Phương pháp chứng minh phản chứng lớp 10 nâng cao

Sử dụng phương pháp phản chứng giúp ta giải quyết rất nhiều bài toán hay, nhìn tưởng khó mà hóa ra lại đơn giản. Trong bài giảng này thầy muốn nói tới việc sử dụng phương pháp phản chứng trong chứng minh định lý. Đối với các bạn học sinh lớp 10 khi học ngay chương đầu tiên về mệnh đề sẽ được làm quen với chứng minh định lý bằng phương pháp phản chứng. Muốn sử dụng tốt phương pháp này các bạn cần hiểu rõ một số mệnh đề toán học như: Mệnh đề kéo theo, mệnh đề phủ định, mệnh đề với mọi, mệnh đề tồn tại.

Tham khảo bài giảng:

Mệnh đề là gì?

Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc câu khẳng định sai. Câu khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng, câu khẳng định sai gọi là mệnh đề sai. Một mệnh đề không thể vừa có tính đúng, vừa có tính sai.

Ví dụ: 

• 2+2=4 là một mệnh đề đúng
• 2+2= -5 là một đề sai
• Ôi! Trời hôm nay nóng quá! Đây không phải là mệnh đề.

Mệnh đề phủ định

Cho mệnh đề P. Mệnh đề “không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của mệnh đề P.

Kí hiệu: $\overline{P}$

Nếu mênh đề P đúng thì mệnh đề $\overline{P}$ sai và ngược lại nếu mệnh đề $\overline{P}$ đúng thì mệnh đề P sai.

Mệnh đề với mọi ($\forall$) và tồn tại ($\exists$)

Đây là hai mệnh đề phủ định của nhau. Rất nhiều học sinh không biết tìm mệnh đề phủ định của hai mệnh đề này. Ở đây thầy sẽ giúp các bạn phân biệt hai mệnh đề này và tìm mệnh đề phủ định của chúng. Bởi hai mệnh đề này được sử dụng rất nhiều trong các bài toán áp dụng chứng minh phải chứng.

• Nếu cho mệnh đề “$\forall x\in X,P(x)$” thì phủ định của nó sẽ là: “$\exists x\in X, \overline{P(x)}”$
• Nếu cho mệnh đề “$\exists x\in X,P(x)$” thì phủ định của nó sẽ là: “$\forall x\in X, \overline{P(x)}”$

Ví dụ:

Nếu có mệnh đề “Có ít nhất một chuồng chứa nhiều hơn 4 con thỏ.”

Thì phủ định của nó sẽ là: “Tất cả các chuồng chứa ít hơn hoặc bằng 4 con thỏ.”

Như vậy thầy đã nói qua về một số khái niệm sẽ dùng tới trong quá trình chứng minh định lý bằng phương pháp phản chứng. Các bạn cần chú ý kĩ tới mệnh đề phủ định, mệnh đề với mọi và tồn tại cho thầy, bởi chúng sẽ được sử dụng rất nhiều trong quá trình chứng minh. Lý thuyết là như vậy đó, quan trọng là vận dụng ra sao trong việc giải quyết bài toán chứng minh phản chứng.

Phương pháp chứng minh phản chứng

Các bạn cần xác định được đúng mệnh đề P, mệnh đề Q. Từ đó tìm mệnh đề phủ định của Q là $\overline{Q}$.

Các bạn làm như sau:

• Các bạn xác định mệnh đề P, Q và $\overline{Q}$
• Giả sử mệnh đề Q sai, tức là mệnh đề $\overline{Q}$ sẽ đúng.
• Lập luận và sử dụng những điều đã biết để đi tới mâu thuẫn với giả thiết hoặc đi tới điều vô lý.
• Từ đó đi tới kết luận.

Bài tập 1:

Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n nếu $n^2$ là số chẵn thì n là số chẵn.

Hướng dẫn:

Trước tiên các bạn xác định cho thầy các mệnh đề P, Q và $\overline{Q}$

• P: $n^2$ là số chẵn
• Q: n là số chẵn
• $\overline{Q}$: n là số lẻ

Giả sử n là số lẻ, thì $n=2k+1, k\in N$

Khi đó: $n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$ là số lẻ. Mâu thuẫn với giả thiết $n^2$ là số chẵn. Suy ra điều giả sử sai.

Vậy: Với mọi số tự nhiên n nếu $n^2$ là số chẵn thì n là số chẵn.

Bài tập 2: 

Nếu $x\neq -1$ và $y\neq -1$ thì $x+y+xy\neq -1$

Hướng dẫn:

Mệnh đề  P, Q và $\overline{Q}$ là:

• P: $x\neq -1$; $y\neq -1$
• Q: $x+y+xy\neq -1$
• $\overline{Q}$: $x+y+xy=-1$

Giả sử:                 $x+y+xy =-1 \Leftrightarrow x+y+xy+1=0$

$ \Leftrightarrow (x+1)+y(x+1)=0$

$\Leftrightarrow (x+1)(y+1)=0$

$\Leftrightarrow $ $x=-1$ hoặc $y=-1$.

Mâu thuẫn với giả thiết là $x\neq -1$ và $y\neq -1$.

Vậy : Nếu $x\neq -1$ $y\neq -1$ thì $x+y+xy\neq -1$

Bài tập 3:

Chứng minh rằng nếu nhốt 25 con thỏ vào 6 cái chuồng thì sẽ có ít nhất 1 chuồng chứa nhiều hơn 4 con thỏ.

Hướng dẫn:

Mệnh đề  P, Q và $\overline{Q}$ là:

• P: Nhốt 25 con thỏ vào 6 chuồng
• Q: Ít nhất 1 chuồng chứa nhiều hơn 4 con thỏ
• $\overline{Q}$: Tất cả các chuồng chứa ít hơn hoặc bằng 4 con thỏ.

Giả sử tất cả các chuồng chứa ít hơn hoặc bằng 4 con thỏ. Khi đó số thỏ sẽ có tối đa là 4.6=24 con, mâu thuẫn với giả thiết là số thỏ có 25 con.

Vậy nếu nhốt 25 con thỏ vào 6 cái chuồng thì sẽ có ít nhất 1 chuồng chứa nhiều hơn 4 con thỏ.

Bài tập 4:

Chứng minh rằng có ít nhất 1 trong các bất đẳng thức sau là đúng: $a^2+b^2\geq 2bc, b^2+c^2\geq 2ac, a^2+c^2\geq 2ab$ với a, b, c bất kì.

Hướng dẫn:

Mệnh đề  P, Q và $\overline{Q}$ là:

• P: 3 số a, b, c bất kì
• Q: ít nhất 1 trong 3 đắng thức là đúng $a^2+b^2\geq 2bc, b^2+c^2\geq 2ac, a^2+c^2\geq 2ab$
• $\overline{Q}$: Tất cả các bất đẳng thức đều sai.

Giả sử tất cả các bất đẳng thức trên đều sai, tức là:

$a^2+b^2 < 2bc$   (1)

$ b^2+c^2 < 2ac$   (2)

$ a^2+c^2 < 2ab$   (3)

Cộng 2 vế của (1), (2), (3) ta được:

$a^2+b^2+b^2+c^2+a^2+c^2<2bc+2ac+2ab$

$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2<0$ (vô lý). Do đó điều giả sử sai.

Vậy: Với a, b, c bất kì sẽ có ít nhất 1 trong các bất đẳng thức sau là đúng: $a^2+b^2\geq 2bc$,$b^2+c^2\geq 2ac, a^2+c^2\geq 2ab$.

Trên đây thầy đã hướng dẫn chúng ta phân tích và giải quyết một số bài toán chứng minh định lý bằng phương pháp phản chứng. Với phương pháp này các bạn giải quyết được rất nhiều bài toán và làm chúng trở lên đơn giản với lời giải dễ hiểu. Quan trọng trong phương pháp này các bạn cần xác định chính xác mệnh đề phủ định của mệnh đề Q, để từ đó có lập luận chính xác đi tới mâu thuẫn hoặc vô lý.

Bài tập chứng minh phản chứng:

Bài tập 1: Chứng minh rằng:

a. Với mọi số nguyên dương n, nếu $n^2$ là số lẻ thì n là số lẻ.

b. Với mọi số nguyên dương n, nếu $n^2$ chia hết cho 3 thì n chia hết cho 3.

c. Với 2 số dương a và b thì $a+b\geq 2\sqrt{ab}$.

d. Nếu $a+b<2$ thì một trong 2 số a và b nhỏ hơn 1

Bài tập 2: Chứng minh rằng:

a. Một tam giác không phải là tam giác đều thì nó có ít nhất 1 góc nhỏ hơn $60^0$

b. Nếu tích của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tổng của chúng là một số chẵn.

c. Nếu $x^2+y^2=0$ thì $x=0$ và $y=0$

d. Nếu một tứ giác có tổng các góc đối diện bằng hai góc vuông thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ

Edusmart.vn giới thiệu tới quý vị thầy cô và các em học sinh chuyên đề Phương Pháp Chứng Minh Phản Chứng. Nội dung Đề kiểm tra bao gồm 15 câu hỏi trắc nghiệm khách quan thời gian làm bài 20 phút giúp đánh giá năng lực học sinh sau khi kết thúc bài học.

Tuyển tập đề kiểm tra, đề thi và bài tập chuyên đề toán 10

Danh sách các đề kiểm tra 15 phút toán 10 theo từng bài, kiểm tra 1 tiết (45 phút) toán 10 theo từng chương, kiểm tra học kỳ 1 toán 10, kiểm tra học kỳ 2 toán 10, kiểm tra khảo sát toán 10 cả năm, các chuyên đề toán lớp 10 tất cả đều có lời giải chi tiết phục vụ cho công việc giảng dạy của quý thầy cô và việc tự học cảu các em học sinh, link danh sách tài liệu được để bên dưới bài viết.

Dưới đây là chuyên đề Phương Pháp Chứng Minh Phản Chứng

Phương Pháp Chứng Minh Phản Chứng

Để tải các tài liệu file word (có đáp án và lời giải chi tiết) quý thầy cô vui lòng liên hệ số hotline 0979263759 (Call, Zalo), hoặc địa chỉ mail

Nội dung chuyên đề được biên soạn bao gồm lý thuyết, bài tập ví dụ, bài tập luyện tập, bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết, qua đó giúp các em hệ thống được kiến thức cốt lõi trong chương học và phân dạng phương pháp giải bài tập, hình thành phản xạ có thể giải quyết các dạng bài tập tương tự tiếp theo.

Quý thầy cô đóng góp đề thi của trường mình cho nguồn tài liệu thêm phong phú xin gửi về địa chỉ mail: . Edusmart Xin chân thành cảm ơn sự đóng góp của quý thầy cô.

BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10 CỰC HAY CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ 1 TOÁN 10

ĐỀ THI HỌC KỲ 1 TOÁN 10 CÁC TRƯỜNG THPT TRÊN TOÀN QUỐC CÓ ĐÁP ÁN

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ 2 TOÁN 10

ĐỀ THI HỌC KỲ 2 TOÁN 10 CÁC TRƯỜNG THPT TRÊN TOÀN QUỐC CÓ ĐÁP ÁN

ĐỀ THI KHẢO SÁT TOÁN 10 THEO CHỦ ĐIỂM CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 10 CÁC SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRÊN TOÀN QUỐC

TỔNG HỢP BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TOÁN 10 CÓ GIẢI CHI TIẾT

ĐỀ KIỂM TRA ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNG 1 MỆNH ĐỀ TẬP HỢP

ĐỀ KIỂM TRA ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNG 2 HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

ĐỀ KIỂM TRA ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH

ĐỀ KIỂM TRA ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNG 4 BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

ĐỀ KIỂM TRA ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNG 5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH

ĐỀ KIỂM TRA ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNG 6 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

ĐỀ KIỂM TRA HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG 1 VEC TO

ĐỀ KIỂM TRA HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG 2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA VECTO

ĐỀ KIỂM TRA HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG 3 HÌNH HỌC OXY