrow{{GA}}+\overrightarrow{{GB}}+\overrightarrow{{GC}}+\overrightarrow{{GD}}=\overrightarrow{0}$ Bài 2. Cho tứ diện $ ABCD$ với $ G$ là trọng tâm. a) Chứng minh $ \overrightarrow{{AB}}+\overrightarrow{{AC}}+\overrightarrow{{AD}}=4\overrightarrow{{AG}}$ b) Gọi $ {A}’$ là trọng tâm tam giác $ BCD$. Chứng minh: $\overrightarrow{{{A}’B}}.\overrightarrow{{A{A}’}}+\overrightarrow{{{A}’C}}.\overrightarrow{{A{A}’}}+\overrightarrow{{{A}’D}}.\overrightarrow{{A{A}’}}=\vec{0}$ Bài 3. Cho hình hộp $ ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$. Gọi $ {{D}_{1}}$, $ {{D}_{2}}$, $ {{D}_{3}}$ lần lượt là điểm đối xứng của điểm $ {D}’$ qua $ A$ , $ {B}’$, $ C$. Chứng tỏ rằng $ B$ là trọng tâm của tứ diện $ {{D}_{1}}{{D}_{2}}{{D}_{3}}{D}’.$ Ví dụ 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi $D_{1}, D_{2}, D_{3}$ lần lươt là điềm đói xúng của điêm D’ qua Bài 4. Cho hình chóp $ S.ABCD$. Chứng minh rằng nếu $ ABCD$ là hình bình hành thì $ \overrightarrow{{SB}}+\overrightarrow{{SD}}=\overrightarrow{{SA}}+\overrightarrow{{SC}}$ Gọi O là giao điểm của AC và BD . Chứng tỏ rằng $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{{SA}}+\overrightarrow{{SB}}+\overrightarrow{{SC}}+\overrightarrow{{SD}}=4\overrightarrow{{SO}}$ Toán lớp 10 - Tags: đẳng thức vectơ, vectơ
|